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1、1.2.2 1.2.2 数列极限的性质数列极限的性质性质性质 1 1（唯一性）（唯一性）若 nx收敛，则其极限唯一。证证明明：用反证法。假设axnnlim，bxnnlim，（ba），取02ab，NN1，1Nn时，恒有axn，NN2，2Nn时，恒有bxn，取,max21NNN，则当Nn时，上面两个不等式同时成立，abaxxbaxxbabnnnn2，矛盾。收敛数列的极限是唯一的。例 1证明数列 1)1(nnx发散。则对于21，NN，Nn 时，恒有21 axn，即)21,21(aaxn。证证明明：若此数列收敛，则其极限唯一，设axnnlim。因为当n时，重复 nx取得 1 和-1 这两个数，而这两个
2、数不可能同时属于长度为 1 的开区间)21,21(aa内，故此数列发散。证证明明：设axnnlim，则对1，NN，Nn时，恒有1axn，从而aaaxaaxxnnn1，即axN11，axN12，axN13，。在nx中不满足axn1的项不过是前N项：1x，2x，Nx。注注意意：收敛数列必有界；反之有界数列未必收敛。例如)1(n有界，但不收敛。性质性质 2 2（有界性有界性）若 nx收敛，则 nx必有界，即 0M，.,MxNnn有。令 1 ,max21axxxMN，则 ,MxNnn有。性质性质 3 3（保序性）（保序性）若axnnlim，bynnlim，且ba，则NN，nnyxNn。证明证明：取2a
3、b。axnnlim，bynnlim，NN1，1Nnaxn2baxn，NN2，2Nnbynnyba2，令,max21NNN，则当Nn时，有nnybax2。推推论论 1 1 若axnnlim，bynnlim，且nnyx，则ba。注注：在推论 1 中nnyx，可能有ba。例如：两个收敛数列1n与1n，对Nn，总有nn11，但01lim)1(limnnnn。推推论论 2 2 若axnnlim，且ba（或ba），则NN，bxNnn（或bxn）。特别地，当0b时，有0nx)(Nn（或0nx)(Nn）。这一性质常称为极限的保保号号性性。性性质质 3 3 及及其其两两个个推推论论的的条条件件与与结结论论可可整
4、整理理成成下下表表 特点特点定理定理 极限的特点极限的特点 项项 )(Nn的特点的特点性质性质 3 3)(的极限nxba)(的极限ny nynx 推论推论 1 1)(的极限nxba)(的极限ny nynx 推论推论 2 2)(的极限nxba（或ba）bnx（或bnx）1.1.2 2.3 3 数列极限的运算法则数列极限的运算法则定理定理 1 1 设axnnlim，bynnlim，则（1）bayxyxnnnnnnnlimlim)(lim；（2）bayxyxnnnnnnnlimlim)(lim；（3）caxccxnnnnlimlim)(为常数c；（4）)0(limlimlimbbayxyxnnnnn
5、nn。证明证明：仅证明（2）。axnnlim，bynnlim，0，NN1，当1Nn时，有axn，NN2，当2Nn时，有byn，取),max(21NNN，则当Nn时，同时有axn，byn。axnnlim，nx必有界，即0M，MxNnn有时 ,。)()(abbxbxyxbayxnnnnnnabbxbxyxnnnnaxbbyxnnn )(bMbM，bayxyxnnnnnnnlimlim)(lim。例 2求（1）357243lim323nnnnn；（2）357243lim32nnnnn。解：（1）73007003357243lim357243lim323323nnnnnnnnnn，（2）0007000
6、357243lim357243lim323232nnnnnnnnnnn。一般地，当Nmk,，且mk时有 m.k 0,m,k ,lim1111babnbnbananammmkkkn例 3求下列极限：（1）322221limnnn；解：322221limnnn.31)12)(1(61lim3nnnnn（2）)1(21 21 limnnn解：)1(2121limnnn2)1(2)1(limnnnnn21lim22nnnnnnnnnnn222lim21nnn11112lim21.21（3）nnnnnsincossincoslim（20）。解：当40时，原式1tan1tan1limnnn；当4时，原式0
7、；当24时，原式11cot1cotlimnnn。例 4求)1(1431321211limnnn。解：111)1(1nnnn，)1(1431321211nn)111()4131()3121()211(nn,111n1)111(lim)1(1431321211limnnnnn。证证明明：azxnnnnlimlim，0，NNN21,，若nnnzyx)(Nn，且azxnnnnlimlim，则aynnlim。当1Nn时，有axn，从而nxa，当2Nn时，有azn，从而azn，取),max(21NNN，则当Nn时，有azyxannnayn，故aynnlim。夹逼定理在肯定ny收敛的同时也给出了其极限值，在
8、实际应用时，若nnylim不易求得，则将ny适当缩小、放大，得两个具有相同极限的辅助数列nx，nz，即可求出nnylim。aanlim，akannlim，例 5（1）kaaa,21为k个给定的正数，求nnknnnaaa21lim。解：设,max21kaaaa，则nnnnnknnnnkakaaaaaa21，aaaannknnn21lim。1limnnk解：令nnxn212)(654321，（2）求.212654321limnnn 122)(765432nnyn，即12102nxn，从而1210nxn。00limn，0121limnn，0limnnx，即0212654321limnnn。则有nny
9、x 0，nnnyxx20，例 6证明：1limnnn。222)1(!2)1(1)1(nnnnnnnxnnxxnnnxxn，从而)1(1211nnnn，但1)121(limnn，故由夹逼定理得1limnnn。可直接引用可直接引用！则0nx，nnxn)1(，120nxn，1.1.2 2.4 4 单调有界原理单调有界原理 设 nx为一数列，若Nn，都有1nnxx（或1nnxx），则称则称 nx单单调调增增加加（或单单调调减减少少）；单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单调减少）的数列统称为单调数列单调数列。若Nn，都有1nnxx（或1nnxx），则称 nx严格单调增加严格单调增加（或严格单调减少
10、严格单调减少）。Mx1x2x3xnx1nxa定理的几何解释定理的几何解释：若数列nx单调增加且有上界，即1nnxx且Mxn),2 ,1(n，则在数轴上nx点随着的增大 n不断向右方移动，因为有上界，所以这些点必无限地趋向于某一定a 点，即nx收敛于a数。定理定理3 3（单调有界原理）：（单调有界原理）：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定有极限。单调增加（减少）有上（下）界的数列必定有极限。证证明明数数列列 )11(nnnx的的极极限限存存在在。2)1(!2)1(11)11(nnnnnnxnn nnnnnnnnnnn)1(!)1()1()1(!3)2)(1(3)11()21)(11(!1)2
11、1)(11(!31)11(!2111nnnnnnnn 类似可计算)121)(111(!31)111(!2111)111(11nnnnxnn)11()121)(111()!1(1nnnnn（1 1）先先证证 nx是是单单调调增增加加数数列列。（2 2）证证明明数数列列 nx有有上上界界。)11()21)(11(!1)21)(11(!31)11(!2111nnnnnnnnxnnnn)1(13212112!1!31!2111313)111()3121()211(2nnn故nx是单调增加且有上界的数列，必定有极限。比较1 nnxx 与的展开式可知，1nnxx，故 nx是单调增加数列。可以证明)5904
12、57182818284.2(eennn)11(lim 由递推公式得数列的前几项：,3455 ,1321 ,58 ,23,1 猜想此数列单调增加且有上界。例 7设,11 ,11121xxxx),3 ,2(1111nxxxnnn，求nnxlim。解：先证 nx单调增加。0211111111112xxxxxx，12xx。假设1kkxx成立，11x，且),3 ,2(1111nxxxnnn，),3 ,2 ,1(0nxn。故由数学归纳法知，),2 ,1(1nxxnn，从而 nx单调增加。再证 nx有上界。2111111nnnxxx，nx有上界。由单调有界原理知，nx必有极限，则)11()11(111kkk
13、kkkxxxxxx有1111kkkkxxxx,0)1)(1(11kkkkxxxx 设Axnnlim。由已知111112111nnnnnxxxxx，得11lim1lim21limnnnnnnxxx，即AAA121，012AA，251limnnx。解得251A，0nx，0A，收敛准则）（定理Cauchy4nmaaNnNmN ,N,0有时当收敛数列na 8例npnaapNnN ,N,N,0有对nxn232221111+222,111-=+(n+1)(n+2)(n+p)111+(1)(n+1)(n+2)(n+p-1)(n+p)111111=(-)+(-)+(-)+1+1+2n+p-1 n+p11 =-+n pnn pNaan nnnnnnn p明：有 证 10,N=,n,-,n pnaa 所以，使得 N pN有 由Cauchy收敛准则，数列 na收敛。作作 业业习习 题题 1.3（P41）2(1)(2)(3);3(2)(3)(5);4(1);2(1)(2)(3);3(2)(3)(5);4(1);5(1)(2)5(1)(2)
高等数学A教学课件：1_2_2数列极限的性质
