全国版2017版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.10变化率与导数导数的计算课件理

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1、第十节 变化率与导数、导数的计算,【知识梳理】 1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处导数的定义 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 _= 为函数y=f(x)在x=x0处的导数, 记作f(x0)或 即f(x0)= =_.,(2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点P(x0,y0)处的_(瞬时速度就是 位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为 _,切线的斜率,y-y0=f(x0)(x-x0).,(3)函数f(x)的导函数 称函数f(x)=_为f(x)的导函数.,2.基本初等函数的导数公式,0,x-1,cosx,

2、-sinx,axlna,ex,3.导数的运算法则 (1)f(x)g(x)=_. (2)f(x)g(x)=_. (3) =_.,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),4.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导 数间的关系为yx=_.,yuux,【特别提醒】 1.函数在点P处的切线与过点P的切线的区别 曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是以点P(x0,y0)为切点,以f(x0)为斜率的直线,而曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P(x0,y0)不一定是切点.,2.f(x)的符号及大小的意义 函数y=f(x)的导数f(x

3、)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f(x)|反映了变化的快慢,|f(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.,【小题快练】 链接教材练一练 1.(选修2-2P18习题1.2A组T5改编)已知f(x)=xlnx,若f(x0)=2,则x0等于() A.e2 B.e C. D.ln2,【解析】选B.f(x)的定义域为(0,+),f(x)=lnx+1,由f(x0)=2,即lnx0+1=2,解得x0=e.,2.(选修2-2P19习题1.2B组T2改编)若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=. 【解析】令f(x)=y=ax2-lnx, 得f(x

4、)=2ax- , 所以f(1)=2a-1=0,得a= . 答案:,感悟考题试一试 3.(2016开封模拟)曲线y=sinx+ex在点(0,1)处的切线方程是() A.x-3y+3=0 B.x-2y+2=0 C.2x-y+1=0 D.3x-y+1=0,【解析】选C.y=cosx+ex,故切线斜率为k=2,切线方程为y=2x+1,即2x-y+1=0.,4.(2015天津高考)已知函数f(x)=axlnx,x(0,+),其中a为实数,f(x)为f(x)的导函数,若f(1)=3,则a的值为. 【解析】因为f(x)=a(1+ln x) , 所以f(1)=a=3. 答案:3,5.(2015全国卷)已知曲线

5、y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.,【解析】y=1+ ,则曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线 斜率为k=y =1+1=2,故切线方程为y=2x-1.因为 y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,联立 得ax2+ax+2=0,显然a0,所以由 =a2-8a=0a=8. 答案:8,考向一导数的计算 【典例1】求下列函数的导数. (1)y=lnx+ . (2)y=(2x2-1)(3x+1). (3)y=x-sin cos .,(4)y= . (5)y=ln(2-3x). 【解题导引】(1)直接求导.(2)(3)化简后再求导.(4)利

6、用商的导数运算法则求解.(5)利用复合函数的求导法则求解.,【规范解答】(1)y= (2)因为y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1, 所以y=(6x3+2x2-3x-1) =(6x3)+(2x2)-(3x)-(1) =18x2+4x-3.,【一题多解】解答本题,还有以下方法: y=(2x2-1)(3x+1)+(2x2-1)(3x+1) =4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3 =18x2+4x-3.,(3)因为y=x-sin cos =x- sinx, 所以 =x- =1- cosx.,(4)y=,(5)设y=lnu,则y=ln(2-3x)是由y=l

7、nu与u=2-3x复合 而成, 所以yx=yuux=(lnu)(2-3x),【规律方法】导数计算的原则和方法 (1)原则:先化简解析式,使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商,再求导.,(2)方法: 连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导; 分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导; 对数形式:先化为和、差的形式,再求导;,根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导; 三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导; 复合函数:由外向内,层层求导.,【变式训练】求下列函数的导数 (1)y=(x+1)(x+2)(x+3). (2)y=(x2+

8、2x-1)e2-x. (3)y=,【解析】(1)y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, 所以y=3x2+12x+11. (2)y=(x2+2x-1)e2-x+(x2+2x-1)(e2-x) =(2x+2)e2-x+(x2+2x-1)(-e2-x) =(3-x2)e2-x.,【加固训练】求下列函数的导数. (1)y=exlnx.,【解析】(1)y=exlnx+ex (2)因为,(3)因为,(4)因为,考向二导数几何意义的应用 【典例2】(1)(2014全国卷)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=() A.0B.1C.2D.3 (本题源自

9、A版选修2-2P18习题1.2A组T6),(2)(2014江西高考)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是. 【解题导引】(1)解决曲线的切线问题直接利用导数的几何意义求解. (2)由于在点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则在点P处的切线斜率为2.,【规范解答】(1)选D.令f(x)=y=ax-ln(x+1), 所以f(x)=a- . 所以f(0)=0,且f(0)=2. 解得a=3.,(2)设切点P的坐标为(x0,y0),因为y=lnx+1, 所以切线的斜率为k=lnx0+1, 由题意知k=2,得x0=e,代入曲线方程得y0=e. 故点P的坐标是(e,

10、e). 答案:(e,e),【母题变式】 1.在本例(2)中,若曲线y=xlnx上点P处的切线与直线x+y+1=0垂直,则该切线的方程为.,【解析】设切点为(x0,y0), 因为y=lnx+1,由题意,得lnx0+1=1, 所以lnx0=0,x0=1, 即点P(1,0),所以切线方程为y=x-1, 即x-y-1=0. 答案:x-y-1=0,2.试求本例(2)中曲线上与直线y=-x平行的切线方程.,【解析】设切点为(x0,y0), 因为y=lnx+1, 所以切线的斜率为k=lnx0+1, 由题意知k=-1,得 故所求的切线方程为 即:e2x+e2y+1=0.,【规律方法】 1.与切线有关问题的处理

11、策略 (1)已知切点A(x0,y0)求斜率k,即求该点处的导数值,k=f(x0). (2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1),即解方程f(x1)=k.,(3)求过某点M(x1,y1)的切线方程时,需设出切点A(x0, f(x0),则切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0),再把点M(x1,y1)代入切线方程,求x0. 2.根据导数的几何意义求参数的值的思路 一般是利用切点P(x0,y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.,【变式训练】 1.(2016大同模拟)曲线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的切线方程为() A.y=3x-1 B.y=-3x-1 C.y=3x+1 D.y

12、=-2x-1,【解析】选A.由题意得y=(x+1)ex+2,则曲线y=xex +2x-1在点(0,-1)处的切线的斜率为(0+1)e0+2=3,故曲线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的切线方程为y+1=3x,即y=3x-1.,2.(2016郑州模拟)已知曲线y= -3lnx的一条切线 的斜率为- ,则切点的横坐标为() A.3 B.2 C.1 D.,【解析】选B.因为 所以 再由导 数的几何意义,有 解得x=2或x=-3(舍去).,【加固训练】1.(2016咸阳模拟)直线y= x+b与曲线 y=- x+lnx相切,则b的值为() A.2 B.-1 C.- D.1,【解析】选B.设切点坐标为(x0,y0), 则 得x0=1,切点坐标为 又切点 在直线y= x+b上,故 得b=-1.,2.(2016福州模拟)点P是曲线x2-y-2ln =0上任意一点,则点P到直线4x+4y+1=0的最小距离是(),【解析】选B.曲线即y=x2-lnx(x0), y=2x- (x0), 令y=-1得x= 或者x=-1(舍去), 由此可得曲线x2-y-2ln =0的斜率为-1的切线的切点 坐标为,该点到直线4x+4y+1=0的距离即为曲线上的点到直线距离的最小值, 即所求的最小值为,