八个有趣模型搞定外接球内切球问题)

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1、八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与切球类型一、墙角模型(三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径)cCBa图2cCaB图3PcC图4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2 = a2 + b2 + c2，即2R = ： a2 + b2 + c2，求出R例 1 (1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 ，体积为16，则这个球的表面积是()A. 16兀B. 20兀C. 24兀D. 32兀(2)若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是(3)在正三棱锥S - ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM丄MN，若侧棱SA = 2 3 ,则正三棱锥S -

2、ABC夕卜接球的表面积是(4)在四面体S ABC中，SA丄 平面ABC， ABAC = 120,SA = AC = 2, AB = 1,则该四面体的外接球的表面积为( )A.llnB7C.10 兀(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是a _ bsin A sin Bcsin C2r)00 二 1 PA丿，1 2；(6)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、垂面模型(一条直线垂直于平面)1.题设：如图5, PA丄平面ABC解题步骤：第一步：将AABC 画在小圆面上，A

3、为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD，连接PD，则PD必过球心O ；第二步：O 为 AABC的外心，所以00 丄 平面 ABC，算出小圆O 的半1 1 1径0D = r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 = PA2 + (2r)2 o 2R = * PA + (2r)2 ； R2 二 r2 + 002 o R 二、;r2 + 00 22.题设：如图6，7，8，P的射影是AABC的外心O三棱锥P - ABC的三条侧棱相等O 三棱锥P - ABC 的底面AABC 在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点图7-1BO*cO图7-2*B-

4、二02亠一图8-2第一步：确定球心O的位置，取AABC 的外心O,则 P,O,O三点共线；第二步：先算出小圆O 的半径 AO = r，再算出棱锥的高PO = h （也是圆锥的高）；1 1 1第三步：勾股定理：OA2 = O A2 + OO2 n R2 = （h 一 R）2 + r2，解出 R方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为（）C16C. PD.以上都不对类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）AAACC图9-1图9-2图9-3 图9-4C1.题设：如图9-1, 平面PAC丄平面 ABC，且 AB丄BC （即 AC 为小圆的直径）第一步：易

5、知球心O 必是 APAC 的外心，即 APAC 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径 AC = 2r ；第二步：在APAC中,a b可根据正弦定理=-sm Asin Bcsin C求出R2. 如图9-2，平面PAC丄平面 ABC，且 AB丄BC (即AC为小圆的直径)OC 2 二 OC 2 + OO 2 o R 2 二 r 2 + OO 2 o AC = 2jR 2 00 211 1 v 13. 如图9-3,平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC (即AC为小圆的直径)，且P的射影是AABC的外 心 o 三棱锥 P ABC 的三条侧棱相等 o 三棱 P ABC 的底面 AABC 在圆锥的底上，顶点

6、P 点也是圆 锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取AABC 的外心0,贝u P,0,0 三点共线；第二步：先算出小圆0 的半径 AO = r，再算出棱锥的高P0 = h (也是圆锥的高)；1 1 1第三步：勾股定理：0A2 = 0 A2 + 0 02 n R2 = (h 一 R)2 + r2 解出R114. 如图9-3，平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC (即AC为小圆的直径)，且PA丄AC，贝U利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 = PA2 + (2r)2 o 2R =、PA2 + (2r)2 ； R2 = r2 + 002 o R = ：r2 + 00 2例3 (1)

7、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1,底面边长为2 3 ,则该球的表面积为。(2) 正四棱锥S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为(3)在三棱锥P - ABC中，PA = PB = PC =、3，侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为( )C. 4兀D.兀“B亏（4） 已知三棱锥S - ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上，AABC 是边长为1的正三角形，SC 为球 O 的直 径，且SC = 2，则此棱锥的体积为（）A题设：如图意三角形）10-1，图 10-2，图 10-3,直三棱柱接于球（同时直棱柱也接于圆柱，棱柱的上

8、下底面可以是任2爲迈A- 6C丁D. 2第一步：确定球心 O 的位置，0 是 AABC 的外心，贝u OO 丄 平面 ABC ；11，解出 R第二步算出小圆q的半径AOi二r, Oq = AA1 = 2h（AA二h也是圆柱的高）;第三步勾股定理：OA2 = O A2 + OO2 n R2 = ( )2 + r2 n R =ii2例 4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，9且该六棱柱的体积为6，底面周长为3，则这个球的体积为82）直三棱柱ABC- ABC的各顶点都在同一球面上，若AB = AC = AA = 2 ,ZBAC = 120 ,则

9、此球1 1 1 1的表面积等于。(3) 已知AEAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA = EB = 3, AD = 2, ZAEB = 60,则多面体 E - ABCD 的外接球的表面积为。兀(4) 在直三棱柱ABC ABC中，AB = 4, AC = 6, A = , AA = 4则直三.棱柱ABC ABC的外接球1 1 1311 1 1的表面积为类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图 11)第一步：先画出如图所示的图形，将ABCD 画在小圆上，找出ABCD 和 AABD的外心H 和 H ；12第二步：过 H 和 H 分别作平面 BCD 和

10、平面 ABD 的垂线，两垂线的交点即为球心 O，连接 OE, OC ； 12第三步解AOEH，算出OH，在RtAOCH中，勾股定理：OH2 + CH2 = OC21 1 1 1 1例5三棱锥P - ABC中，平面PAC丄平面ABC， PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，则三棱 锥P - ABC 外接球的半径为.类型六、对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径( AB = CD ，AD = BC ，AC = BD )第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b, c, AD = BC = x, A

11、B = CD = y, AC = BD = z,列方程组,a 2 + b 2 = x 2 b 2 + c 2 = y 2 nc 2 + a 2 = z 2x 2 + y 2 + z 2(2 心=a2 + b 2 + c 2 =厂一补充:VA-BCD11=abc - abc x 4 = abc63第三步根据墙角模型2 R = a 2 + b 2 + c 2图12R = J x 2 + y2 + z 28，求出R ,例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6(1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三 角形(正四面体的截面)的面积是.(2) 个正三棱锥的四

12、个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是()D.12题解答图(3)在三棱锥 A 一 BCD 中，AB = CD = 2, AD = BC = 3, AC = BD = 4,则三棱锥 A - BCD夕卜接球的表面积为(4)如图所示三棱锥A-BCD，其中AB = CD = 5, AC = BD = 6, AD = BC = 7,则该三棱锥外接球的 表面积为.L)(5) 正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型COP,OC，则 OA = OB = OC = OP

13、= 1AB, 2题设：ZAPB = ZACB = 90，求三棱锥P - ABC 外接球半径(分析：取公共的斜边的中点O，连接 O 为三棱锥 P - ABC 外接球球心，然后在 OCP 中求出半径)，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定 值。例7 (1)在矩形ABCD中，AB = 4, BC = 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B - AC - D, 则四面体 ABCD 的外接球的体积为()A125兀12B125125C125D丁 “ABC(2)在矩形ABCD中，AB = 2，BC = 3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A

14、- BCD 的外接球的表面积为类型八、锥体的切球问题1题设：如图 14，三棱锥 P - ABC 上正三棱锥，求其外接球的半径 第一步：先现出切球的截面图， E,H 分别是两个三角形的外心；图141第二步：求DH = -BD , PO 二 PH - r , PD是侧面 AABP的高;第三步：由APOE相似于APDH，建立等式OE PO=，解出rDH PD，2.题设：如图15,四棱锥P - ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出切球的截面图， P,O,H 三点共线；1第二步：求FH = BC, PO = PH - r , PF是侧面APCD的高；2第三步：由APOG相似于APFH，建立等

15、式OG = POHF_TF，解出D图153.题设：三棱锥P - ABC 是任意三棱锥，求其的切球半径方法：等体积法，即切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设切球的半径为r建立等式：V = V + V + V + V nP- ABCO-ABCO-PABO-PACO-PBCV =1S - r +1SP- ABC3 AABC3 PAB-r +1S - r +1S - r = !(S+ S + S + S ) - r3 PAC3 PBC3 A ABCA PABPACAPBC第三步：解出 r =3VP ABCS + S + S + SO一AB

16、CO一PABO一PACO-PBC习题：1.若三棱锥S - ABC 的三条侧棱两两垂直，且SA = 2，SB = SC = 4，则该三棱锥的外接球半径为()A.3B.6C.36D.92. 三棱锥S - ABC中，侧棱SA丄平面 ABC，底面ABC是边长为的正三角形，SA = 2、. 3，则该三 棱锥的外接球体积等于3 .正三棱锥S - ABC中，底面 ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等 于.4.三棱锥P - ABC中，平面PAC丄平面ABC， PAC 边长为2的正三角形，AB丄BC，则三棱锥 P - ABC 外接球的半径为.5.三棱锥P 一 ABC中，平面PAC丄平面ABC， AC = 2， PA = PC = 3， AB丄BC，则三棱锥 P - ABC 外接球的半径为.6.三棱锥P - ABC中，平面PAC丄平面ABC , AC - 2 , PA丄PC , AB丄BC，则三棱锥P - ABC 外接球的半径为.