数学分析第2章数列极限

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1、第2章 数列极限,数列极限的概念,教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列 极限的定义证明数列极限等有关命题。,教学重点：数列极限的概念。 教学难点：数列极限的,定义及其应用。,“割之弥细， 所失弥少， 割之又割， 以至于不可割， 则与圆周合体 而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,二、数列的定义,例如,数列就是“一列数”，但这“一列数”并不是任意的一列数，而 是有一定的规律，有一定次序性，具体讲数列可定义如下；,若函数,的定义域为全体正整数集合,，则称,为数列。,数列也可记

2、为,记,数列,就可写作为：,，,简记为,。,；,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,三、数列的极限,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面的观察：,给定 ，,如何找？（或存在吗？）解上面的数学式子即得：,，取,即可。这样,当,时，,。,综上所述，数列,的通项,随n的无限增大，,无限接近于,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,定义1 设,为数列,a为实数,若对任给的正数,总存在正整数N,使得当,时有,则称数列,收敛于a,实数a称为数列,并记作,

3、的极限,或,.,3、通过,“,”定义证明数列极限,要证明：,，关键是对,解不等式,，,找,的存在范围，进而确定N。,1）直接解不等式,例1,证,所以,2） 通过适当放大,，解不等式,。,例2,证,所以,例3,证,例4,证,刻画了数列在n趋于无穷时与某一常数之间的接近 程度；可以限定其小于任意的给定正数。,随 变化， 但并不唯一， 重要在于证明 其存在性。,3)几何解释:,注意：,其中,三、无穷小数列,定义若,，则称,为无穷小数列。,如,都是无穷小数列。,数列,收敛于a的充要条件：,定理.数列,收敛于a 的充要条件是,为无穷小数列。,极限定义的辨析：,四 等价定义,1等价定义：任给 ，若在 之外

4、数列 中至多有有限个，则称数列 收敛于极限a 。,例5 证明 和 都为发散数列。,例7 设 为给定的数列， 为对 增加、 减少或改变有限项之后得到的数列，则数列 和 同时收敛或发散，收敛时有相同的极限。,作业P27,2(2)(3),3(1)(4)(6),4,5(1), 收敛数列的性质,教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。,教学要求：（）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、 局部有界性、保号性、保不等式性； （）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性 定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。,1.唯一性,定理2.2 每个收敛的数列只有一个极限.,若数列,收敛，,则

5、它只有一个极限。,一、数列极限的性质,证,故极限唯一.,由定义,2.有界性,定理2.3 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,3.保号性,定理2.4,若,（或,），则对任何,（或,），存在正数，使,时有,（或,）。,得当,4.保不等性,定理2.5,设数列,与,均收敛，若存在正数,使得当,时有,，则,。,，,思考：如果把条件“,”换成“,把结论换成,”，那么能否,？,证,5.夹逼准则,本定理既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一个计算数列极限的方法。,设收敛数列,、,都以a为极限，数列,满足：存在正数,，当,时有,则数列,收敛，且,.,定

6、理2.6,上两式同时成立,证,注意:,例2 求数列 的极限。,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,例3,解： 记 ， 这里 ，则有： 左右两边的极限均为1， 故由夹逼准则本例得证。,解,由夹逼定理得,6、极限运算法则,例：求,解：由于,所以,例：求,解：,例4 求,解:,解：若,则,若,，则由,有,若,，则,例5求,解：由于,故,从而,二 数列的子列,子列的定义,定义 设,为正整数集,的无限,称为数列,的一个子列，简记为,.,子集，且,注1,的子列,的各项都来自,且保持这些项在,中的的先后次序,为数列，,则数列,注2 子列,中的,表示,是,中的第,项，,表示,是,中的第k项,注3 数列

7、,本身以及,去掉有限项以后得到的子列，称为,的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为,平凡子列。,的非,数列,与它的任一平凡子列同为收敛或发散，,时有相同的极限。,且在收敛,定理2.8 数列,收敛,的任何非平凡子,列都收敛。,2 子列与其本敛散性关系,若数列,有一个子列发散，或有两个子列收敛而,注,极限不相等，则数列,一定发散。,如,收敛于是1,收敛于是-1。,故,发散,例：证明,证明：由于,故,的两个子列,收敛于0，,发散。,发散。,收敛于1。,即数列,作业 P33 1(1)(4)(5), 2,4(1)(5),6(1),8(1), 数列极限存在的条件,教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工

8、具。,教学要求：（）掌握并会证明单调有界定理，并会运用 它求某些收敛数列的极限； （）初步理解Cauchy准则在极限理论中的 主要意义，并逐步会应用Cauchy准则 判断某些数列的敛散性。,数列极限的两大问题,数列极限的存在性； （此问题为最关键的问题） 数列极限值的大小； （存在性成立后， 才想办法计算极限）,复习引入,几种证明极限存在的方法：,按照数列极限的定义证明。 按照奇、偶子列的收敛性证明。 依据任意子列的收敛性证明。 利用夹逼准则证明。,复习引入,最简单的思想是利用数列本身的性质证明数列极限的存在性,定义若数列,的各项满足不等式,则称,递增和递减数列统称为单调数列,为递减数列；,为

9、递增数列；,不是单调数列。,，,为递增（递减）数列。,例如：,单调有界定理,1 单调数列,几个简单的单调数列：,单调增加,单调减少,单调数列,正文,2 单调有界准则,几何解释:,定理2.9,在实数系中，有界且单调数列必有极限。,证明:对递减数列 由确界原理, 有下确界,令 下证 由下确界定义: 故 时 而 所以 时 即,几点说明：, 通常该准则变通为： 1） 单调递增有上界的数列存在极限。 2） 单调递减有下界的数列存在极限。 本定理只是证明了存在性。 本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性。 此定理的条件为充分非必要条件。,例1 设其中 ，证明 收敛。,证明： 递增显然，下面证明有上界，事实

10、上：,例证明数列,收敛，并求其极限.,证明：记, 则,先证,则,故,从而,故,单调有界，因而收敛。,有界:,令,例3 设S为有界集，证明：若,单调递增数列,则存在严格,使得,例4 证明 存在。,证明：先建立一个不等式，设,对任一正整数,，有,整理后得不等式：,联系到该数列的单调性，可知对一切正整数,，都有,即,有上界。,单调递增上界，即收敛。,于是,上式对一切正整数,都成立，即对一切偶数,，有,。,例 求,解：,二 Cauchy收敛准则：,定理2.10,收敛的充分必要条件是：,存在正整数，使,数列,时有,。,1 auchy收敛准则,根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性。,对任给的,得当,收敛数列的各项越到后面，项之间几乎“挤”在了一起。 判别 的收敛性只要根据本身满足的特性就可以判别，不需要引入别的数列作参照。 把数列项与其极限的关系变换为数列各个项之间的关系。,证明：,2 auchy收敛准则逆否命题 若存在正数 ,使对任给正整数N,存在正整数 ,使 则数列 发散.,作业 P39 1(2)(4),3(1),5(2),7,