以下几种叙述与极限的定义是否等价

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1、练习题 2.1 1. 以下几种叙述与极限的定义是否等价，并说明理由：（1）；答 等价。（1）的叙述与极限的定义不同的地方仅是两个不等式与都带有等号。因为正数具有任意性，且与N的大小无关，所以，有，有。于是，它与极限定义等价。（2）；答 等价。因为使，从而，所以。于是，它与极限定义等价。（3）有无限多个，对每个，有； 答 不等价。 因为“无限个”不一定能保证任意小。例如，无限个，不能任意小，所以“无限个”不等价与“”。于是，它与极限定义不等价。 （4）有无限多个，有； 答 不等价。因为对有无限多个，即“对无限多个n，有”与“有”不等价。例如，数列的无限多个偶数项，即，有，但是数列却不存在极限。于

2、是，它与极限定义不等价。（5），只有有限个，位于区间之外. 答 等价。因为。设数列有项（有限项）：不属于开区间，设 。从而，有，所以，它等价于，有，即（2）的叙述。于是，它与极限定义不等价。3.证明下列极限：（1）.证明 ，要使不等式 成立。从不等式解得。取。于是，有，即 。（2） . 证明 ，要使不等式 成立。从不等式解得。取。于是， ，有，即 。（3） .证明 ，要使不等式 成立。从不等式解得。取。于是， ，有，即 。 （4） . 证明 ，要使不等式 成立。解得。取。于是， ，有，即 。 （5） . 证明 ，要使不等式 成立。从不等式解得。取。于是， ，有，即 。4. 证明：证明 由牛顿二

3、项式定理，有 ，要使不等式 成立。从不等式解得。取。于是， ，有，即 。 类似地，对，用不等式；，用不等式。同法可证。 5. 证明： （1）。 证明 已知有 。 用反证法 假设，设。 ，矛盾。于是，。（2） 。证明 。用反证法 假设，有 ，与已知矛盾。于是，。本题表明：的任意性可使不等式与等式等价，也可使不等式与等价。在数学分析中，欲证明（或）（它们常常与极限有关）时，只须证明，有（或）即可。 * * * * *6. 证明：，其中.证明 因为是常数，所以存在唯一常数，使，从而。 根据二项式定理，有. ，要使不等式 成立。从不等式解得。取。于是， ，有，即 。类似地，可证。7. 证明：若，则.

4、证明 分两种情况：当时，显然得证。当时，已知，即有。而，从而，利用立方差公式可得 ，于是，有，即 。8. 证明下列极限：（1）. 证明 ，要使不等式 成立。从不等式解得。取。于是，有，即 。（2）.证明 ，有不等式 即 从而，要使不等式 成立。从不等式解得。取。于是， 有，即 。（3）.证明 已知有.当时，分别有 .将上述个不等式左右两边分别相乘，得 ，从而 。 于是，要使不等式 成立。从不等式解得。取。于是， 有，即 。（4）证明 。 ，要使不等式 成立。从不等式解得。取。于是， 有，即 。 10. 证明：数列的极限不是0. 证明 ，有，即 数列的极限不是0。11. 证明：数列发散. 证明

5、，当时，有 。当时，有 。 于是，数列发散。练习题 2.2 2. 证明： 若，则.逆命题是否成立？证明 已知，即有。从而有，即。反之不成立。例如，数列。有，即是常数数列，有，但是数列却发散。3. 证明：若，则，其中是固定的正整数.证明 已知，即有，从而有，即。4. 证明：若，则.证明 已知，即有。又已知数列有界，即，有。于是，有 ，即 。5. 证明：若数列有界，且，则.证明 已知数列有界，且，即 ，有。 有。于是， ，即 。6. 用极限定义证明：若，则，有.证明：已知，且，由数列极限定义：取定，有，从而有。7. 证明：若则.证明 已知，有。 ，有。 ，有。 ，有。 又已知，根据两边夹定理，有，

6、即。8. 证明：若，且，则.证明 已知，有。根据极限保序性， 有或。已知。根据两边夹定理，有。9. 证明：若，且，则.证明 已知，有。根据极限保序性， 有或。当，有 。 （ ）当，有。当，有。当，有。已知。根据两边夹定理，有，即。11. 求下列极限：解（）。（）。（）。（）。（）设，有.于是，.而，根据两边夹定理，有。（）设。或。于是，。（8） 所以 。（9）。（10）。12. 证明：，其中.证明 设 ，则.已知 。根据两边夹定理的推论，有，即 。13. 证明：.证明 ，有.已知与。根据两边夹定理，有 。14. 证明：若，则数列收敛，并求其极限.证明 已知，设，则。于是，有，则 或，即数列严格

7、增加。根据连续性公理，数列收敛。设。对等式两端取极限，有，解得。于是，。15. 证明：若，则数列收敛，并求其极限.证明 由几何平均数不超过算术平均数，有，即数列有下界。又有 。设。对等式两端取极限，有，解得。于是，。17.证明：若数列单调增加，且有一个子数列收敛，则数列也收敛，且收敛于同一极限.证明 设，即。取，又已知数列单调增加，则使。于是，有，即。 * * * * *18. 证明：若，则数列与都存在极限且它们的极限相等.证法 由几何平均数不超过算术平均数，有，可证数列单调增加有上界，数列单调减少有下界。由连续性公理，数列与都收敛。取极限，再证它们的极限相等。19证明：若，则数列存在极限，其

8、极限为欧拉常数，.证明 ，有。，由已知不等式，有 ，即数列是严格减少的。再由不等式知，有 即数列有下界，根据连续性公理，数列存在极限，设 （常数）。或 ，其中是欧拉常数。20. 证明：若存在常数，有 ，则数列收敛.证法 用柯西收敛准则。设.首先用连续性公理证明数列收敛.其次用不等式 。22. 方程称为开普勒方程.设，则数列存在极限.（设，以后将证明，是开普勒方程的唯一解.）证法 首先用柯西收敛准则证明数列收敛。其次对等式两端取极限，证明是开普勒方程的一个解。最后用反证法证明，是开普勒方程的唯一解。24. 证明：若，有且，则.证法 若，即，根据第23题与两边夹法则，可证。若，有两种证法：证法一

9、已知，则。根据第23题，有 。再用两边夹法则（调和平均几何平均算术平均）可证。证法二 设 ，有。已知，则。根据第23题可证。验证：（1）若，则.并应用此题验证（3）（其中）。证法 应用第24题与极限与极限。25. 证明：若与，则.证法一 用数列极限定义，只须证明，能找到 。由已知条件，有与。，有与。，有 当固定，而充分大时，上述不等式右端三项都能任意小。 证法二 。上述等式右端第一项极限是0。事实上，已知，且，有。根据第23题，有与 。练习题 2.3 2. 证明下列极限： （1）.证明 不防设。，要使不等式 成立。从不等式解得。取。于是，有，即 。（2）.证明 限定，即。，要使不等式成立。解不

10、等式，得。取。于是， ，有，即 。（3）.证明 限定，即。，要使不等式 成立。解不等式，得。取。于是， ，有，即 。练习题2.41.证明：若当时，函数存在极限，则极限唯一.证明 设当时，函数存在两个极限与，即与，取同时有。于是，有 ，即。于是，当时，函数存在极限，则极限唯一。2. 用极限定义直接证明定理3的推论2，即若，且，则。证明 已知，由极限定义，取定，即有 ，从而。于是，。 3. 用极限定义证明：若，则.证明 已知，即 取。，同时有。于是，有 即 。4.用极限定义证明：若则.证明 已知，即，有。又有 ，有。从而，。取。，同时有。于是，有 ，即 。 5. 证明：若且在有界，则.证明 已知与

11、在有界，即，有，与 。取。，同时有。于是，有，即 。6. 证明：若，则有.证明 已知，由极限定义，取定，即 ，从而有。取。于是，有。7. 证明：若，则.证明 已知，即 由第6题知，则有。取，同时有。于是，有 即 。8.用极限定义证明定理7和定理8.证明（定理7） 已知，即取。，有 或 ，即 。证明（定理8） 已知，即 取。，有 或 ，即 。9. 用不等式叙述下列符号的意义：（1）有。 （2），有。11. 证明：若函数在R是周期函数，且，则，有.证明 用反证法 假设，即，使。已知是周期函数，设它的周期是T0。从而，有 。于是， ，与已知矛盾。 * * * * *15. 已知下列极限，确定a 与b

12、：（1）.解 因为 ，所以必有 ，解得。（2）.解 由，得。而，必有，解得。（3）.解 因为 ，所以必有，即，解得。16. 写出极限存在的海涅定理，并给以证明.答 。证明 已知，即。又已知对任意数列，且，由无穷大的定义，对上述的，从而，有，即 。应用反证法 假设，即，有。 于是构造一个数列，显然，但是。与已知条件矛盾，即 。17. 应用海涅定理证明：若函数有定义，且单调增加，则，极限与都存在，且. 证法 只须证明，同法可证.首先证明，在内任意单调增加数列，且，相应函数值数列也单调增加，且有上界.用连续性公理，数列收敛.设，有.其次再证明，在内任意数列，且，借助于已知，可证.根据海涅定理，.18

13、. 证明：若函数上严格增加，且，有，则. 证法 用反证法.假设，即，有. 由已知条件，有，即 ，与已知矛盾.19. 用极限运算法则及定理，验证下列极限：（1）.证法 首先恒等变形：，其次取极限，或者设.有 （2） .证法 首先恒等变形 其次取极限.（3）.证法一 .各项乘以，再用定理6.证法二 ，其中的小数部分，（4）证法一 各项乘以，有 再用定理6.证法二 （5）证法 即练习题 2.5 1.将下列符号的意义用不等式叙述出来： （1） （2）（3）（4）（5）（6）2. 证明：（1）证明 要使不等式 成立。解得。取。于是， 即 （2）.证明 限定要使不等式 成立。解得。取。于是， 即 。（3）

14、.证明 要使不等式 成立。解得。取。于是， 即 。（4）.证明 要使不等式 成立。解得。取。于是， ，即 。（5）.证明 要使不等式 成立。解得。取。于是， ，即 。（6）.证明 要使不等式 成立。解得。取。于是， 即 。3. 证明：若，则.证明 已知，则 有，从而有。又已知，即 ，有。取。，同时有与。于是，有 ，即 。4. 证明：若，则.证明 已知，即有有，与 有。取。，同时有与。于是，有，即 。5. 证明：若，则.证明 已知。由极限的保号性， 又已知，即.取。，同时有。于是，有是正整数），即 。6.证明：当时，符号具有下列性质：（1）.证明 ，即 。（2）证明 ，即 （3）证明 ，即 。7.证明：.证明 已知。于是，即 。已知，即或，即 。8. 证明：（1）.证明 。（2）.证明 ，即。（3）.证明 ，即。（4）.证明 ，即 。（5）. 即 。 （6）. 证明 ，即 。 * * * * * 9. 证明：若函数单调增加，存在数列，且，有 证明 应用反证法 假设，即，有。 于是构造一个数列，显然，但是。与已知条件矛盾，即 。