《全国版2017版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量10.5古典概型课件理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国版2017版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量10.5古典概型课件理（64页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、第五节 古典概型,【知识梳理】 1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是_的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_ 的和.,互斥,基本事件,2.古典概型 (1) (2)概率计算公式: P(A)=_.,【特别提醒】 1.古典概型中的基本事件都是互斥的. 2.任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本 事件概率的和.,【小题快练】 链接教材练一练 1.(必修3P134A组T5改编)一个盒子里装有标号为1,2, 3,4的4张卡片,随机地抽取2张,则取出的2张卡片上的 数字之和为奇数的概率是(),【解析】选D.从盒中装有数字1,2,3,4的4张卡片中随 机抽取2张,有(1,2),(1,3
2、),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) 共6种,取出的2张卡片上的数字之和为奇数的取法有 (1,2),(1,4),(2,3),(3,4)共4种,故取出的2张卡片上 的数字之和为奇数的概率是,2.(必修3P145复习参考题A组T5改编)盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率为.,【解析】从5个球中任取2个球有 =10(种)取法,2个球 颜色不同的取法有 =6(种),故所求概率为 答案:,3.(2015广东高考)袋中共有15个除了颜色外完全相 同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球, 所取的2个
3、球中恰有1个白球,1个红球的概率为(),【解析】选C.从袋中任取2个球共有 =105种,其中恰 好1个白球,1个红球共有 =50种,所以恰好1个白 球,1个红球的概率为,4.(2014湖北高考)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们 向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5 的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则() A.p1p2p3 B.p2p1p3 C.p1p3p2 D.p3p1p2,【解析】选C.列表得:,所以一共有36种等可能的结果,两枚骰子点数之和不超 过5的有10种情况,点数之和大于5的有26种情况,点数 之和为偶数的有18种情况,所以向上的点数之和不超过 5的概率
4、点数之和大于5的概率 点数之和为偶数的概率,5.(2015江苏高考)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.,【解析】设4只球分别为白、红、黄1、黄2,从中一次 随机摸出2只球,所有基本事件为(白,红)、(白,黄1)、 (白,黄2)、(红,黄1)、(红,黄2)、(黄1,黄2),共6个, 颜色不同的有(白,红)、(白,黄1)、(白,黄2)、(红, 黄1)、(红,黄2),共5个,所以2只球颜色不同的概率为 . 答案:,6.(2014上海高考)为强化安全意识,某商场拟在未来 的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选
5、择 的3天恰好为连续3天的概率是(结果用最简分 数表示). 【解析】基本事件总数为120,3天恰好连续共有8种选 法,所以所求的概率为 答案:,考向一古典概型简单应用问题 【典例1】(1)(2015全国卷)如果3个正整数可作为 一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾 股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成 一组勾股数的概率为(),(2)(2015天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的 运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从 这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. 求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数. 将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,
6、A2,A3,A4,A5,A6,从这6名运动员中随机抽取2名参加 双打比赛.,(i)用所给编号列出所有可能的结果; (ii)设A为事件“编号为A5,A6的两名运动员至少有 一人被抽到”,求事件A发生的概率.,【解题导引】(1)用排列组合求出所有结果,并分析其中的勾股数,根据古典概型求解. (2)根据分层抽样的每层抽样比相同,直接求解; (i)用列举法列出基本事件;(ii)用列举法求出A包含的基本事件数,利用古典概型的概率公式计算.,【规范解答】(1)选C.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数 有 =10(种),其中只有(3,4,5)一组勾股数, 所以3个数构成一组勾股数的概率为.,(2)应从甲
7、、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员 人数为3,1,2. (i)从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所 有可能的结果为 共15种.,(ii)编号为A5,A6的两名运动员至少有一人被抽到的结 果为 共9种,所以事件 A发生的概率,【一题多解】解答本题(2)(),还有以下解法:由已知得事件A的对立事件:“抽取2名运动员中没有 A5和A6”的结果有: 所以发生的概率为 所以,【母题变式】1.若本例题(1)条件“1,2,3,4,5”变为 “6,7,8,9,10”,结果如何? 【解析】由(1)解析知从6,7,8,9,10中任取3个不同的 数有10种取法,其中(6,8,10)为一组勾股数,共一种,所
8、 以3个数构成一组勾股数的概率为.,2.若本例题(1)条件“1,2,3,4,5”变为“1,2,3,4,5,6, 7,8,9,10”,则结果如何? 【解析】由已知,从10个数中任取三个数有 =120种, 其中(3,4,5),(6,8,10)为勾股数,共2种,所以3个数构 成一组勾股数的概率为,【规律方法】 1.应用古典概型求某事件的步骤 第一步,判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所 求事件A; 第二步,分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所 包含的基本事件个数m; 第三步,利用公式P(A)=,求出事件A的概率.,2.基本事件个数的确定方法,【变式训练】(2015山东高考)某中学调查了某班全
9、部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如表(单位:人),(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率. (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.,【解析】(1)记“该同学至少参加上述一个社团为事件 A”, 则 所以该同学至少参加上述一个社团的概率为 .,(2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有基 本事件有(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2), (A2,B3),(
10、A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A4,B1),(A4,B2), (A4,B3),(A5,B1),(A5,B2),(A5,B3)共15个,其中A1被选 中且B1未被选中的有(A1,B2),(A1,B3)共2个,所以A1被 选中且B1未被选中的概率为P= .,【加固训练】1.如图给定6个点(任意相邻两点距离为1)A, B,C,D,E,F组成正三角形点阵,在其中任意取 两个点,则两点间的距离为2的概率是(),【解析】选B.从6个点中选出2个的选法共有15种. 若使得取出的两点中距离为2,有 ,D-F三种,所以,2.(2016衡水模拟)某艺校在一天的6节课中随机安排 语文、数学、外语三
11、门文化课和其他三门艺术课各1节, 则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术 课的概率为(用数字作答).,【解析】当每两节文化课之间都有一节艺术课时,共有 =72种排法;当有两节文化课排在一起时,共有 =216种排法;当三节文化课排在一起时,共有 =144种排法.所以在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节 艺术课的概率为 答案:,考向二应用古典概型计算较复杂事件的概率问题 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:古典概型与统计知识的交汇问题 【典例2】(2016兰州模拟)某单位N名员工参加“社 区低碳你我他”活动.他们的年龄在25岁至50岁之间. 按年龄分组:第1组25,30),第2
12、组30,35),第3组 35,40),第4组40,45),第5组45,50,得到的频率分 布直方图如图所示.,下表是年龄的频数分布表.,(1)求正整数a,b,N的值. (2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人,则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少? (3)在(2)的条件下,从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动,求恰有1人在第3组的概率.,【解题导引】(1)由频率分布直方图的性质求解. (2)先求出1,2,3组的总人数,再求出分层抽样比, 然后算得各组人数. (3)利用古典概型计算.,【规范解答】(1)由题中的频率分布直方图可知,a=25, 且b=25=100,总人
13、数N= =250. (2)因为第1,2,3组共有25+25+100=150(人),利用分层 抽样在150人中抽取6人,每组抽取的人数分别为: 第1组的人数为6=1(人), 第2组的人数为6=1(人), 第3组的人数为6=4(人), 所以第1,2,3组分别抽取1人、1人、4人.,(3)由(2)可设第1组的1人为A,第2组的1人为B,第3组的 4人分别为C1,C2,C3,C4,则从6人中抽取2人的所有可能 结果为:(A,B),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4),(B,C1), (B,C2),(B,C3),(B,C4),(C1,C2),(C1,C3),(C1,C4),(C2, C
14、3),(C2,C4),(C3,C4),共15种.,其中恰有1人在第3组的所有结果为:(A,C1),(A,C2), (A,C3),(A,C4),(B,C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4),共8种, 所以恰有1人在第3组的概率为 .,命题方向2:古典概型与其他数学知识的交汇问题 【典例3】(2016武汉模拟)从集合2, 3,4,5中随机抽取一个数a,从集合1,3, 5中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(1,-1) 垂直的概率为(),【解题导引】先用排列组合计算出基本事件总数,再求 出满足条件mn的基本事件数,代入古典概型概率公 式求解. 【规范解答】选A.由题意可知m=
15、(a,b)有: =12(种),mn,即mn=0. 所以a1+b(-1)=0,即a=b, 满足条件的有(3,3),(5,5),共2种情况,所以所求概率 为 .,【易错警示】解答本题有两点容易出错:(1)用排列组合计算基本事件总数时,误为组合而致误.(2)求满足条件mn的m向量时,基本事件数统计错而 致误.,【技法感悟】 1.求解古典概型与统计交汇问题的思路 (1)依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息,提炼出需要的信息. (2)进行统计与古典概型概率的正确计算.,2.求解古典概型与其他数学知识交汇问题的思路 (1)利用涉及的相关的数学知识,找到所求事件满足的约
16、束条件. (2)选择恰当的方法找出符合条件的基本事件总数及所求事件包含的基本事件数. (3)利用古典概型概率公式求出概率.,【题组通关】 1.(2016衡水模拟)投掷两颗骰子,得到其向上的点 数分别为m和n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为 (),【解析】选C.因为(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i,所以 要使其为实数,须n2=m2,即m=n. 由已知得,事件的总数为36,m=n,有(1,1),(2,2), (3,3),(4,4),(5,5),(6,6)共6个,所以为实数的概率 为,2.(2016哈尔滨模拟)某同学同时掷两颗骰子,得到点 数分别为a,b,则椭圆 的离
17、心率e 的概率 是(),【解析】选D.当ab时, 符合a2b的情况有:当b=1时,有a=3,4,5,6四种情况; 当b=2时,有a=5,6两种情况,总共有6种情况,则概率是 同理当a 的概率也为 , 综上可知e 的概率为 .,3.(2016临汾模拟)将一颗骰子抛掷两次,所得向上点 数分别为m,n,则函数y= mx3-nx+1在1,+)上为增函 数的概率是(),【解析】选B.因为y= mx3-nx+1, 所以y=2mx2-n, 令y=0得x= , 所以 是函数的两个极值点, 所以函数在 上是增函数, 则 1,即n2m.,通过建立关于m,n的坐标系可得出满足n2m的点有30 个,由古典概型公式可得
18、函数y= mx3-nx+1在1,+) 上为增函数的概率是,4.(2016沧州模拟)某中学举行了一次“社会主义核 心价值观知识竞赛”活动,为了解本次竞赛中学生成绩 情况,从全体学生中随机抽取了部分学生的分数(得分 取整数且不低于50分,满分100分),作为样本(样本容量 为n)进行统计.按照50,60),60,70),70,80),80, 90),90,100的分组作出频率分布直方图,并作出茎叶 图(图中仅列出来50,60),90,100这两组的数据).,(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x,y. (2)在选取的样本中,从样本中竞赛成绩80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到市政广场
19、参加社会主义核心价值观知识宣传志愿者活动,求所抽取的2名同学来自不同组的概率.,【解析】(1)由题意可知,样本容量 x=0.1-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030.,(2)由题意可知,分数在80,90)的有5人,分别记为1,2, 3,4,5,分数在90,100)有2人,分别记为a,b.从竞赛成 绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有如 下情形: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4), (2,5),(2,a),(2,b),(3,4),(3,5),(3,a),(3,b),(4,5), (4,a),(4,b),(5,a),(5,b),(a,b),共有21个基本事件.,其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有 (1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b), (5,a),(5,b)共10个,所以抽取的2名同学来自不同组的 概率,
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