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1、讲 授 内 容备 注第十九讲3、在不等等式两端端取变限限积分证证明新的的不等式式例15 证明：当时，证 已知知， （，只有有时，等等号成立立）在此式两端端同时取取上的积积分，得得再次取上的的积分，得得 第三次取上上的积分分，得 所以 上式再在上上的积分分，得 即 再在上的积积分，得得 例16 设是上连续的的凸函数数试证证：，有 证 令，则则同理，令，则则从而注意到与关于中点点对称，又为凸凸函数，所所以另一方面，由由（1）式式及的凸凸性 例17 设函数数在上递增试证：函数为凸函函数证 在上上递增， 所以，为凸凸函数例18 设，在上连续，且，在上有有定义，并并且有二二阶导数数，试证证：证I （利利
2、用积分分和）将区间间等分，记记，为凸函数数由詹禁定理理，取 ，即 令，得证II （利用用公式）记 则 注意 ， 在上式中，令令，然后后两边乘乘以 ，得得在上取积分分即 其中 4.5 不等等式一、不等式式及不等等式1不等式式设为任意实实数，则则 （不等等式）其中等号当当且仅当当与成比例例时成立立证1（判别别式法）上式是关于于的二次三三项式，保保持非负负，故判判别式证II（配配方法）因此，不等等式成立立等号成立当当且仅当当，证III（利利用二次次型）即关于的二二次型，非非负定，因因此即 2不等式式设在上可积积，则若在上连续续，其中中等号当当且仅当当存在常常数，使使得时成成立（不同时为零）3不等式式
3、的应用用例1 已知，在在上连续续，为任意实数数求证证：证 第一一项应用用不等式式：同理 （1）+（22）： 例2 设设在上有连续续的导数数，试证证：证 令则 由由，知因此， 例3 设在在上有连续续的阶导导数，且求证：其中证 先证证明的情情况此此时设在上有连连续的导导数，下证 令 由不等式： 两端同时积积分 两边同时开开方：对一般情况况，令 例4 设，在上连续，不不恒为零零，有正正的下界界记 试证： 证 只需证明存存在先证单单调增 即 再证有界界因为在上连连续，所所以 使使得故 既然单调调有界，存存在极限限二、平均值值不等式式基本形式：对任意意个实数数，恒有有（即几何平平均值算算术平均均值）其其中等号号成立当当且仅当当例5 设设正值函函数在上连续试证：证 由条条件知在在上可积，将将等分，作积分和3学时几何解释：方法IIII可推广广不等式的积积分形式式称为不等式第二项积分分值大于于零11
数分选讲讲稿第19讲
