高一数学必修4-三角函数综合复习

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1、1三角函数复习教案三角函数复习教案【知识网络】学法：1注重化归思想的运用如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等2注意数形结合思想的运用如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案第第 1 课课三角函数的概念三角函数的概念考试注意：理解任意角的概念、弧度的意义 能正确地进行弧度与角度的换算 掌握终边相同角的表示方法 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义了解余切、正割、余割的定义 掌握三角函数的符号法则知识典例：1角的终边在第一、三象限的角平分线上，角的集合可写成

2、2已知角的余弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边()A在 x 轴上B在 y 轴上C在直线 y=x 上D在直线 y=x 上 3已知角的终边过点 p(5，12)，则 cos，tan=4tan(3)cot5cos8的符号为5若 costan0，则是()A第一象限角B第二象限角C第一、二象限角D第二、三象限角任意角的概念弧长公式角度制与弧度制同角三角函数的基本关系式诱导公式计算与化简证明恒等式任意角的三角函数三角函数的图像和性质已知三角函数值求角和角公式和角公式倍角公式倍角公式差角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用2【讲练平台】例 1已知角的终边上一点 P（3，m），且 sin=24m，求 c

3、os与 tan的值分析已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由 P 的坐标可知，需求出 m 的值，从而应寻求 m 的方程解由题意知 r=3m2，则 sin=mr=m3m2又sin=24m，m3m2=24mm=0，m=5 当 m=0 时，cos=1，tan=0；当 m=5 时，cos=64，tan=153；当 m=5 时，cos=64，tan=153点评已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数的定义)解决例 2已知集合 E=cossin，02，F=tansin，求集合 EF分析对于三角不等式，可运用三角函数线解之解E=454，F=

4、2，或322，EF=2例 3设是第二象限角，且满足sin2|=sin2，2是哪个象限的角?解是第二象限角，2k+22k+32，kZk+42k+34，kZ 2是第一象限或第三象限角又sin2|=sin2，sin20.2是第三、第四象限的角 由、知，2是第三象限角点评已知所在的象限，求2或 2等所在的象限，要运用终边相同的角的表示法来表示，否则易出错【知能集成】注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等；已知角的终边上一点的坐标，求三角函数值往往运用定义法；注意运用三角函数线解决有关三角不等式【训练反馈】1 已知是钝角，那么2是（）3A第一象限角B第二象限角C第一与第二象限角D不小于直角的正角

5、2 角的终边过点 P（4k，3k）(k0，则 cos的值是（）A35B45C35D453已知点 P(sincos，tan)在第一象限，则在0，2内，的取值范围是()A(2，34)(，54)B(4，2)(，54)C(2，34)(54，32)D(4，2)(34，)4若 sinx=35，cosx=45，则角 2x 的终边位置在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5若 46，且与23终边相同，则=6 角终边在第三象限，则角 2终边在象限7已知tanx=tanx，则角 x 的集合为8如果是第三象限角，则 cos(sin)sin(sin)的符号为什么？9已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形中

6、心角是 1 弧度，求该扇形面积第第 2 课课同角三角函数的关系及诱导公式同角三角函数的关系及诱导公式【考点指津】掌握同角三角函数的基本关系式：sin2+cos2=1，sincos=tan，tancot=1，掌握正弦、余弦的诱导公式能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题【知识在线】1sin2150+sin2135+2sin210+cos2225的值是()A14B34C114D942已知 sin(+)=35，则()Acos=45Btan=34Ccos=45Dsin()=353已 tan=3，4sin2cos5cos3sin的值为4化简 1+2sin(-2)c

7、os(+2)=5已知是第三象限角，且 sin4+cos4=59，那么 sin2等于()A2 23B2 23C23D23【讲练平台】4例 1化简sin(2-)tan(+)cot(-)cos(-)tan(3-)分析式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化解原式=（-sin）tan-cot(+)(-cos)tan(-)=(-sin)tan(-cot)(-cos)(-tan)=sincossincos=1 点评将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法例 2若 sincos=18，(4，2)，求 cossin的值分析已知式为 sin、cos的二

8、次式，欲求式为 sin、cos的一次式，为了运用条件，须将 cossin进行平方解(cossin)2=cos2+sin22sincos=114=34(4，2)，cossincossin=32变式 1条件同例，求 cos+sin的值变式 2已知 cossin=32，求 sincos，sin+cos的值点评sincos，cos+sin，cossin三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二例 3已知 tan=3求 cos2+sincos的值分析因为 cos2+sincos是关于 sin、cos的二次齐次式，所以可转化成 tan的式子解原式=cos2+sincos=cos2+sincoscos2+sin

9、2=1+tan1+tan2=25点评1关于 cos、sin的齐次式可转化成 tan的式子2注意 1 的作用:1=sin2+cos2等【知能集成】1在三角式的化简，求值等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数2注意 1 的作用：如 1=sin2+cos23要注意观察式子特征，关于 sin、cos的齐次式可转化成关于 tan的式子4运用诱导公式，可将任意角的问题转化成锐角的问题【训练反馈】1sin600的值是（）A12B12C32D322 sin(4+)sin（4）的化简结果为（）5Acos2B12cos2Csin2D12sin23已知 sinx+cosx=15，x0，则 ta

10、nx 的值是（）A34B43C43D34或434已知 tan=13，则12sincos+cos2=512sin10cos10cos10 1cos2170的值为6证明1+2sincoscos2sin2=1+tan1tan7已知2sin+cossin3cos=5，求 3cos2+4sin2的值8已知锐角、满足 sin+sin=sin，coscos=cos，求的值第第 3 课课两角和与两角差的三角函数（一）两角和与两角差的三角函数（一）【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题【知识在线】1cos105的值为（）A

11、6 24B6 24C2 64D 6 242对于任何、（0，2），sin(+)与 sin+sin的大小关系是（）Asin(+)sin+sinBsin(+)sin+sinCsin(+)=sin+sinD要以、的具体值而定3已知32，sin2=a，则 sin+cos等于（）Aa+1Ba+1Ca2+1D a2+14已知 tan=13，tan=13，则 cot(+2)=5已知 tanx=12，则 cos2x=【讲练平台】例 1已知 sinsin=13，coscos=12，求 cos()的值 6分析由于 cos()=coscos+sinsin的右边是关于 sin、cos、sin、cos的二次式，而已知条件

12、是关于 sin、sin、cos、cos的一次式，所以将已知式两边平方解sinsin=13，coscos=12，22，得 22cos()=1336cos()=7259点评审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异例 2求2cos10-sin20cos20的值 分析式中含有两个角，故需先化简注意到 10=3020，由于 30的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角解10=3020，原式=2cos(30-20)-sin20cos20=2(cos30cos20+sin30sin20)-sin20cos20=3 cos30cos20=3 点评化异角为同角，是三角变换中常用的方法例 3已知：sin(+

13、)=2sin求证：tan=3tan(+)分析已知式中含有角 2+和，而欲求式中含有角和+，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角解2+=(+)+，=(+)，sin(+)+=2sin(+)sin(+)cos+cos(+)sin=2sin(+)cos+2cos(+)sin若 cos(+)0，cos0，则 3tan(+)=tan点评审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将+看成一个整体【知能集成】审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想【训练反馈】1已知 02，sin=35，cos(+)=45，则 sin等于（）A0B0 或

14、2425C2425D0 或24252sin7+cos15sin8cos7sin15sin8的值等于（）A2+3B2+32C2 3D2 323 ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则C 的大小为（）A6B56C6或56D3或2374若是锐角，且 sin(6)=13，则 cos的值是5cos7cos27cos37=6已知 tan=12，tan=13，且、都是锐角求证：+=457已知 cos()=45，cos(+)=45，且（）（2，），+（32，2），求 cos2、cos2的值8 已知 sin(+)=12，且 sin(+)=13，求tantan第第 4 课课两角和与

15、两角差的三角函数（二）两角和与两角差的三角函数（二）【考点指津】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题【知识在线】求下列各式的值1cos200cos80+cos110cos10=212（cos15+3 sin15）=3化简 1+2cos2cos2=4cos(20+x)cos(25x)cos(70 x)sin(25x)=511tan11tan=【讲练平台】例 1求下列各式的值（1）tan10tan50+3 tan10tan50；(2)（3 tan12-3）csc124cos212-2(1)解原式=tan(10+50)（1ta

16、n10tan50）+3 tan10tan50=3（2）分析式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦解原式=（3 sin12cos123）1sin122 cos24=24cos212sin312cos38=48sin21)12cos2312sin21(3224cos12cos12sin212cos312sin3=.3448sin)6012sin(34点评（1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式 tanA+tanB=tan(A+B)（1tanAtanB），asinx+bsinx=22ba sin(x+)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法例 2求证1+sin

17、4-cos42 tan=1+sin4+cos41-tan2分析三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边；也可以分别从两边开始，证得都等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式由欲证的等式可知，可先证等式1+sin4-cos41+sin4+cos4=2tan1-tan2，此式的右边等于 tan2，而此式的左边出现了“1cos4”和“1+cos4”，分别运用升幂公式可出现角 2，sin4用倍角公式可出现角 2，从而等式可望得证证略点评注意倍角公式 cos2=2cos21，cos2=12sin2的变形公式：升幂公式1+cos2=2cos2，1cos2=2sin2，降幂公式 s

18、in2=1-cos22，cos2=1cos22的运用；三角恒等式证明的方法：从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分析法等例 3已知 cos(4+x)=35，1712x74，求sin2xsin2xtanx1-tanx的值解 原式=sin2x（1tanx）1-tanx=sin2xtan4tanx1-tan4tanx=sin2xtan（4+x）=cos2(x+4)tan(x+4)=2cos2(x+)1tan（4+x）1712x74，53x+42sin(4+x)=45，tan（4+x）=43原式=2875点评（1）注意两角和公式的逆用；（2）注意特殊角与其三角函数值的关系，如 1=tan4

19、等；（3）注意化同角，将所求式中的角 x 转化成已知条件中的角 x+49【知能集成】在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式：tanA+tanB=tan(A+B)1tanAtanB；asinx+bcosx=22ba sin(x+)及升幂、降幂公式的运用【训练反馈】1cos75+cos15的值等于（）A62B62C22D222a=22（sin17+cos17），b=2cos2131，c=22，则（）AcabBbcaCabcDbac3化简1+sin2-cos21+sin2+cos2=4化简 sin(2+)2sincos(+)=5在ABC 中，已知 A、B、C 成等差数列，则

20、 tanA2+tanC2+3 tanA2tanC2的值为6化简 sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B)7 化简 sin50(1+3 tan10)8 已知 sin(+)=1，求证：sin(2+)+sin(2+3)=0第第 5 课课三角函数的图象与性质（一）三角函数的图象与性质（一）【考点指津】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质【知识在线】1若 3+2cosx0，则 x 的范围是2下列各区间，使函数 y=sin(x+)的单调递增的区间是（）A2，B0，4C，0D4，23下列函数中，周期为2的偶函数是（）Ay=

21、sin4xBy=cos22xsin22xCy=tan2xDy=cos2x4判断下列函数的奇偶性（1）y=xsinx+x2cos2x 是函数；（2）y=sin2xxcotx 是函数；10（3）y=sin(72+3x)是函数5函数 f(x)=cos(3x+)是奇函数，则的值为【讲练平台】例 1（1）函数 y=xxsin21)tan1lg(的定义域为(2)若、为锐角，sincos，则、满足（C）ABC+2D+2分析（1）函数的定义域为0.2sinx-10,tanx-1(*)的解集，由于 y=tanx 的最小正周期为，y=sinx 的最小正周期为 2，所以原函数的周期为 2，应结合三角函数 y=tan

22、x和 y=sinx 的图象先求出(2，32)上满足（*）的 x 的范围，再据周期性易得所求定义域为x2k2x2k+6，或 2k+56 x2k+54，kZ 分析（2）sin、cos不同名，故将不同名函数转化成同名函数，cos转化成 sin(2)，运用 y=sinx 在0，2的单调性，便知答案为 C点评（1）讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；（2）解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小例 2判断下列函数的奇偶性：(1)y=xxxcos1cossin；(2)y=.cossin1cossin1xxxx分析 讨论函数的奇偶性，

23、需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考 f(x)是否等于 f(x)或f(x)解（1）定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为 1+cosx=2cos2x2，所以分母为偶函数，所以原函数是奇函数（2）定义域不关于原点对称（如 x=2，但 x2），故不是奇函数，也不是偶函数点评将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性例 3求下列函数的最小正周期：（1）y=sin(2x6)sin(2x+3)；(2)y=.)32cos(2cos)32sin(2sinxxxx分析对形如 y=Asin(x+)、y=Acos(x+)和 y=Atan(x+)的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进行化简11解（

24、1）y=sin(2x6)sin(2x+26)=12sin(4x3)，所以最小正周期为24=2（2）y=23)2(sin21)2(cos2cos23)2(cos21)2(sin2sinxxxxxx=xxxx2sin232cos232cos232sin23=).62tan(2tan331332tan2tan312tan3xxxxx是小正周期为2点评求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成 y=Asin(x+)k 或 y=Acos(x+)k 或 y=Atan(x+)k 的形式（其中 A、k 为常数，0）例 4已知函数 f(x)=5sinxcosx53cos2x+235(xR)(1)求 f

25、(x)的单调增区间；（2）求 f(x)图象的对称轴、对称中心分析函数表达式较复杂，需先化简解 f(x)=52sin2x531+cos2x2235=5sin(2x3)（1）由 2k22x32k+2，得k12，k+512（kZ）为 f(x)的单调增区间（2）令 2x3=k+2，得 x=k2+512（kZ），则 x=k2+512（kZ）为函数y=f(x)图象的对称轴所在直线的方程，令 2x3=k，得 x=k2+6（kZ），y=f(x)图象的对称中心为点（k2+6，0）（kZ）点评研究三角函数的性质，往往需先化简，以化成一个三角函数为目标；讨论y=Asin(x+)(0)的单调区间，应将x+看成一个整体

26、，设为 t，从而归结为讨论y=Asint 的单调性【知能集成】讨论较复杂的三角函数的性质，往往需要将原函数式进行化简，其目标为转化成同一个角的同名三角函数问题讨论三角函数的单调性，解三角不等式，要注意数形结合思想的运用注意函数性质在解题中的运用：若一个函数为周期函数，则讨论其有关问题，可先研究12在一个周期内的情形，然后再进行推广；若要比较两个角的三角函数值的大小，可考虑运用三角函数的单调性加以解决【训练反馈】1函数 y=lg(2cosx1)的定义域为（）Ax3x3Bx6x6Cx2k3x2k+3，kZ Dx2k6x2k+6，kZ2如果、（2，），且 tancot，那么必有（）ABC+32D+3

27、23若 f(x)sinx 是周期为的奇函数，则 f(x)可以是（）AsinxBcosxCsin2xDcos2x4下列命题中正确的是（）A若、是第一象限角，且，且 sinsinB函数 y=sinxcotx 的单调递增区间是（2k2，2k+2），kZC函数 y=1cos2xsin2x的最小正周期是 2D函数 y=sinxcos2cosxsin2的图象关于 y 轴对称，则=k24，kZ5函数 y=sinx2+cosx2在（2，2）内的递增区间是6y=sin6x+cos6x 的周期为7比较下列函数值的大小：（1）sin2，sin3，sin4；(2)cos2，sin2，tan2（42）8设 f(x)=s

28、in(k5x+3)(k0)(1)写出 f(x)的最大值 M，最小值 m，以及最小正周期 T；（2）试求最小的正整数 k，使得当自变量 x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f(x)至少有一个 M 与 m第第 6 课课三角函数的图象与性质（二）三角函数的图象与性质（二）【考点指津】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和13函数 y=Asin(x+)的图象，理解参数 A、的物理意义掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换会根据图象提供的信息，求出函数解析式【知识在线】1将 y=cosx 的图象作关于 x 轴的对称变换，再将所得的图象向下平移

29、1 个单位，所得图象对应的函数是（）Ay=cosx+1By=cosx1Cy=cosx+1Dy=cosx12函数 f(x)=sin3x 图象的对称中心的坐标一定是（）A(12k，0)，kZB（13k，0），kZC（14k，0），kZD（k，0），kZ3函数 y=cos(2x+2)的图象的一个对称轴方程为（）Ax=2Bx=4Cx=8Dx=4 为了得到函数y=4sin(3x+4)，xR的图象，只需把函数y=3sin(x+4)的图象上所有点（）A横坐标伸长到原来的 3 倍，纵坐标不变B横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变C纵坐标伸长到原来的 3 倍，横坐标不变D纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变5要

30、得到 y=sin(2x3)的图象，只需将 y=sin2x 的图象（）A向左平移3个单位B向右平移3个单位C向左平移6个单位D向右平移6个单位【讲练平台】例 1函数 y=Asin（x+)(A0，0，2)的最小值为2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差 3，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式分析求函数的解析式，即求 A、的值A 与最大、最小值有关，易知 A=2，与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差 3，即T2=3得 T=6，所以=13所以 y=2sin(x3+），又图象过点（0，1），所以可得关于的等式，从而可将求出，易得解析式为 y=2sin(x36）解略点评y=Asin(x

31、+)中的 A 可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定，由周期的大小确定，的确定一般采用待定系数法，即找图像上特殊点坐标代入方程求解，也可由的几何意义（图象的左右平移的情况）等确定（请看下例）14例 2右图为某三角函数图像的一段（1）试用 y=Asin（x+)型函数表示其解析式；（2）求这个函数关于直线 x=2对称的函数解析式解：（1）T=1333=4=2T=12又 A=3，由图象可知所给曲线是由 y=3sinx2沿 x 轴向右平移3而得到的解析式为y=3sin12(x3)(2)设（x，y)为 y=3sin(12x6）关于直线 x=2对称的图像上的任意一点，则该点关于直线 x=2的对称点应为（4

32、x，y)，故与 y=3sin(12x6）关于直线 x=2对称的函数解析式是 y=3sin12（4x)6=3sin(12x6）点评y=sin(x+)(0)的图象由 y=sinx 的图象向左平移（0）或向右平移（0）|个单位特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用例 3已知函数 y=12cos2x+32sinxcosx+1(xR)(1)当 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；（2）该函数图象可由 y=sinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解(1)y=121+cos2x2+3212sin2x+1=12sin

33、(2x+6)+54当 2x+6=2k+2，即 x=k+6，kZ 时，ymax=74(2）由 y=sinx 图象左移6个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的12（横坐标不变），最后把图象向上平移54个单位即可思考还有其他变换途径吗？若有，请叙述点评（1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化【知能集成】已知三角函数 y=Asin(x+）的图象，欲求其解析式，必须搞清 A、和图象的哪些因素有关；y=sinx 和 y=sin(x+)两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易搞

34、错，解题时要倍加小心【训练反馈】xy133333O151函数 y=12sin(2x+)的图象关于 y 轴对称的充要条件是（）A=2k+2B=k+2C=2k+D=k+(kZ)2先将函数 y=sin2x 的图象向右平移3个单位长度，再将所得图象作关于 y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为（）Ay=sin(2x+3)By=sin(2x3)Cy=sin(2x+23)Dy=sin(2x23)3右图是周期为 2的三角函数 y=f(x)的图象，那么 f(x)可以写成（）Asin(1+x)Bsin(1x)Csin(x1)Dsin(1x)4y=tan(12x3)在一个周期内的图象是（）5已知函数 y=

35、2cosx(0 x2)的图象与直线 y=2 围成一个封闭的平面图形，则该封闭图形面积是6将 y=sin(3x6)的图象向（左、右）平移个单位可得 y=sin(3x+3）的图像7已知函数 y=Asin(x+)，在同一个周期内，当 x=9时取得最大值12，当 x=49时取得最小值12，若 A0，0，2，求该函数的解析表达式8已知函数 y=3sinx+cosx，xR(1)当 y 取得最大值时，求自变量 x 的取值集合；（2）该函数的图象可由 y=sinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？9如图：某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(x+)+b（1）求这段时

36、间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式yx111yyyyxxxxOOOO3336665673232323534BACD61014102030时间/hy 温度/16第第 7 课课三角函数的最值三角函数的最值【考点指津】掌握基本三角函数 y=sinx 和 y=cosx 的最值，及取得最值的条件；掌握给定区间上三角函数的最值的求法；能运用三角恒等变形，将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题【知识在线】1已知（1）cos2x=1.5；(2)sinxcosx=25；(3)tanx+1tanx=2；(4)sin3x=4上述四个等式成立的是（）A（1）（2）B（2）（4）C（

37、3）（4）D（1）（3）2 当 xR 时，函数 y=2sin(2x+12)的最大值为，最小值为，当 x 524，24时函数 y 的最大值为，最小值为.3函数 y=sinx3cosx 的最大值为，最小值为4函数 y=cos2x+sinx+1 的值域为【讲练平台】例 1求函数 f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x 的最大值，并求出此时 x 的值分析由于 f（x）的表达式较复杂，需进行化简解y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2=2sin(2x+4)+2当 2x+4=2k+2，即 x=k+8(kZ)时，ymax=2+2 点评要熟练掌握 y

38、=asinx+bcosx 类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx=a2+b2sin（x+）例 2若12,12，求函数 y=cos(4+）+sin2的最小值分析分析在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化解y=cos(4+)cos2(+4)=cos(4+)2cos2(+4)1=2cos2(+4)+cos(4+)+1=2cos2(+4)12cos(+4)+1=2cos(+4)142+9812,12，46，31712cos(+4)32，y最小值=3 12点评（1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即 f(sin

39、x)或 g(cosx)，是常见的转化目标；（2）形如 y=f(sinx)或 y=g(cosx)的最值，常运用 sinx，cosx 的有界性，通过换元转化成 y=at2+bt+c 在某区间上的最值问题；（3）对于 y=Asin(x+)或 y=Acos(x+)的最值的求法，应先求出 t=x+的值域，然后再由 y=Asint 和 y=Acost 的单调性求出最值例 3试求函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 的最大值和最小值分析 由于 sinx+cosx 与 sinxcosx 可以相互表示，所以令 sinx+cosx=t，则原三角函数的最值问题转化成 y=at2+bt+c 在某区间上

40、的最值问题解 令 t=sinx+cosx，则 y=t+t2+1=(t+12)2+34，且 t 2，2，ymin=34，ymax=3+2 点评 注意 sinx+cosx 与 sinxcosx 的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c 在某个区间上的最值问题【知能集成】较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如 y=f(sinx)或y=g(cosx)型或 y=Asin(x+)+k 型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值用换元法解题，特别要注意 sinx+tcosx 与 sinxcosx 的关系，令sinx+cosx=t，则

41、sinxcosx=t212【训练反馈】1函数 y=12+sinx+cosx的最大值是（）A221B221C122D1222若 2+=，则 y=cos6sin的最大值和最小值分别为（）A7，5B7，112C5，112D7，53当 0 x2时，函数 f(x)=sinx+1cosx+1的（）A最大值为 2，最小值为12B最大值为 2，最小值为 0C最大值为 2，最小值不存在D最大值不存在，最小值为 04已知关于 x 的方程 cos2xsinx+a=0，若 0 x2时方程有解，则 a 的取值范围是（）A 1，1B（1，1）C 1，0D（，54）5要使 sin3cos=4m64m有意义，则 m 的取值范

42、围是186若 f(x)=2sinx(01），在区间0，3上的最大值为2，则=三、解答题7y=sinxcosx+sinx+cosx，求 x0，3时函数 y 的最大值8已知函数 f(x)=sin2xasinx+b+1 的最大值为 0，最小值为4，若实数 a0，求 a，b的值9已知函数 f(x)=2cos2x+3sin2x+a，若 x0，2，且f(x)2，求 a 的取值范围第第 8 课课解斜三角形解斜三角形【考点指津】掌握正弦定理、余弦定理，能根据条件，灵活选用正弦定理、余弦定理解斜三角形能根据确定三角形的条件，三角形中边、角间的大小关系，确定解的个数能运用解斜三角形的有关知识，解决简单的实际问题【

43、知识在线】1ABC 中，若 sinAsinBcosAcosB，则ABC 的形状为2在ABC 中，已知 c=10，A=45，C=30，则 b=3在ABC 中，已知 a=2，b=2，B=45，则A 等于（）A30B60C60或 120D30或 1504若三角形三边之比为 357，则这个三角形的最大内角为（）A60B90C120D1505货轮在海上以 40 千米/小时的速度由 B 到 C 航行，航向的方位角NBC=140，A 处有灯塔，其方位角NBA=110，在 C 处观测灯塔 A 的方位角NCA=35，由 B 到 C需航行半小时，则 C 到灯塔 A 的距离是（）A10 6 kmB10 2 kmC1

44、0(6 2)kmD10（6 2）km【讲练平台】例 1在ABC 中，已知 a=3，c=33，A=30，求C 及 b分析 已知两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理注意已知两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论解A=30，ac，csinA=3 32a，此题有两解sinC=csinAa=3 3123=32，C=60，或C=120当C=60时，B=90，b=a2+b2=6CANBCN1119当C=120时，B=30，b=a=3点评 已知两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论例 2在ABC 中，已知 acosA=bcosB，判断ABC 的形状分析欲判断ABC 的形状，

45、需将已知式变形式中既含有边也含有角，直接变形难以进行，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角函数，则可进行三角变换解 方法一：由余弦定理，得a（b2+c2a22bc）=b（a2+c2b22ac），a2c2a4b2c2+b4=0(a2b2)(c2a2b2)=0 a2b2=0，或 c2a2b2=0a=b，或 c2=a2+b2ABC 是等腰三角形或直角三角形方法二：由 acosA=bcosB，得2RsinAcosA=2RsinBcosBsin2A=sin2B 2A=2B，或 2A=2BA=B，或 A+B=2ABC 为等腰三角形或直角三角形点评若已知式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理

46、或正弦定理，将角换成边或将边换成角，然后进行代数或三角恒等变换例 3 已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形 ABCD 的面积分析四边形 ABCD 的面积等于ABD 和BCD 的面积之和，由三角形面积公式及A+C=可知，只需求出A 即可所以，只需寻找A 的方程解连结 BD，则有四边形 ABCD 的面积S=SABD+SCDB=12ABADsinA+12BCCDsinCA+C=180，sinA=sinC故 S=12（24+64）sinA=16sinA在ABD 中，由余弦定理，得 BD2=AB2+AD22ABADcosA=2016cosA 在CDB 中

47、，由余弦定理，得 BD2=CB2+CD22CBCDcosC=5248cosC2016cosA=5248cosCcosC=cosA，64cosA=32，cosA=12又0A180，A=120故 S=16sin120=83点评 注意两个三角形的公用边在解题中的运用例 4墙壁上一幅图画，上端距观察者水平视线 b 米，下端距水平视线 a 米，问观察者距墙壁多少米时，才能使观察者上、下视角最大分析如图，使观察者上下视角最大，即使APBABCDOAPCBba20最大，所以需寻找APB 的目标函数由于已知有关边长，所以考虑运用三角函数解之解设观察者距墙壁 x 米的 P 处观察，PCAB，AC=b，BC=a(

48、0ab)，则APB=为视角y=tan=tan(APCBPC)=tanAPCtanBPC1+tanAPCtanBPC=xaxbxaxb1=bax+abxba2 ab，当且仅当 x=abx,即 x=ab时，y 最大由（0，2）且 y=tan在（0，2）上为增函数，故当且仅当 x=ab 时视角最大点评注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题【知能集成】运用正弦定理或余弦定理，有时将有关式子转化成仅含有边的或仅含有角的式子，然后进行代数或三角恒等变形，问题往往可以得解在解决较复杂的几何问题时，要注意两个三角形公用边的运用【训练反馈】1ABC 中，tanA+tanB+3=3 tanAta

49、nB，sinAcosA=34，则该三角形是（）A等边三角形B钝角三角形C直角三角形D等边三角形或直角三角形2在ABC 中，已知（b+c）(c+a)(a+b)=456，则此三角形的最大内角为（）A120B150C60D903若 A、B 是锐角ABC 的两个内角，则点 P（cosBsinA，sinBcosA）在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4在ABC 中，若 sinAsinBsinC=51213，则 cosA=5在ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则C 的大小为6已知 a、b、c 是ABC 中A、B、C 的对边，S 是ABC 的面积，若 a=4，b=

50、5，s=5 3，求 c 的长度7在ABC 中，sin2Asin2B+sin2C=sinAsinC，试求角 B 的大小8半圆 O 的直径为 2，A 为直径延长线上一点，且 OA=2，B 为半圆上任意一点，以 AB 为边向外作等边ABC，问 B点在什么位置时，四边形 OACB 的面积最大，并求出这个最大面积【单元检测】单元练习（三角函数）单元练习（三角函数）（总分 100 分，测试时间 100 分钟）一、选择题：本大题共 12 小时，每小题 3 分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的ACBOA211若角满足 sin20，cossin0，则在（）A第一象限B第二象限C第三

51、象限D第四象限2若 f(x)sinx 是周期为的偶函数，则 f(x)可以是（）Asin2xBcosxCsinxDcox2x3若 sinx=m3m+5，cosx=42 mm+5，且 x2，则 m 的取值范围为（）A3m9Bm=8Cm=0Dm=0 或 m=84函数 f(x)=log13(sin2x+cos2x)的单调递减区间是（）A（k4，k+8）(kZ)B（k8，k+8）(kZ)C（k+8，k+38）(kZ)D（k+8，k+58）(kZ)5在ABC 中，若 2cosBsinA=sinC，则ABC 的形状一定是（）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形6ABC 中，A=60，b=1，

52、其面积为 3，则a+b+csinA+sinB+sinC等于（）A3 3B2 393C26 33D3927已知函数 y=2 cos(x+)(02）在一个周期内的函数图象如图，则（）AT=65，=4BT=32，=4CT=3，=4DT=3，=48将函数 y=f(x)sinx 的图象向右平移4个单位后，再作关于 x 轴的对称变换，得到函数 y=12sin2x 的图象，则 f(x)可以是（）AcosxB2cosxCsinxD2sinx9函数 f(x)=Msin(x+)(0)在区间a，b上是增函数，且 f(a)=M，f(b)=M，则函数 g(x)=Mcos(x+)在区间a，b上（）A是增函数B是减函数C可

53、以取得最大值 MD可以取得最小值M10在ABC 中，C90，则 tanAtanB 与 1 的关系适合（）AtanAtanB1BanAtanB1CtanAtanB=1D不确定11设是第二象限角，则必有（A）Acot2tan2Btan2cot2Csin2cos2Dsin2cos212若 sintancot(22，则（）234320 2yxO22A（2，4）B（4，0）C（0，4）D（4，2）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分，把答案填在题中横线上13sin390+cos120+sin225的值是14sin39sin21cos39cos21=15已知 sin+cos=15，

54、（，），cot的值是16关于函数 f(x)=4sin(2x+3)(xR)，有下列命题：（1）y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos(2x6)；(2)y=f(x)是以 2为最小正周期的周期函数；（3）y=f(x)的图象关于点（6，0）对称；（4）y=f(x)的图象关于直线 x=6对称其中正确的命题序号是（注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题共 6 小题，共 52 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题 8 分）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在 x 轴的正半轴上，终边经过点 P（1，2），求 sin(2+23)的值18（本小题 8 分）已知 sin22

55、+sin2coscos2=1，(0，2)，求 sin、tan的值19(本小题 9 分)设 f(x)=sin2xasin2x2，求 f(x)的最大值 m20(本小题 9 分)已知、（0，4），且 3sin=sin(2+)，4tan2=1tan22，求+的值21（本小题 9 分）某港口水的深度 y(米)是时间 t(0t24，单位：时)的函数，记作 y=f(t)，下面是某日水深的数据：T(时)03691215182124Y(米)10013099701001301017010023经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 y=Asint+b 的图象（1）试根据以上数据，求出函数 y=f(t)的

56、近似表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的，某船吃水深度（船底离水面的距离）为 65 米，试求一天内船舶安全进出港的时间22（本小题 9 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c若 b2=ac，求 y=1+sin2BsinB+cosB的取值范围三角函数答案三角函数答案第第 1 课课三角函数的概念三角函数的概念【知识在线】1|=k+4，kZ2 A3.513，12545 C【训练反馈】1 A2 B3 B4 D51636一、二72k+2x2k+或 2k+32x2k+2，kZ8负9 2cm2第第 2 课课同角三角函数的关系及诱导公

57、式同角三角函数的关系及诱导公式【知识在线】1 A2 D3574sin2cos25 A【训练反馈】1 D2 B3 B41035 16 略77583第第 3 课课两角和与两角差的三角函数（一）两角和与两角差的三角函数（一）【知识在线】1 C2 B3 B41253524【训练反馈】1 C2 C3 A42 6 165186略7 cos2=725，cos2=1815第第 4 课课两角和与两角差的三角函数（二）两角和与两角差的三角函数（二）【知识在线】1122223 24225tan2【训练反馈】1 A2 A3 tan 4 sin536 sin2（AB）7.18.略第第 5 课课三角函数的图象与性质（一）

58、三角函数的图象与性质（一）【知识在线】1 2k56x 2k76，kZ2 B3 B4（1）偶（2）偶（3）偶5k2，kZ【训练反馈】1 C2 C3 B4 D5 32,)627（1）sin4 sin3 sin2（2）cos2sin2tan28（1）M=1，m=1，T=2|k5|=10|k|（k0）（2）k=32第第 6 课课三角函数的图象与性质（二）三角函数的图象与性质（二）【知识在线】1 D2 B3 B4 B5 D【训练反馈】1 B2 D3 D4 A5 4 6左，67 y=12sin(3x+6)8（1）xx=3+2k，kZ；（2）将 y=sinx 的图象向左平移6，得到函数 y=sin(x+6）

59、的图象，再将所得图象上各点横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 y=2sin(x+6）的图象9（1）最大温差 20；（2）y=10sin(8x+34）20，x6，14第第 7 课课三角函数的最值三角函数的最值25【知识在线】1 C22，2，12，323 2，24 0,94【训练反馈】1 B2 D3 A4 A5 1m73634712+28a=2,b=292a1第第 8 课课解斜三角形解斜三角形【知识在线】1钝角三角形2 5（6+2）3 A4 C5 C【训练反馈】1 A2 A3 B4121356621 或 61738 设AOB=，=56时，S最大值=2+5 34单元练习（三角函数）单元练习（三角函数）一、选择题1B2C3B4B5C6B7A8B9C10B11A12 B二、填空题1322143153416（1）（3）三、解答题1743 31018 sin=12，tan=3319当 a4 时，m=a；当4a4时，m=a216a2+1；当 a4 时，m=020+=421（1）y=3sin6t+10；（2）1 时至 5 时，13 时至 17 时22 1y 2