DMU 对坐标的曲线积分

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1、DMU 高等数学高等数学DMU 第十章第十章积分学积分学 定积分二重积分三重积分定积分二重积分三重积分积分域积分域 区间域区间域 平面域平面域 空间域空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 DMU 第十章第十章 曲线积分与曲面积分第一节第一节 第二节第二节 第三节第三节 第四节第四节 曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件第五节第五节 第六节第六节 第七节第七节 第八节第八节 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量环流量 与旋度与旋度DMU 第一节第一

2、节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 n 定义及性质定义及性质 n 计算计算n 总结总结DMU ABis1iMiM),(ii对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分定义定义 设线曲形固件在平面线质求曲型引:固件的例量。1(,)iiiiMM，01,nAMMMB划分01limniM做法：所占弧段(,)x y为线为AB，密度.12max,nsss(,)iiis DMU 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分L定义：设 L 是xoy面内的一条光滑曲线弧,f(x,y)在 L上有界,(,)kkkfs 都存在,(,)f x yL上对弧长的曲线积分,记作L(,)df x ys若通过对 L 的任意分割局部的任意取点,下列“乘

3、积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.(,)f x y称为被积函数，L 称为积分弧段.注：注：nk 10limks1kMkM(,)kk 和对ds0DMU 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分性质性质L(1)(,)df x ysL(2)(,)dk f x ys（k 为常数)L(3)(,)df x ys(L由 组成)12L,LL(4)ds(l 为曲线弧 L 的长度)(,)g x yL(,)df x ysL(,)dg x ysL(,)dkf x ysl12LL(,)d(,)df x ysf x ysDMU tttttfsdyxfLd)()()(,)(),(22对弧长的曲线积分的计算法对弧长

4、的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:),(yxf设且)()(tty上的连续函数,解释解释:是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分弧微分：22()()dstt dt又(x,y)在L上 22(,)(),()()()dLf x y dsfttttt对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分DMU 如果曲线如果曲线 的方程为的方程为),()(bxaxy则有Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式:),()(:rrL则syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推广推广:设空间曲线弧的参数方程为)()(,)(),(:ttztytx则szyxfd),

5、(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf)(,()(),(,)(tttfDMU 计算计算,dLsx其中 L 是抛物线2xy 与点 B(1,1)之间的一段弧.解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41(121x)155(121上点 O(0,0)1Lxy2xy o)1,1(B对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分化为定积分时上限一定大于下限DMU 计算曲线积分计算曲线积分,d)(222szyx其中为螺旋的一段弧.解解:szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad2022222)43(

6、3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分DMU 计算计算,d2sx其中为球面 2222azyx被平面 所截的圆周.0zyx解解:由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分也有类似于重积分的对称性DMU 221,342xya设的周长为例：对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分2243)2LLxydsxyds原式=：（解1212Ldsa22423)Lxxyyds求（DMU:积积积注积定分、二重

7、分、三重分的分域对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分积数线方程不能代入到被函中。而曲、曲面积积积数的分，分域方程可代入到被函中。2(1)(2):(:33)xydsOABOB yxOMB yxL求例：解：B(1,1)A(1,0)oM12021 13xdx(2)1012xydsxydsydyOAAB(1)DMU 113222200114142xx dxxx dx(3)对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分122201(141)148xx dx311222220011(14)1488xdxx dx5524DMU(,)dABMx ys质量质心(,)/(,)/LLxxx y dsMyyx y dsM转动惯量222

8、2(,)(,)()(,)xLyLoLIyx y dsIxx y dsIxyx y ds对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分DMU 1221212222()(),()()()()()(,()1()()(),)1()babaxtfttttdtytyy xfx y xyxdxxx yfx yxxydy质心坐标定义及性质质量,转动惯量轮换对称对称性奇偶对称对弧长的曲线积分计算对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分DMU 第二节第二节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 n 定义及性质定义及性质 n 计算计算n 两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系n 总结总结DMU 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线

9、积分的概念与性质1.引例引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,ABLxycosABFW“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:变力所作的功W.ABF ABF(,)(,)(,)F x yP x y iQ x y j对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分DMU 1kMkx对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分kMABxy1)“”.2)“常代变常代变”L把L分成 n 个小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替,),(kk则有kkkkyQxP),(),(kk所做的功为,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kk

10、FnkkWW1则用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点在kyDMU 3)“”4)“取极限取极限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中 为 n 个小弧段的最大长度)LyyxQxyxPd),(d),(记作对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分2.定义定义.设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),

11、(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分.在L 上定义了一个向量函数极限),(,),(),(yxQyxPyxF记作),(yxFDMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ对 x 的曲线积分;对 y 的曲线积分.若 为空间曲线弧,记若记,对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(,),(,),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyx

12、s 类似地,DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分性质性质 1212(1)()LLLPdxQdyPdxQdyPdxQdyLLL(3)(,)(,)(,)(,)LLP x y dx Q x y dyP x y dx Q x y dy(2)()LLk PdxQdykPdxQdy 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向!DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定理定理:),(,),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),()(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续

13、,证明证明:下面先证LxyxPd),(tttPd )(),()(t存在,且有DMU 对应参数设根据定义ix,it),(ii点,i1iiixxx)()(1iittiit)(LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(,)(limiit)(niiiP10)(,)(limiit)()(t对应参数同理可证LyyxQd),(tttQd )(),()(tLxyxPd),(niiiixP10),(lim对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分若 L 的方程为,:),(baxxy则xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(对空间光滑

14、曲线弧:类似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(,)(),(tttQ)(,)(),(tttRtd)(,)(),(tttP,:)()()(ttztytxDMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分1132003(3)24x dxxxdx原式,:(1)(1:2)(3)M(4)N(5)LxydxydyLOABOBOBO BOCB求例:解(1)OAABxydxydyxydxydy原式2yx2xyxyo(1,0)A(1,1)B(0,1)CMN1100102dxydy11200526x dxxdx()原式DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分(5)OCCBxydxy

15、dyxydxydy原式113009(4)210yydyydy原式2yx2xyxyo(1,0)A(1,1)B(0,1)CMN11001ydyxdx计对标线积骤算坐的曲分的步：,.01.画图 求交点02.,确定积分弧段方程的形式找到与之形式相一致的变量,求出该变量的始点与终点的值,将积分弧段方程代入被积函数中得一定积分DMU ozyx例例2 求求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,2122zyxyx从 z 轴正向看为顺时针方向.解解:取 的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd)sin)(cossin(costt

16、 d)cos41(220)sin)(cos2(tt 2对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系设有向光滑弧 L 参数方程为(),():xtytt ab则L上(x,y)处的切向量为(),()Ttt则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(),()()(),()()dbaPtttQtttt22()(),()()()batPtttt2222()(),()()()d()()tQttttttt22()cos()()ttt22()cos()()tttDMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分类似地类似地,在在空间曲线

17、空间曲线 上的两类曲线积分的联系是上的两类曲线积分的联系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令tAsAtd,),(RQPA)d,d,(ddzyxs)cos,cos,(cost sA d sA dstAd记 A 在 t 上的投影为则LsyxQyxPdcos),(cos),(DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分12(,)d(,)ddddddd(),(),()d:(),(),()()d:()ddcoscosdLLLLLLbaLLP x yxQ x yyP xQ yP xQ yP xQ yxtPtQttLytP xxQ xxtxL yxPxQyPQs 定义：定义及性质性质：，计算，关系

18、：DMU n 格林公式格林公式 n 格林公式的应用格林公式的应用n 总结总结DMU D设单连区线 围通域 由分段光滑正向曲格林公式L：成，复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD(,),(,)P x y Q x yD数阶连续导数函在 上有一,dd()d dLDQPP x Q yx yxy则有DMU 12(,)()(),Dx yxyx axb设证明:yxoab1()yx2()yxDABnmLAmBBnAPdxPdxPdx12(,()(,()baabP xx dxP xx dx21(,()(,()baP xxP xxdx21()2()1()(,)()bxbaxaDxPPdxdydxdyP x

19、ydxxyy 21(,()(,()baP xxP xxdx DMU LDPPdxdxdyy 即LDQQ dydxdyx 同 理()LDQPdxdyPdxQdyxy两 式相加得D设复连通区域 由分段光滑正向曲线格林公式：LDl(,),(,)LlP x yQ x yD 围成，函数在上有阶连续一偏导数,则有dd()d dL lDQPP xQ yx yxy DMU cosdd:(sin)xxLeyxeyxy例1LDO(2,0)Am22:(1)1Lxy (,)os,:cxP x yey解 设(,)sinxQ x yeyx sin1,sinxxQPeyeyxy ()2DDQPdxdydxdyxy 原式DM

20、U LL llL lllD cosdd:(sin)xxLey xeyxy例2 LAmO（如图）sin1,sin:xxQPeyeyxy 解DO(2,0)Amcosd(sin)dxxLOAeyxeyxy 原 式cosd(sin)dxxOAeyxeyxy 10d12xDdxdyexe DMU 2222:,:1LydxxdyL xyxy 例3正向D2:2Lydxxdydxdy 解 原式cos:02si:nxtLtyt 解220sin(sin)cos21tt dttdt 原式DMU L22221:,:4LydxxdyL xyxy 例4正向222:4,xy解令cos,2sinxtyt则Dl2222,44y

21、xPQxyxy222222222244,(4)(4)PxyQxyyxyxxyDMU 222244LllydxxdyydxxdyIxyxy22202211sin(sin)cos220Dtt dttdtdxdy2222:,:(1)24LydxxdyLxyxy练习 021()2dt LDlDMU 22,:Lydxxdyxy特例 2222,:yxPQxyxy解LlD:.L iii不含原点(连续)包含原点 D)()d d0QPixyxy 原式222):()iil xy 顺时针LllPdxQdyPdxQdyD()ddQPxyxy2222022sincos2ttdt DMU 22=0,=,:yyQPPQxe

22、exy解 令DA(1,1)OB(0,1)2D5yedxdy例 22DyyLedxdyxedy2yOAABBOxedy21101(1)2xxedxeDMU 11S=(11)22LDxdyydxdxdy12:,()()Daxbxyx闭 区 域21()()()baS Dxxdx则 DMU DLDLl单连通类 一阶偏导连续格封闭正向林公复连通式类 一阶偏导连续封闭正向1.()d d2.,dd3.,4.DLQPx yxyPQLyxP x Q yPQyx三条件满足连续 不封闭不连续(三种方法)求面积5.求二重积分DMU n DMU Gyxo1L2LBA1LPdxQdy则称曲线积分则称曲线积分定义：定义：如

23、果在区域如果在区域 G 内有内有LPdxQdy在在 G内与路径无关内与路径无关,否则称为与路径有关。否则称为与路径有关。2LPdxQdyDMU 平面上曲线积分与路径无关的等价条件平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理.设D 是单连通域,),(),(yxQyxP在D 内具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有.0ddLyQxP(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分(3)yQxPdd),(yxuyQxPyxudd),(d(4)在 D 内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 DMU 说明说明:

24、积分与路径无关时,曲线积分可记为 证明：证明：(1)(2)设21,LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1)BAyQxPddAByQxPddDMU(2)(3)在D内取定点),(00yxA因曲线积分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证yu),(yxQ因此有y

25、QxPuddd和任一点B(x,y),与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数 DMU (3)(4)设存在函数 u(x,y)使得yQxPuddd则),(),(yxQyuyxPxuP,Q 在 D 内具有连续的偏导数,xyuyxu22所以从而在D内每一点都有xQyPxyuxQyxuyP22,DMU (4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,DD(如图),上因此在DxQyP利用格林公式格林公式,得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为证毕DMU 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分yx说明说明:根据定理,若在某区域内,xQyP则2)可用积分法求d u=P dx+Q dy

26、在域 D 内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;DMU 例例1 验证验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分,并求出这个函数.证证:设,22yxQyxP则xQyxyP2由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使yyxxyxuddd22),()0,0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0,0(。),(yx)0,(xxxx0d0yyxyd02

27、yyxyd022221yx对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分DMU(,)PQP Qyx设1 设f(u)在(-,+)连续可导例:,则曲线积分2222()()1.y fxyxdxy fxydyyy2L1+与路径无关20,3123y L在内分段光滑 并计算L(,)(,)的值.DMU 2222()()1,:xy fxyPy fxyQyy21+证明0,PQyyx连 续,LP dxQ dy与 路 径 无 关21()2()()PQfxyxyf xy fxyyyx 2(1,2)2(3,)3PdxQd y原 式122332(,)(1,)3P xdxQy dyDMU 122222331222233222232233

28、221()()233322(2)()()()12334()()4fx dxfydyyfx dxfy dyfy dyfy dy DMU.LPdxQdy与路径无关求参数 或a,b.222222()()I,:(1,1)(0):,2cx xyxxydxdyyycAB例222222()(),:x xyxxyPQyy 设=解2212222()2()PxyyxyxyyDMU 222221212()()2 Qx xyxxyxxy PQyx2232212()2()x xyxxy221222()2()x xyyx xy1 DMU 222222()()cxxIdxdyy xyyxy022110(1)xdxdyx20

29、1ln(1)12x1ln 22 DMU D21221,(),.,LLLQPxyQPdxyQPxyQPPdxQdyxyQPPdxQdyQQQPdxQ dyQdyxyQPxyL+ll与路径无关L封闭:格林公式连续L不封闭:代入法:积分域方程同被积函数方程形式一致 将积分域方程代入被积函数不连续 直接法:设参数方程挖去不连续的点DMU DMU(,),x y z是空间光滑曲面，面密度为引例：求其质量.12n:,:,划方法分oxyz),(kkkmax,.iiis的直径为 的面积(,)iiii 01lim(,)niiiiiMs DMU SzyxMd),(定义定义:设 为光滑曲面,“乘积和式极限”kkkkS

30、f),(nk 10lim都存在,的曲面积分Szyxfd),(其中 叫做积分曲面.据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为SSdf(x,y,z)是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面 上对面积任意取点,DMU 12i)(,)(,)(,)f x y z dsf x y z dsf x y z ds1212ii)(,)(,)(,)(,)k fx y zk g x y zdskfx y z dsk g x y z dsiii)a.b.:,(,)(,)(,)xyzxfx y z dsfz x y dsfy z x ds奇偶对称

31、性与三重积分相同轮换对称 若不变.则 DMU 例：判断222222111).()8xyzxyzxy dszds22222222211100 xyzxyzxyzxdsydszds左边=22222222222221111142).()333xyzxyzxyzx dsxyz dsds 对面积的曲面积分可将积分域方程代入到被积函数中。DMU 22222222211100,0,00,0,03).44xyzxyzxyzzxyzxyzzdszdsxds22222211()145).()()()33()0,()0,()0)xyzxyzf xdsdsf xf yf zf xf xf x222222114).()

32、0 xyzxyzxyzdsxyz dsDMU oxyz定理定理:设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f(x,y,z)在 上连续,存在,且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122则曲面积分证明证明:由定义知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(DMU kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22221(,)(,)()xkkykkkxyzz 0limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(y

33、xz),(,(kkkkzfSzyxfd),(而DMU(,)f x y z ds求的步骤：1(,)zz x y).观察积分域方程的形式,转化为2:(,)xyzz x yxoy).将在上投影得到D,(,)(,)yy x zxx y z或或221(,)xydszz dxdyzz x y将与代入(,)f x y z ds 中,得到二重积分22,(,)1xyxyDf x y z x yzz dxdyDMU 22(,),(,),1xzxzDyy x zf x y x z zyy dxdz同理:2221:().xyzds例22:1,:1,:2zxyz123分解为22(,),(,),1yzyzDxx y zf

34、 x y z y zxx dydz22:11,2xyzz与围成的表面xyzo2 2DMU:yoz2将向面投影有123222()xyz ds I=2:11,12,1yzDyzxy xyzo2 222221(1)xyxydxdy22111212(1)1yzzdydzy 22221(4)xyxydxdyDMU 12ni).:注222ii).:.xyRxozyoz将投影到或上iii).,在没投影前 将积分域方程代入被积函数中;投影后,被积函数的变量与积分域的变量相同.DMU 计算计算,dSzyx其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面.ozyx111解解:设上的部分,则4321,4dSzyx,1:4y

35、xz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1(12031zyx与,0,0,0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式=分别表示 在平面 DMU DMU 曲面分类曲面分类双侧曲面双侧曲面单侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和曲面分上侧和下侧下侧曲面分内侧和曲面分内侧和外侧外侧曲面分左侧和曲面分左侧和右侧右侧(单侧曲面的典型单侧曲面的典型)DMU 其方向用法向量指向表示:方向余弦coscoscos 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 时,说明流入 的流体质量少于 当 0 时,说明流入 的流体质量多于流出的,则单位时间通过 的流量为 当=0 时,说明流入与流出 的

36、流体质量相等.n流出的,表明 内有泉;表明 内有洞;根据高斯公式,流量也可表为zyxzRyQxPdddnDMU 方向向外的任一闭曲面,记 所围域为,设 是包含点 M 且为了揭示场内任意点M 处的特性,M在式两边同除以 的体积 V,并令 以任意方式缩小至点 M 则有),(M记作VMlimzyxzRyQxPVMddd1lim),(limzRyQxPMMzRyQxP此式反应了流速场在点M 的特点:其值为正,负或 0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.),(DMU 定义定义:设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(其中P,Q,R 具有连续一阶偏导数,是场内

37、的一片有向 则称曲面,其单位法向量 n,SnAd为向量场 A 通过有向曲面 的通量(流量).在场中点 M(x,y,z)处 称为向量场 A 在点 M 的散度.记作AdivzRyQxPDMU 0divA表明该点处有正源,0divA表明该点处有负源,0divA表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.0divA若向量场 A 处处有,则称 A 为无源场.例如例如,匀速场),(),(为常数其中zyxzyxvvvvvvv 0divv故它是无源场.说明说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且DMU*例例5.5.置于原点,电量为 q 的点电荷产生的场强为rrqE3.divE求解解:3ryy3rzz

38、 3522rxrq5223ryr 5223rzr 03rxx),(3zyxrq)0(r计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.)0(r qEdivDMU,:()PQRdvxyz封闭 外侧()PQRdxdydzPdydzQdzdxRdxdyxyzPdydzQdxdzRdxdyi).,.P Q R一阶偏导连续,PdydzQdzdxRdxdy 不封闭 外侧:DMU ii).,.P Q R一阶偏导不连续代入法(积分域方程的形式同被积函数的分母形式一致)()不能代也不能用高斯公式消去不连续点直接法挖去不连续的点DMU DMU 定理定理.设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,yxyPxQxzxRzPzyzQyR

39、ddddddzRyQxPddd(斯托克斯公式斯托克斯公式)的一个空间域内具有连续一阶偏导数,的侧与 的正向符合右手法则,RQP,则有在包含 在内RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd 或记为或记为DMU yxzyxxzzyzyxddddddzxy111o 利用斯托克斯公式计算积分利用斯托克斯公式计算积分zyyxxzddd其中为平面 x+y+z=1 被三坐标面解解:记三角形域为,取上侧,则所截三角形的整个边界,方向如图所示.zyyxxzdddyxxzzydddddd利用对称性yxDyxdd323yxDDMU 为柱面为柱面与平面 y=z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针,计算.dd

40、d2zxzyxyxyIoz2yx解解:设为平面 z=y 上被 所围椭圆域,且取下侧,0cos利用斯托克斯公式得SIdSzyd)(210则其法线方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222DMU.:,斯托克斯公式中的方向注i)oxox 从轴正向看去或站在轴角度看,的方向,ox与轴正向一致时 封闭曲线的方向必须为逆时针方向，才可以说满足右手法则.iiz)以z轴的正向往负向看去,的方向指向 轴的负方向时,的方向必须为顺时针方向.DMU 斯托克斯公式yxxzzyyPxQxRzPzQyRdd)(dd)(dd)(zRyQxPddd设曲面 的法向量为 曲线 的单位切向量为则

41、斯托克斯公式可写为 SyPxQxRzPzQyRdcoscoscossRQPd)coscoscos()cos,cos,(cosn)cos,cos,(cosDMU 令,引进一个向量),(RQPA Arot)(),(),(yPxQxRzPzQyR记作向量 rot A 称为向量场 A 的RQPkjizyx称为向量场A定义定义:sAzRyQxPdddd沿有向闭曲线 的环流量环流量.sASnAddrot或sASAndd)(rot于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度旋度.DMU ozxyl设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,M则),(zyxr 角速度为,r),0,0(点 M 的线速度为

42、rvvrotzyxkji00)0,(xy0 xykjizyx)2,0,0(2(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义旋度的力学意义:DMU 向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量 注意 与 的方向形成右手系!sASAndd)(rot为向量场 A 沿 的环流量斯托克斯公式斯托克斯公式的物理意义的物理意义:例例4.求电场强度 rrqE3zyxkjiErot的旋度.解解:)0,0,0(除原点外)3rxq3ryq3rzqDMU 高斯高斯德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,原则:代数、非欧几何、微分几何、超几何 在对天文学、大恪守这样的“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.DMU(1819-1903)英国数学物理学家.他是19世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一,其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法,在1845年他导出了著名的粘性流体运动方程(后称之 为纳维 斯托克斯方程),1847年先于 柯西提出了一致收敛的概念.他提出的斯托克斯公式 是向量分析的基本公式.他一生的工作先后分 五卷 出版.