扩散的年龄结构模型

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1、第三章扩散的年龄结构模型31可扩散的种群模型另一个在种群动态中非常重要的现象是空间扩散。M.E. Gurtin在1973年考 虑了年龄结构人口数量的扩散。这个模型被M.E. Gur tin和R.C. MacCamy进一 步研究。Gurtin-MacCamy模型描述了一个生物种群栖息地中自由移动的情况 0u Rn，其中n e l,2,3 。如果我们用p(a,t,x)表示以个体年龄a e 0,a， 在时刻t 0，在位置x eQ的密度函数。那么，满足下面的方程：Dp (a, t, x)+y (a, p (t, x ) p (a, t, x )-k Ap (a, t, x ) = 0, (3.1.1)

2、(a,t,x)e(0,a t)x(0,(其中A表示x的拉普拉斯算子),p(0,t,x) = J a1p (a,p(t,x)p(a,t,x)da, (t,x)e(0, +w)xQ (3.1.2)0其中参数a Q卩，卩与前文提到的模型中的参数含义相同。k 0是一个扩散常量,小()十 p (a + e, t + e, x)- p (a, t, x)Dp la, t, x = limt0和P(t,x)=J af p(a,t,x)da,t 0。0问题(3.1.1)-(3.1.2)在合适的边界条件下进行了研究。D.G. Aronson强调了动态种群扩散的重要性，包括了非线性扩散的情况。 年龄结构人口数量种

3、群动态的解的基本性质(例如存在性、唯一性、正值性条件, 大时间渐进状态)已经被许多作者研究。我们将继续分析一些连续的人口年龄结构种群数量的扩散模型。假设一个给定的单种群物种自由移动在一个开放的和有界栖息地环境中。 QuRn ne1,2,3有足够光滑的边界QQ. p(a,t,x)表示由个体年龄密度a， a e 0, a f ( a fe (0, +a)是种群的最大年龄。)与时刻t 0和位置x eQ构成的 函数。由积分Ia2p(a,t,x)da t 0,x eQ 代表a e a1 a2在时刻t和位置x下的 年龄人口密度。则P(t,x)= Iaf p(a,t,xa是在时间t位置x时的人口密度。0假设

4、人口扩散遵循Nernst法则。通过曲面的通量人口 S (是一个任意边界开放V uuO的子集)在时间间隔it,t + dt得到-k-dtI -P(a,t,x)dc。当k0是扩散系s Qv数和如是S的法向导数(向外的)。在年龄为a,时刻为t,空间为v条件下的 Qv的人口密度是I p(a,t,x)dx。那么在年龄为a+dt,时刻为t+dt,空间为v的条v件下的人口密度为I p (a + dt,t + dt, x)dxv考虑死亡率卩。给出个人的死亡率取决于年龄a,时间t,地点x和函数p(t,x) (在时间t和位置x下的总人口密度)。平衡定律表明，个体的数量在年龄a,时 刻t,位于V在时间段(t,t+d

5、t)的死亡数为：dtI 卩(a, t, x, P (t, x), p (a, t, x)ix = k - dtI(a, t, x)dc +1 p (a, t, xxvs Qvv-I p (a + dt, t + dt, xxv现在除以dt,我们获得I pC, t, x, P (t, x), p (a, t, x)7x = -I Dp (a, t, xx + kI p (a, t, x)dcvvs Qv小()十 p (a + e, t + e, x)- p (a, t, x)Dp la, t, x = limp (a,t,x)如果p足够光滑)Dp是增长速度。1(Qa Qt 丿 使用Ostrogr

6、adski公式，我们得到IDp (a,t, x)+(a, t, x, P(t, x), p (a,t, x)p (a,t, x)Jdx = kI Ap (a,t, xAxvv因为V uuQ是任意开放的子集，所以我们可以得出这样的结论：种群动态 可描述为.()Dp(a, t, x)+ 卩(a, t, x, P(t, x), p (a, t, x)p (a, t, x)-kA (a, t, x)=0，a e 0, a ”,t0,xeQ.如果领域Q出现了某种人口的注入(增长率为f (a,t,x)，则函数p演变 Dp(a, t, x)+y (a, t, x, P(t, x), p (a, t, x)p

7、 (a, t, x)-kp (a, t, x)二 f (a, t, x)，(1)a e 0, a f,tO,x eQ(1)式最合适的边界条件是:(均匀狄利克雷条件)，描述了这样一个完全不适合人类居住的边界；生(a,t,x) = 0， a g (0,a ),t0,x g6Q (3) avTa g (0,a ),t0,x gQ0 (4)(a0)T(齐次纽曼条件)。当没有通过ao交换人口(迁移)；虫(a, t, x )+ ap (a, t, x )= 0av当边界上发生人口数量的迁移，并且这种迁移的人口数量和边界q上的人口 数量p成正比。我们就可以考虑一个非齐次状态对应(2)、(3)、(4)。所描述

8、的诞生过程是“更新法”，p(0,t,x)= I a1p (a,t,x,P(t,x)p(a,t,xa， t0,x gQ0这里0是在t时刻的生育率。那么0和在t时刻，位置x父母年龄为a时的 新生人口成比例。这个速率取决于年龄a,时间t,地点x和P(t,x)(在时间t和 位置x时的总人口。)还有一些生物种群与非线性扩散模型描述。这一切发生时，扩散系数取决于 人口密度。在这种情况下人口动力学描述，Dp (a, t, x)+ p(a, t, x)p (a, t, x)-Ay (p (a, t, x)= f (a, t, x) a g (0,a ),t0,x g6Q . 当y :RTR是一个函数与某些属性

9、。在本章中介绍的模型似乎是最现实的连续的年龄相关性与扩散种群动态。我 们不得不提到每个数学模型都有其适用性区域以及其局限性。3.2可扩散的种群模型的解的分析本节关注最重要的属性线性年龄相关性与扩散种群动态的解的问题。将会证 明解的存在性和唯一性。也将建立一些线性模型的比较结果。考虑描述了人口年龄结构的演化与扩散的线性模型Dp (a, t, x)+p(a, t, x)p (a, t, x)一kAp (a, t, x)= f (a, t, x), in QTOflQT,、(3.2.1) in (0,T )x0 in (0, a JxQ盒(a, t, x )= 0 avp (0, t, x)=I a

10、TP (a, t, x)p (a, t, x)da,p(a,0, x)= p0(a,x)假设卩屮,f, p 0满足以下假设(A)卩 g Lp (Qt),卩(a,t,x) 0 a.e. in QT(a2)屮g L (0,a Jxlo,Tx0), y(a,t,x) 0(,t) 0 a.e. in QT p0 g L (0, a Jxb,T)a.e. t g(0, T )0 loc1Ja % 0 (a ,t - a 匸 + a )dai 0(A3)p0 g L (0,a t)xO), p0(a,x) 0a.e. in(0,a t)xQ,a.e. in QT,、f g L (Qt), f (a,t,x

11、) 0,为(了解决(3(2.1 )我们定义一个函数p g L tQ ,属于 c(s 2S)c Ac (L (2 ； &出h (2 ；(L)b对于几乎所有的特l o c征线方程Sa t = a 0 10， (a,t)g (0,a t)x(0,T), (a0,10)g x(0,T)l J(0,a t)x(0)并满足Dp(a,t,x)+ p(a,t,x)p(a,t,x)kAp(a,t,x)= f (a,t,x),in QTon Qt(3.2.2) lim p(, t + 8, J=Ja匸卩(a, t, Jp (a, t, Jda,in L(0), a.e. t g (0,T)8 t0+0lim p(

12、a + 8,8, J= p (a, J,in D(0),a.e. a g(0,a 个)l8T0+0个对于特征线S,我们可以写成S = (a,t)g (0,a 个)x(0,T) ;a t = a 0 10 =(a 0 + s, 10 + s ); s g (0,a )这里我们已经用(a0+a, 10+u)g a Jx(0,T)IJ(0,a t)xTC(S; L (0)= :S T L (0), h 连续AC(S; L (0)= : S T L (0);h(a0 + , 10 + ): (0,a)g L (0)h(a0 +,10 +.): (0,a)g L(0)是绝对连续在紧凑的子区间。 由于，(

13、321)的解满足p g C(S;L(0)，那么(322)3,4是有意义的。 对于Sobolev空间的一些基本原理，我们可以参考附录l Adams。 首先我们研究“满足(A2)Pg 厶(QT)，卩(a, t, x ) 0, a.e. in QT (代替(A2)那么可以得到一个基本的引理。引理3.1在假设条件(含)、(A2)、(A3)下，式子(3.2.1)存在唯一解p如果几卩2小2满足(A2)、几f2and P 01, P 02(A3)以及如果卩 1 P2,卩1 n 卩2, f 1 f 2 ,P01 P02,贝U 0 Pl（a，t,x） 卩心(a,t,x),a.e. in QT (3.2.3)对于

14、任意的N1, N2 e N*, N1 0,a.e.p e L(QT) (0 p(a,t,x) 0，足够光滑， loc1那么存在N N*，这样ep （a, t, x） = pn （a, t, x）,a.e. in 0,a t -8）x（0,T）x0 （3.2.6）对于任意N N8.L(S; H 2(0)loc现在通过解对于一开始的线性抛物线方程的连续依赖性，（3.2.5）和（3.2.6）, 我们可以推断出（p e C（S1;L（0）门 AC;L 对于几乎任意特征线S和S1，得到S = （a,t）e（0,a Jx（0,T）;a-1 = a0-10= （a0 + s,10 + s）;s e（0,a

15、）(a0,10) e 0x(0,T)l J(0, a 丿x 0(a,t)e 0,a t)x 0,T) =(a0 + s, 10 + s); s e (0,a )a = a 匸a0S = a,t)e 0,a ?x 0,T在另一方面，p满足(3.2.2)。还需证明p e C (S; L(Q)门 L (S, H1(Q)对于S = (a, t)e【0,ax0,T;a t = a0 t,如果a = a匸-a。这就足够表明lim p (a。+ s, 10 + s) = 0 in L (Q)sn a女口果a = a a0。通过p添加(322)并积分Q，我们可以得到协(a 0+ s,10+ s 切；(q)“

16、0(a 0+ s, 10 + s) p (a0 + s, 10 + s )|I2L2(Q)f (a 0 + s, 10 + s ) p (a 0 + s, 10 + s ), Vs e(0, a)L2(Q)L2 (q)C(Q)+ s,10 + s)l L2 (訓 p (a 0 + s,10 + s)ll L2 (q) e J；卩 0(a 0 +t ,t0 +t )dT f (a我们整合过去的关系得到p (a 0 + S，10 + S(Q) e0 + U，10 + U 儿(Q)J 卩。(a o ,to +t )dT f (aJ；卩。(們,0加 p(a0 + s,10 + s)I2L2(Q)-p(a + s,t + s)|du (3.2.7)00l2 (q)+J se-J0 卩00Vs e 0,a,a.e. s e(0.a).对于 sn a，我们通过(3.2.7)可以得到lim p (a。+ s, 10 + s)= 0 in L (Q),sn a如果a = a匸a o(因为J a50(a0 + s,10 + s)ds = +s )，我们可以推断出 p e C(S; L(Q)。继续通过p添加(322)然后积分S xQ，我们可以得到+ s, 10 + s,2l2(q)kJ J |Vp (a。s Q和结果 p e C(S;H1(Q)。所以，p是（3.2.1）的一个解。（p是非负的）