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1、学 士 学 位 论 文题 目 几何光学的矩阵方法学 生 冷一静指导老师 刘晓杰年 级 2002级专 业 物理教育系 别 物理系学 院 呼兰学院哈尔滨师范大学2010年5月几何光学的矩阵方法李巍巍摘要：把矩阵方法引进成像系统的光路计算，是能否用计算机代劳的运作关键。本文从推导矩阵方法的依据入手，推导出五种光线变换矩阵的方法，并以实例验证了矩阵方法计算共轴光学系统的成像规律。关键词：几何光学; 变换矩阵; 矩阵光学Abstract: It is key to caculate the ray path of imagine system in computer by introducing mat
2、rix method. In this paper, we take matrix method to educe five kinds of lights transformation matrix method, and illustrate the image law of the coaxial optical system on the base of matrix method.Key words: Geometry optics; transformation matrix; matrix optics光学既是物理学中最古老的一门基础学科，又是当前科学领域中最活跃的前沿阵地之一，
3、具有强大的生命力和不可估量的发展前途。光学真正形成一门科学，应该从建立反射定律和折射定律的时代算起，用几何方法进行研究，方法简便，也可以得到相当完满的结果，光学的这一分支称为几何光学。一概述矩阵，以其形式工整、简洁，易于记忆而受到物理学家们的钟爱，用矩阵来规范、表达物理学规律更是屡见不鲜。如电动力学中的洛伦兹变换矩阵、电磁场张量（四维张量）、理论力学中的惯性张量以及电工学中常见的矩阵方程等，都是物理学中应用矩阵代数的例子，量子力学中应用矩阵就更多了。至于光学中的矩阵方法也不自今日始，但真正应用却是近几十年来的事。并且随着激光科学技术的发展，矩阵光学研究范围迅速扩大，并显示出它处理问题简明、规范
4、和便于计算计求解等优点。用矩阵方法研究光束的传输变换特别方便。众所周知，光学系统对光线或激光束的变换作用可由其变换矩阵表示。因此，光学系统对光线或激光束的变换矩阵对用矩阵方法研究光学问题是非常重要的。本文将总结几种变换矩阵的推导方法，并加以举例说明。二 矩阵方法的依据1.光线的描述近轴光学主要计算光线在介质表面被反射或折射时的位置和方向问题。为了描述光线的位置和方向，我们引入坐标、和角度、。如光线入射点的坐标和方向用、和、来表示，出射点的坐标和方向用、和、来表示。但是，对近轴光线来说，光轴具有对称性，因此只研究包括光轴和入射点的平面内的光线就够了，如图1所示。这时光线对入射点A的位置和方向可用
5、和表示，光线对出射点的位置和方向可用和来表示，我们把、和、叫做光线的参量，并分别用矩阵和来表示。2.光线参量的变换下面我们来分析出射光线参量和入射光线之间关系，为此，我们先看其单球面的折射情况。设入射光线从折射率为n的介质射入折射率为的介质中，如图2所示。由图可知 所以、和、的关系为， .写成矩阵形式，则为 式中，称为变换矩阵，矩阵中各元素由光学系统决定。由此可见，、和、存在着线性关系，因而光线参量可以相互变换，这就是用矩阵方法来处理近轴光线问题的道理。三各种变换矩阵1.均匀介质中的传输矩阵设在同一种均匀介质中，光线从传输到，其轴向位移为d，如图3所示。 写成矩阵形式，则为： （1）称为向右传
6、输矩阵。2.平面反射和折射矩阵对于平面反射情况，如图4所示，显然有 ，写成矩阵形式，则为 ，。 （2）称为平面反射矩阵。对于平面折射情况，同理可得其矩阵为 （3）3.球面反射和折射矩阵：对于球面反射情况，如图5所示，设球面反射镜曲率半经为r，若考虑近轴条件，由光的反射定律可以得到：，即：写成矩阵形式，则为 （4）称为球面反射矩阵。对于球面折射情况，由上面的证明同理可得 （5）4.薄透镜变换矩阵：对于薄透镜，光线的变换是这样的：入射光线在A点发生第一次球面折射，所后由A点传输到点，再在点发生第二次折射，如图（6）所示。设薄透镜折射率为n，物空间折射率为，象空间折射率为，因此，第二次折射后的光学参
7、量为： 式中： （6）称为薄透镜的变换矩阵。5.厚透镜变换矩阵对于厚透镜，光线的变换是这样的：入射光线从开始，首先穿过曲率半径为的折射率突变的球面后，在介质中传播距离d，继而穿过曲率半径为折射率突变的球面，而到达介质。设厚透镜厚度为，两端面曲率半径分别为和，介质折射率为，其左右空间折射率为和，则 （7）称为厚透镜的变换矩阵。若厚透镜置于空气中，则 （8）四光学系统的成像计算1 ABCD定理一像距的计算 设有一光学系统，第一个折射面为，最后一个折射面为，在光轴上有一物点，经光学系统后，成像于点，如图8所示。则出射光线参量与入射光线参量之间的关系 ， （9）又由图可知，在近轴条件下， （10），（
8、11）由（9）（10）（11）式可知： （12）该式称为ABCD定理。由此可见，只要知道一个系统的变换矩阵和物距，根据（10）式便可求出最后成像的像距。2.成像矩阵一横向放大率的计算。 已知物高为，经光学系统后成像的像高为， 如图9所示。设从点发出一条光线，其参量为（、），最后通过点，其参量为（、）他们之间的关系为 (13) （14）称为成像矩阵。而（1）式的线性方程可写成，由此可得横向放大率为在近轴条件下，与无关，故。将成像矩阵中的元素代入，可得横向放大率为（15）可见，横向放大率即可从成像矩阵中的元素来求，也可以从系统的变换矩阵、元素及像距来求。图9五.应用举例例1一平板玻璃厚，折射率，在
9、其前面处放一物体，隔着玻璃垂直看像应在何处？解 .例2有一双凸厚透镜置于空气中，透镜的折射率，厚度，第一、二球面的曲率半径分别为，物距，求像的位置和横向放大率。解 所以像的位置，（为实像）横向放大率（为缩小倒立的像）例3 一凸透镜和一凹透镜的焦距分别为20和-40，相距为40，今将物置于凸透镜左边30处，求像的位置和性质。解 所以像的位置 ， （为实像）横向放大率 . （为放大倒立的像）六、总结本文归纳了几种推导变换矩阵的方法以及光学系统的成像计算。在实际工作中，针对不同的情况，采用不同的矩阵方法能给推导带来方便。以上是几何光学矩阵方法的一种粗浅尝试，还存在不足之外，希望以此为引玉之砖，以求得
10、更完美的矩阵方法。参考文献：1母国光.光学M.人民教育出版社，1978.2Lee W,Casperson、Synthes is of Gaussian beam optical systemsJ.Applied Optices ,1981,20(13):2243-22493Attrad A E ,Matrix optical analys is of skew rays in mixed systems of spherical and orthogonal cylindrical lensesJ,Appopt ,1984,23(16):2706-27114蔡履中.光学M.济南：山东大学出版社，1921.5张阜权.光学M.北京：北京师范大学出版社，1992
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