傅里叶公式理解

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1、有关指导 信号分类周期信号分析一傅里叶级数 非周期信号分析-傅里叶变换 脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段21 信号的分类两大类：确定性信号，非确定性信号确定性信号：给定条件下取值是确定的。 进一步分为：周期信号，非周期信号。质量一弹簧系 统的力学模型x(T) = A cos t +申 u祈非确定性信号（随机信号）：给定条件下取值是不确定的 按取值情况分类：模拟信号，离散信号数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。 信号描述方法时域描述 如简谐信号简谐信号及其三个要素以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐

2、波(简谐 信号)之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含 有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。22周期信号与离散频谱周期信号傅里叶级数的三角函数形式周期信号时域表达式x(t) = x(t + T) = x(t + 2T)二.二 x(t + nT)(n = +1，土 2，)T：#周期。注意n的取值：周期信号“无始无终”傅里叶级数的三角函数展开式x (t) = a +E (a cos n t + b sin no t)0n0n0n =1(n=1, 2, 3,)傅立叶系数：1Ta= 空 x(t)dt0TT-2a2= T空 x(t)cos n tdtnTT 02b2= T2 x(t)

3、 sin n tdtnTT 02式中T 周期;%基频，叫=2兀/T。三角函数展开式的另一种形式N次谐波的幅值N次谐波的频率A cos(n“ t + Q )n0nN次谐波gx (t) = a +E0 n=1信号的均值，直流分量N次谐波的相角A 二 la 2 + b 2n、/ n 二 arctg nn = 1, 2,n-bnan3,周期信号可以看作均值与一系列谐波之和-谐波分析法频谱图周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性 例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图I1*;J解：x(t)AJAr解： 信号的基频非对称周期方波 周期方波2k傅里叶系数奇函数:=0It的偶函数TJ 2

4、 x(t)sin n tdt24 FtJ 2 A sin n tdt = T o2A1 - cos n 討0nn4 A nn0n为奇数n为偶数n次谐波的幅值和相角4A 申n兀， n(n = 1,3,5,)最后得傅立叶级数(n = 1,3,5，)4 A:cos（nw t 一 ）n 兀02n频谱图co0A 4 A30 o幅频谱图相频谱图二、 周期信号傅里叶级数的复指数形式 欧拉公式e土 j t = cos wt 土 j sin t0等于三角函数模的一半）与三角函数形式中的相角相等）-bbo = -arctgn = arctg n-na 用c画频谱：双边频谱n第一种：幅频谱图：|c|-3，相频谱图w

5、 -On1 n第二种：实谱频谱图：Rec-3，虚频谱图：Imc -3 ；也就是a -3和nnn-b -3 .n#23非周期信号与连续频谱分两类：a.准周期信号定义：由没有公共周期（频率）的周期信号组成 频谱特性：离散性，非谐波性 判断方法：周期分量的频率比（或周期比）不是有理数b.瞬变非周期信号一、 傅里叶变换演变思路：视作周期为无穷大的周期信号式（2.22 ）借助（2.16 ）演变成：兀（0的傅里叶变换X（3）X（ 3）的傅里叶反变换x（t）：x(t)二2kX (o )e j td o傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信号可以分解为角频率o连续 变化的无数谐波X (o )ej o tdo的叠加

6、。称X(o)其为函数x(t)的频谱密度函数 对应关系：1X (o ) d oe j o t。L Ljn o o t2knX(o)描述了 x(t)的频率结构X(o)的指数形式为X (o) = X (o)ej (o)以频率f(Hz)为自变量，因为/=w/(2p),得X ( f) = J 0 x (t) e - j 2 k ftdt0x(t) = J0 X (f)ej2k ftdf0X(f)的指数形式X (f) = X (f) eA f) 频谱图幅值频谱图和相位频谱图：幅值频谱图 相位频谱图如果X（是实函数，可用一张X（图表示。负值理解为幅值为X（的绝 兀_兀对值，相角为 或 。二、 傅里叶变换的主

7、要性质（一）叠加性ax (t) + a x (t) fta X (f) + a X (f)11 2 2 11 2 2二）对称性X (t)x (_f)注意翻转）(三)时移性质x (t 土 t ) FTT X ( f ) e 土 j 2 ft 0 0幅值不变，相位随f改变土2f0） 四）频移性质x（t）e土 j2“ ft0ft X （ff ）0（注意两边正负号相反）（五）时间尺度改变特性1 厂 x （at） = X （丿） aa六）微分性质(t)F(j2 f ) nX ( f ) dtn七）卷积性质(1) 卷积定义x(t) * y(t) = f g x(t )y(t -T)dTg(2) 卷积定理x

8、(t) * y(t) ft X ( f )Y(/T x (t) y (t) ft X (f) * Y (f)三、 脉冲函数及其频谱（一） 脉冲函数：x(t)*1/8 -8/ s/2F定义函数（要通过函数值和面积两方面定义）函数值：脉冲强度（面积）j 00 5 (t) dt = 1g二）脉冲函数的样质 1 脉冲函数的采性（相乘）样质：x（t ） 5(t F0)5 (t t )5 （t）0函数值：强度：g x(t)5 (t -1 )dt = x(t )严 5 (t 一 t )dt = x(t )oooogg结论：1结果是一个脉冲，脉冲强度是x(t)在脉冲发生时刻的函数值2.脉冲函数与任意函数乘积的

9、积分等于该函数在脉冲发生时刻 的的值。2 脉冲函数的卷积性质：(a) 利用结论2x(t)*5(t) = Jg x(T)5 (t t)dTg =x(t)J g 5 (t T )dTgx (t)(b)利用结论2x(t) * (t - t ) = r x(T )8 (t -1 -T )dT0 0g=x(t -1 )Jg 8 (t -1 -t)dT0 -g0二 x(t t )0结论：平移三）脉冲函数的频谱8 (t) PTf) =jg8 (t)e-j2 ftdt=1-g均匀幅值谱由此导出的其他3个结果8 (t 土 t ) e+j2 叮t o0(利用时移性质)1 8( f )=8 )利用对称性质）e 土j M(f f对上式，再用频移性质）四）正弦函数和余弦函数的频谱cos 2 兀 ft12-j 2 兀 ft + ej 2 兀 ft2 (f+f)+25(f - fsin 2 兀 ft_ j-j 2 兀 ft ej 2 兀 ftj 5 (f+f0)- j 5 (f - f0)正弦函数的频谱1/2A (f)JIj1/2fof0 Jr余弦函数的频谱A( f)