高等数学A教学课件：1_2_2数列极限的性质

1.2.2 1.2.2 数列极限的性质数列极限的性质性质性质 1 1（唯一性）（唯一性）若 nx收敛，则其极限唯一。证证明明：用反证法。假设axnnlim，bxnnlim，（ba），取02ab，NN1，1Nn时，恒有axn，NN2，2Nn时，恒有bxn，取,max21NNN，则当Nn时，上面两个不等式同时成立，abaxxbaxxbabnnnn2，矛盾。收敛数列的极限是唯一的。例 1证明数列 1)1(nnx发散。则对于21，NN，Nn 时，恒有21 axn，即)21,21(aaxn。证证明明：若此数列收敛，则其极限唯一，设axnnlim。因为当n时，重复 nx取得 1 和-1 这两个数，而这两个数不可能同时属于长度为 1 的开区间)21,21(aa内，故此数列发散。证证明明：设axnnlim，则对1，NN，Nn时，恒有1axn，从而aaaxaaxxnnn1，即axN11，axN12，axN13，。在nx中不满足axn1的项不过是前N项：1x，2x，Nx。注注意意：收敛数列必有界；反之有界数列未必收敛。例如)1(n有界，但不收敛。性质性质 2 2（有界性有界性）若 nx收敛，则 nx必有界，即 0M，.,MxNnn有。令 1 ,max21axxxMN，则 ,MxNnn有。性质性质 3 3（保序性）（保序性）若axnnlim，bynnlim，且ba，则NN，nnyxNn。证明证明：取2ab。axnnlim，bynnlim，NN1，1Nnaxn2baxn，NN2，2Nnbynnyba2，令,max21NNN，则当Nn时，有nnybax2。推推论论 1 1 若axnnlim，bynnlim，且nnyx，则ba。注注：在推论 1 中nnyx，可能有ba。例如：两个收敛数列1n与1n，对Nn，总有nn11，但01lim)1(limnnnn。推推论论 2 2 若axnnlim，且ba（或ba），则NN，bxNnn（或bxn）。特别地，当0b时，有0nx)(Nn（或0nx)(Nn）。这一性质常称为极限的保保号号性性。性性质质 3 3 及及其其两两个个推推论论的的条条件件与与结结论论可可整整理理成成下下表表 特点特点定理定理 极限的特点极限的特点 项项 )(Nn的特点的特点性质性质 3 3)(的极限nxba)(的极限ny nynx 推论推论 1 1)(的极限nxba)(的极限ny nynx 推论推论 2 2)(的极限nxba（或ba）bnx（或bnx）1.1.2 2.3 3 数列极限的运算法则数列极限的运算法则定理定理 1 1 设axnnlim，bynnlim，则（1）bayxyxnnnnnnnlimlim)(lim；（2）bayxyxnnnnnnnlimlim)(lim；（3）caxccxnnnnlimlim)(为常数c；（4）)0(limlimlimbbayxyxnnnnnnn。证明证明：仅证明（2）。axnnlim，bynnlim，0，NN1，当1Nn时，有axn，NN2，当2Nn时，有byn，取),max(21NNN，则当Nn时，同时有axn，byn。axnnlim，nx必有界，即0M，MxNnn有时 ,。)()(abbxbxyxbayxnnnnnnabbxbxyxnnnnaxbbyxnnn )(bMbM，bayxyxnnnnnnnlimlim)(lim。例 2求（1）357243lim323nnnnn；（2）357243lim32nnnnn。解：（1）73007003357243lim357243lim323323nnnnnnnnnn，（2）0007000357243lim357243lim323232nnnnnnnnnnn。一般地，当Nmk,，且mk时有 m.k 0,m,k ,lim1111babnbnbananammmkkkn例 3求下列极限：（1）322221limnnn；解：322221limnnn.31)12)(1(61lim3nnnnn（2）)1(21 21 limnnn解：)1(2121limnnn2)1(2)1(limnnnnn21lim22nnnnnnnnnnn222lim21nnn11112lim21.21（3）nnnnnsincossincoslim（20）。解：当40时，原式1tan1tan1limnnn；当4时，原式0；当24时，原式11cot1cotlimnnn。例 4求)1(1431321211limnnn。解：111)1(1nnnn，)1(1431321211nn)111()4131()3121()211(nn,111n1)111(lim)1(1431321211limnnnnn。证证明明：azxnnnnlimlim，0，NNN21,，若nnnzyx)(Nn，且azxnnnnlimlim，则aynnlim。当1Nn时，有axn，从而nxa，当2Nn时，有azn，从而azn，取),max(21NNN，则当Nn时，有azyxannnayn，故aynnlim。夹逼定理在肯定ny收敛的同时也给出了其极限值，在实际应用时，若nnylim不易求得，则将ny适当缩小、放大，得两个具有相同极限的辅助数列nx，nz，即可求出nnylim。aanlim，akannlim，例 5（1）kaaa,21为k个给定的正数，求nnknnnaaa21lim。解：设,max21kaaaa，则nnnnnknnnnkakaaaaaa21，aaaannknnn21lim。1limnnk解：令nnxn212)(654321，（2）求.212654321limnnn 122)(765432nnyn，即12102nxn，从而1210nxn。00limn，0121limnn，0limnnx，即0212654321limnnn。则有nnyx 0，nnnyxx20，例 6证明：1limnnn。222)1(!2)1(1)1(nnnnnnnxnnxxnnnxxn，从而)1(1211nnnn，但1)121(limnn，故由夹逼定理得1limnnn。可直接引用可直接引用！则0nx，nnxn)1(，120nxn，1.1.2 2.4 4 单调有界原理单调有界原理 设 nx为一数列，若Nn，都有1nnxx（或1nnxx），则称则称 nx单单调调增增加加（或单单调调减减少少）；单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单调减少）的数列统称为单调数列单调数列。若Nn，都有1nnxx（或1nnxx），则称 nx严格单调增加严格单调增加（或严格单调减少严格单调减少）。Mx1x2x3xnx1nxa定理的几何解释定理的几何解释：若数列nx单调增加且有上界，即1nnxx且Mxn),2 ,1(n，则在数轴上nx点随着的增大 n不断向右方移动，因为有上界，所以这些点必无限地趋向于某一定a 点，即nx收敛于a数。定理定理3 3（单调有界原理）：（单调有界原理）：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定有极限。单调增加（减少）有上（下）界的数列必定有极限。证证明明数数列列 )11(nnnx的的极极限限存存在在。2)1(!2)1(11)11(nnnnnnxnn nnnnnnnnnnn)1(!)1()1()1(!3)2)(1(3)11()21)(11(!1)21)(11(!31)11(!2111nnnnnnnn 类似可计算)121)(111(!31)111(!2111)111(11nnnnxnn)11()121)(111()!1(1nnnnn（1 1）先先证证 nx是是单单调调增增加加数数列列。（2 2）证证明明数数列列 nx有有上上界界。)11()21)(11(!1)21)(11(!31)11(!2111nnnnnnnnxnnnn)1(13212112!1!31!2111313)111()3121()211(2nnn故nx是单调增加且有上界的数列，必定有极限。比较1 nnxx 与的展开式可知，1nnxx，故 nx是单调增加数列。可以证明)590457182818284.2(eennn)11(lim 由递推公式得数列的前几项：,3455 ,1321 ,58 ,23,1 猜想此数列单调增加且有上界。例 7设,11 ,11121xxxx),3 ,2(1111nxxxnnn，求nnxlim。解：先证 nx单调增加。0211111111112xxxxxx，12xx。假设1kkxx成立，11x，且),3 ,2(1111nxxxnnn，),3 ,2 ,1(0nxn。故由数学归纳法知，),2 ,1(1nxxnn，从而 nx单调增加。再证 nx有上界。2111111nnnxxx，nx有上界。由单调有界原理知，nx必有极限，则)11()11(111kkkkkkxxxxxx有1111kkkkxxxx,0)1)(1(11kkkkxxxx 设Axnnlim。由已知111112111nnnnnxxxxx，得11lim1lim21limnnnnnnxxx，即AAA121，012AA，251limnnx。解得251A，0nx，0A，收敛准则）（定理Cauchy4nmaaNnNmN ,N,0有时当收敛数列na 8例npnaapNnN ,N,N,0有对nxn232221111+222,111-=+(n+1)(n+2)(n+p)111+(1)(n+1)(n+2)(n+p-1)(n+p)111111=(-)+(-)+(-)+1+1+2n+p-1 n+p11 =-+n pnn pNaan nnnnnnn p明：有 证 10,N=,n,-,n pnaa 所以，使得 N pN有 由Cauchy收敛准则，数列 na收敛。作作 业业习习 题题 1.3（P41）2(1)(2)(3);3(2)(3)(5);4(1);2(1)(2)(3);3(2)(3)(5);4(1);5(1)(2)5(1)(2)