全国版2017版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.7应用举例课件理

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1、第七节 应用举例,【知识梳理】 1.三角形的面积公式 SABC= aha= bhb= chc =_=_=_.,2.实际测量中的常见问题,3.实际问题中的常用术语,【特别提醒】 1.三角形的面积公式 解题时特殊情况下可考虑下列公式. S= (R为三角形外接圆半 径,r为三角形内切圆半径,p= (a+b+c).,2.注意结果的准确性 解三角形时,为避免误差的积累,应尽可能使用已知的数据(原始数据),少用间接求出的量.,【小题快练】 链接教材练一练 1.(必修5P20习题1.2B组T1改编)已知ABC的角A,B, C的对边分别为a,b,c,则ABC的面积公式可表示为 (),【解析】选D.因为S= a

2、bsin C= bcsin A= acsin B, 所以A和B都不正确.因为 所以S= 故选D.,2.(必修5P24复习参考题A组T5改编)如图, 从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为67,30,此时气球的高度 是46m,则河流的宽度BC约等于m.(用四舍五 入法将结果精确到个位.参考数据:sin670.92, cos670.39,sin370.60,cos 370.80, 1.73),【解析】记气球的高度为AD,交CB延长线于D, 在RtACD中,AC=92m,在ABC中, BC= sinBAC= sin37 0.60=60(m). 答案:60,感悟考题试一试 3.(2016

3、西安模拟)如图,要测量底部不 能到达的电视塔的高度,选择甲、乙两观 测点.在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别 为45,30,在水平面上测得电视塔与甲,地连线及甲、乙两地连线所成的角为120,甲、乙两地相距500m,则电视塔的高度是() A.100 m B.400m C.200 m D.500m,【解析】选D.设塔高为xm,则由已知可得BC=xm,BD= xm,由余弦定理可得BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD,即3x2=x2+5002+500 x,解得x=500(m).,4.(2016长沙模拟)一学生在河岸紧靠河边笔直行走,经观察,在河对岸靠近河边有一参照物与学生前进方向成30度角,学生

4、前进200米后,测得该参照物与前进方向成75度角,则河的宽度为() A.50( +1)米 B.100( +1)米 C.50 米 D.100 米,【解析】选A.如图所示,在ABC中BAC=30, ACB=75-30=45,AB=200米,5.(2016衡阳模拟)A,B是海面上 位于东西方向相距5(3+ )海里的 两个观测点.现位于A点北偏东 45,B点北偏西60的D点有一艘 轮船发出求救信号,位于B点南偏西60且与B点相距,20 海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30海里/小时,该救援船到达D点需要的时间为() A.1小时 B.2小时 C.(1+ )小时 D. 小时,【解析】选A.由

5、题意知AB=5(3+ )海里, DBA=90-60=30,DAB=45, 所以ADB=105, 在DAB中,由正弦定理得 所以DB=,又DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60, BC=20 海里, 在DBC中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC =300+1200-2 所以CD=30(海里),则需要的时间t= =1(小时).,考向一测量高度问题 【典例1】(1)(2015湖北高考)如图,一 辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶, 到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度

6、CD=m.,(2)如图从某电视塔CO的正东方向的A处,测 得塔顶的仰角为60,在电视塔的南偏西 60的B处测得塔顶的仰角为45,AB间的 距离为35米,则这个电视塔的高度为米.,【解题导引】(1)先用正弦定理求得BC的长度,再解三角形得出CD的长度. (2)在图中,标注已知量,解三个三角形.,【规范解答】(1)在ABC中，CAB=30,ACB=75-30=45, 根据正弦定理知， 即,所以 答案：,(2)如图,可知CAO=60,AOB=150, OBC=45,AB=35米. 设OC=x米,则OA= 米,OB=x米. 在ABO中,由余弦定理, 得AB2=OA2+OB2-2OAOBcosAOB,即

7、 整理得x=5 , 所以此电视塔的高度是5 米. 答案：5,【规律方法】求解高度问题的三个关注点 (1)在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键.,(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错. (3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.,易错提醒:解三角形实际问题时注意各个角的含义,根据这些角把需要的三角形的内角表示出来.而容易出现的错误是把角的含义弄错,把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错.,【变式训练】

8、(2016南昌模拟)如图所 示,为测一棵树的高度,在地面上选取A, B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30,45, 且A,B两点之间的距离为60m,则树的高度为() A.(30+30 )m B.(30+15 )m C.(15+30 )m D.(15+3 )m,【解析】选A.由正弦定理可得,【加固训练】 1.(2016大同模拟)如图,在塔底D的正西 方A处测得塔顶的仰角为45,在它的南偏 东60的B处测得塔顶的仰角为30,AB的距离是84m, 则塔高为()A.24 m B.12 m C.12 m D.36 m,【解析】选C.设塔高CD=xm,则AD=xm,DB= xm.在ABD中,利用余弦

9、定理,得842=x2+( x)2-2 x2cos150,解得x=12 (负值舍去), 故塔高为12 m.,2.(2016青岛模拟)如图,在湖面上高为 10 m处测得天空中一个红色气球的仰角 为30,测得湖中之影的俯角为45,则气球距湖面的 高度为( 1.732,精确到0.1 m)()A.2.7 m B.17.3 m C.37.3 m D.373 m,【解析】选C.在ACE中，tan 30= 所以AE= 在AED中，tan 45=,3.(2016台州模拟)在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动,开始时该物体位于P点,一分钟后其位置在Q点,且POQ=90,再过两分钟后,该物体位于R点,且QOR=

10、60,则tan2OPQ的值等于(),【解析】选A.设PQ=x,QR=2x,OPQ=.如图,因为POQ=90,QOR=60,所以ORP=30-,在RtOPQ中,OQ=xsin.在OQR中,由正弦定理,4.(2016郑州模拟)在地平面上有一旗 杆OP(O在地面),为了测得它的高度h,在 地平面上取一基线AB,测得其长为20m,在A处测得P点的 仰角为30,在B处测得P点的仰角为45,又测得AOB =30,则旗杆的高h等于()A.10 m B.20 m C.10 m D.20 m,【解析】选B.根据题意有PAO=30,PBO=45, AB=20,AO= h,BO=h,在ABO中,利用余弦定理求得 h

11、=20(m).,5.(2016安康模拟)如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得BCD=,BDC=,CD=s,并在点C处测得塔顶A的仰角为,则塔高AB为.,【解析】在BCD中,CBD=-.由正弦定理得 所以BC= 在RtABC中,AB=BCtanACB 答案:,考向二测量距离问题 【典例2】(2016合肥模拟)如图,A,B, C,D都在同一个与水平面垂直的平面内, B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船 于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75,30,于水 面C处测得B点和D点的仰角均为60,AC=100m.试探究,图中B,D间距离与另外哪两点间距离相

12、等,然后求B,D的 距离(计算结果精确到1m, 1.414, 1.732, 2.449),【解题导引】利用正弦定理求解. 【规范解答】在ACD中,DAC=30, ADC=60-DAC=30,所以CD=AC=100m, 又BCD=180-60-60=60, 故CB是CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA.,在ABC中, 即AB= 因此BD335m 所以B,D间的距离与B,A间的距离相等,约为335m.,【母题变式】 1.若本例题中条件不变,求两灯塔的高度(灯塔塔顶离水平面的距离).,【解析】如图,灯塔B的高度为BF= ABsin75= 323(m), 灯塔D的高度为DE=CDsin60=100

13、87(m).,2.若本例题条件改为于水面C处测得B点和D点的仰角分别为45,75,其他条件不变,求BD.,【解析】在ADC中， 在ABC中， 在DBC中，由余弦定理得,【规律方法】 1.距离问题的常见类型及解法 (1)类型:测量距离问题常分为三种类型:山两侧、河两岸、河对岸.,(2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将实际问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.,2.解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.,(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这

14、些三角形,先解能求解的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.,【变式训练】如图,为了了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量,已知AB=50m, BC=120m,于A处测得水深AD=80m,于B处测得水深BE= 200m,于C处测得水深CF=110m,求DEF的余弦值.,【解析】作DMAC交BE于点N，交CF于点M,【加固训练】1.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量 者在A的同侧所在的河岸边选定一点C, 测出AC的距离为50m,ACB=45,CAB=105后,就可以计算出A,B两点间的距离为(),【

15、解析】选A.由AC=50m,ACB=45,CAB=105, 所以CBA=30, 在ABC中,由正弦定理可得,2.(2016佛山模拟)在相距2千米的A,B两点处测量目标点C,若CAB=75,CBA=60,则A,C两点之间的距离为千米.,【解析】ACB=180-75-60=45, 由正弦定理得 AC= 千米. 答案：,考向三正弦定理、余弦定理的综合应用 【考情快递】,命题方向1:航海方面的应用问题 【典例3】如图,在海岸A处,发现北偏 东45方向距A为( -1)海里的B处有 一艘走私船,在A处北偏西75方向,距 A为2海里的C处的缉私船奉命以10 海里/时的速度追 截走私船.此时走私船正以10海里

16、/时的速度从B处向北,偏东30方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走 私船?并求出所需要的时间(注: 2.449).,【解题导引】根据题意在图中标注已知条件,先使用余弦定理求BC,再使用正弦定理求角度.,【规范解答】设缉私船应沿CD方向行驶t小时, 才能最快截获(在D点)走私船,则有CD=10 t(海里), BD=10t(海里). 在ABC中,因为AB=( -1)海里,AC=2海里, BAC=45+75=120,根据余弦定理,可得 根据正弦定理,可得 sinABC= 所以ABC=45,易知CB方向与正北方向垂直, 从而CBD=90+30=120.,在BCD中,根据正弦定理,可得 sinBCD

17、= 所以BCD=30,BDC=30, 所以BD=BC= (海里),则有10t= ,t= 0.245小时=14.7分钟. 答:缉私船沿北偏东60方向,需14.7分钟才能追上走私船.,命题方向2:解三角形中与面积有关的综合问题 【典例4】(1)(2015天津高考)在ABC中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知ABC的面积为 ,b- c=2,cosA=- ,则a的值为.,(2)(2015杭州模拟)已知ABC的周长为 +1, 且sinA+sinB= sinC. 求边AB的长; 若ABC的面积为 sinC,求角C的度数.,【解题导引】(1)先求A的正弦,代入面积公式,求得bc的值,解方程组求

18、b,c,最后由余弦定理求a. (2)根据题意和正弦定理,列出关于AB的方程求解; 由面积公式及余弦定理求解.,【规范解答】(1)因为0A, 所以sinA= 又SABC= 所以bc=24,解方程组 得b=6,c=4,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=62+42-264 =64,所以a=8. 答案:8,(2)由题意及正弦定理,得AB+BC+AC= +1, BC+AC= AB,由两式消元,解方程得AB=1. 由ABC的面积 BCACsinC= sinC, 得BCAC= 由余弦定理, 得cosC= 因为0C180,所以C=60.,【技法感悟】 1.航海方面的应用问题的解题策略 测量角度问

19、题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.,2.解三角形中与面积有关的综合问题 (1)求三角形面积的方法 若三角形中已知一个角(角的大小,或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,套公式求面积.,若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,套公式求面积,总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.,(2)三角形中,已知面积求边、角的方法 三角形面积公式中含有两边及其夹角,故根据题目的特点,若求角,就寻求夹这个角的两边的关系,利用面积公式列方程求解;若

20、求边,就寻求与该边(或两边)有关联的角,利用面积公式列方程求解.,【题组通关】 1.(2016马鞍山模拟)一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75,距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向N处,则该船航行的速度为(),【解析】选C.如图所示, 在PMN中,PM=68,PNM=45,PMN=15, MPN=120, 由正弦定理可得 所以MN= 所以该船的航行速度为 海里/小时.,2.(2016济南模拟)在ABC中,AB=3,AC=4,BC边上的 中线长为 ,则ABC的面积为.,【解析】如图，设BD=DC=x， ADB=, 在ABD和ACD中， 应用余弦定理得,两个式

21、子相加，得 在ABC中，由余弦定理得 cos A= 所以A=60, 所以SABC= 34sin 60= 答案：,3.(2016苏州模拟)在ABC中,已知B= ,AC=4 , D为BC边上一点. (1)若AD=2,SDAC=2 ,求DC的长. (2)若AB=AD,试求ADC的周长的最大值.,【解析】(1)因为SDAC= 所以 ADACsinDAC= 所以sinDAC= . 因为DACBAC 所以DAC= 在ADC中，由余弦定理，得,DC2=AD2+AC2-2ADACcos ， 所以DC2=4+48-22 所以DC= (2)因为AB=AD，B= 所以ABD为正三角形， 在ADC中，根据正弦定理，可

22、得,【加固训练】(2016温州模拟)如图,水平地面ABC与 墙面CBD垂直,E,F两点在线段BC上,且满 足|EF|=4,某人在地面ABC上移动,为了 保证观察效果,要求他到E,F两点的距离和恰好为6,把,人的位置记为P,点R在线段EF上,满足RF=1,点Q在墙面 上,且QRBC,QR=2,由点P观察点Q的仰角为,当PE垂 直墙面DBC时,则tan=.,【解析】由题意知,PE+PF=6,在直角三角形PEF中,由勾股定理可知,PE2+EF2=PF2,即PE2+16=PF2,联立可得PE=,所以在直角三角形PER中,由勾股定理可知,PE2+ER2=PR2,所以PR= 于是在直角三角形PRQ中,tan= 答案:,