高中数学 1.1.2、3四种命题间的相互关系精品课件同步导学 新人教A选修11

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1、 11.3四种命题间的相互关系 1.1.2四种命题1.了解四种命题的概念了解四种命题的概念2.认识四种命题的结构，会写某命题的逆命题、否命题和认识四种命题的结构，会写某命题的逆命题、否命题和逆否命题逆否命题3.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系4.会利用命题的等价性解决问题会利用命题的等价性解决问题.1.结合命题真假的判定，考查四种命题的结构结合命题真假的判定，考查四种命题的结构(重点、难重点、难点点)2.对条件式的结论进行否定对条件式的结论进行否定(易错点易错点)3.理解四种命题的关系理解四种命题的关系(重点重点)4.等价命题的应用等价命题的

2、应用(难点难点)下列语句中是命题的有下列语句中是命题的有 ，是真命题的是，是真命题的是 .(填序填序号号)四边相等的四边形是平行四边形；四边相等的四边形是平行四边形；ax2bxc0是一元二次方程；是一元二次方程；2是质数吗？是质数吗？x2x10.1四种命题四种命题栏目栏目内容内容名称名称定义定义表示形式表示形式互逆互逆命题命题对于两个命题，如果一个命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论分别是另一个命题的的 和和 ，那么这样的两，那么这样的两个命题叫做个命题叫做 其中一个其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命命题叫原命题，另一个叫做原命题的题的 .原命题为原命题为“

3、若若p，则，则q”；逆命题；逆命题为为“”结论条件互逆命题逆命题若q，则p栏目栏目内容内容名称名称定义定义表示形式表示形式互否互否命题命题对于两个命题，其中一个命题的条件和对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论恰好是另一个命题的 和和 ，这样的两，这样的两个命题叫做互否命题如果把其中的一个命个命题叫做互否命题如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的 .原命题为原命题为“若若p，则，则q”；否命题；否命题为为“”互为互为逆否命题逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的

4、结论恰好是另一个命题的 和和 ，这样的两个，这样的两个命题叫做互为逆否命题如果把其中的一个命题叫做互为逆否命题如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的 .原命题为原命题为“若若p，则，则q”；逆否命；逆否命题为题为“若若綈綈q，则，则綈綈p”条件的否定结论的否定否命题结论的否定条件的否定逆否命题 若綈p，则綈q2.四种命题之间的相互关系四种命题之间的相互关系3四种命题的真假性四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况.原命原命题题逆命逆命题题否命否命题题逆否命逆否命题题真真真真 真真假假

5、 假假真真 假假假假 真假假真真真假假(2)四种命题的真假性之间的关系四种命题的真假性之间的关系两个命题互为逆否命题，它们有两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性的真假性两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 相同关系没有1命题命题“若若p，则，则綈綈q”的逆否命题是的逆否命题是()A若若p，则，则qB若若綈綈p，则，则qC若若q，则，则綈綈p D若若綈綈q，则，则綈綈p答案：答案：C2命题命题“若若a2，则，则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为命题中，真命题的个数为()A1 B2C3 D4解析：解

6、析：若若a2，则，则a6是假命题；逆命题：若是假命题；逆命题：若a6，则，则a2是真命题；否命题：若是真命题；否命题：若a2，则，则a6是真命题；逆否命题：若是真命题；逆否命题：若a6，则，则a2是假命题是假命题答案：答案：B3命题命题“若若ab，则，则2a2b1”的否命题为的否命题为_答案：答案：若若ab，则，则2a2b14把下列命题改写成把下列命题改写成“若若p，则，则q”的形式，并写出它们的逆的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题命题、否命题和逆否命题(1)正数的平方根不等于正数的平方根不等于0；(2)当当a2时，时，f(x)x2ax1在在1，)上单调递增上单调递增解析：解析：(1

7、)原命题：若原命题：若a是正数，则是正数，则a的平方根不等于的平方根不等于0.逆命题：若逆命题：若a的平方根不等于的平方根不等于0，则，则a是正数是正数否命题：若否命题：若a不是正数，则不是正数，则a的平方根等于的平方根等于0.逆否命题：若逆否命题：若a的平方根等于的平方根等于0，则，则a不是正数不是正数(2)原命题：若原命题：若a2，则，则f(x)x2ax1在在1，)上单调递上单调递增增逆命题：若逆命题：若f(x)x2ax1在在1，)上单调递增，则上单调递增，则a2.否命题：若否命题：若a2，则，则f(x)x2ax1在在1，)上不单调递上不单调递增增逆否命题：若逆否命题：若f(x)x2ax1

8、在在1，)上不单调递增，上不单调递增，则则a2.(2011陕西高考陕西高考)设设a，b是向量，命题是向量，命题“若若ab，则，则|a|b|”的逆命题是的逆命题是()A若若ab，则，则|a|b|B若若ab，则，则|a|b|C若若|a|b|，则，则ab D若若|a|b|，则，则ab解析：解析：命题命题“若若ab，则，则|a|b|”的逆命题为的逆命题为“若若|a|b|，则，则ab”，故选，故选D.答案：答案：D (1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于该平面；条直线垂直于该平面；(2)如果如果x10，那么，那么x0.解题过程解题过程(1)

9、逆命题：如果直线垂直于平面，那么这条逆命题：如果直线垂直于平面，那么这条直线垂直于该平面内的两条相交直线；直线垂直于该平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于该平面；这条直线不垂直于该平面；逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于该平面内的两条相交直线于该平面内的两条相交直线(2)逆命题：如果逆命题：如果x0，那么，那么x10；否命题：如果否命题：如果x10，那么，那么x0；逆否命题：如果逆否命题：如果x0，那么，那么x10.题后感悟题

10、后感悟(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题根据四种命题的结构写出所求命题(2)交换原命题的条件和结论，得到逆命题同时否定原命交换原命题的条件和结论，得到逆命题同时否定原命题的条件和结论，得到否命题交换原命题的条件和结论，题的条件和结论，得到否命题交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题并且同时否定，得到逆否命题1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)若若mn0，则方

11、程，则方程mx2xn0有实根；有实根；(2)“若若x2，则，则x2x60”；(3)垂直于同一平面的两直线平行垂直于同一平面的两直线平行解析：解析：(1)逆命题：若方程逆命题：若方程mx2xn0有实数根，则有实数根，则mn0.否命题：若否命题：若mn0，则方程，则方程mx2xn0没有实数根没有实数根逆否命题：若方程逆否命题：若方程mx2xn0没有实数根，则没有实数根，则mn0.(2)逆命题：逆命题：“若若x2x60，则，则x2”否命题：否命题：“若若x2，则，则x2x60”逆否命题：逆否命题：“若若x2x60，则，则x2”(3)原命题：若两直线垂直于同一平面，则两直线平行原命题：若两直线垂直于同

12、一平面，则两直线平行逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面个平面否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行线不平行逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面于同一平面 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假判断其真假(1)若实数若实数a，b，c成等比数列，则成等比数列，则b2ac；(2)函数函数ylogax(a0且且a1)在在(0，

13、)上是减函数时，上是减函数时，loga20且且a1)在在(0，)上是减函数，则上是减函数，则loga20真真逆命题逆命题若若loga20且且a1)在在(0，)上是减函数上是减函数真真否命题否命题若函数若函数ylogax(a0且且a1)在在(0，)上是增函数，则上是增函数，则loga20真真逆否命题逆否命题若若loga20，则函数，则函数ylogax(a0且且a1)在在(0，)上是增函数上是增函数真真题后感悟题后感悟(1)如何写出一个命题的另外三种形式？如何写出一个命题的另外三种形式？分分清原命题的条件清原命题的条件p和结论和结论q；不是；不是“若若p，则，则q”形式时，最好改形式时，最好改写成

14、写成“若若p，则，则q”的形式；的形式；“若若p，则，则q”与与“若若q，则，则p”互逆，互逆，与与“若若綈綈p，则，则綈綈q”互否，与互否，与“若若綈綈q，则，则綈綈p”互为逆否互为逆否(2)如何判断四种命题的真假？如何判断四种命题的真假？互为逆否的命题同真假特别地，一个命题的互为逆否的命题同真假特别地，一个命题的“逆命题逆命题”和和“否命题否命题”互为逆否命题互为逆否命题2.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假假(1)若若ab，则，则ac2bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；若四边形的对角互补，则该四边

15、形是圆的内接四边形；(3)若在二次函数若在二次函数yax2bxc中，中，b24acbc2，则，则ab，为真，为真否命题：若否命题：若ab，则，则ac2bc2，为真，为真逆否命题：若逆否命题：若ac2bc2，则，则ab，为假，为假(2)该命题为真该命题为真逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真补，为真否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真接四边形，为真逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角

16、不互补，为真角不互补，为真(3)该命题为假该命题为假当当b24ac0时，二次方程时，二次方程ax2bxc0没有实数根，因此二次函数没有实数根，因此二次函数yax2bxc的图象与的图象与x轴无公轴无公共点共点逆命题：若二次函数逆命题：若二次函数yax2bxc的图象与的图象与x轴没有公共轴没有公共点，则点，则b24ac0，为假，为假否命题：若在二次函数否命题：若在二次函数yax2bxc中，中，b24ac0，则，则该二次函数图象与该二次函数图象与x轴没有公共点，为假轴没有公共点，为假逆否命题：若二次函数逆否命题：若二次函数yax2bxc的图象与的图象与x轴没有公轴没有公共点，则共点，则b24ac0，

17、为假，为假 判断命题判断命题“已知已知a，x为实数，若关于为实数，若关于x的不等式的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，则的解集非空，则a1”的逆否命题的真假的逆否命题的真假.解答本题可先写出已知命题的逆否命题，再利用判别解答本题可先写出已知命题的逆否命题，再利用判别式求出式求出a的范围，然后判断命题的真假，另外也可利用集的范围，然后判断命题的真假，另外也可利用集合的包含关系判断合的包含关系判断规范作答规范作答方法一：方法一：原命题的逆否命题：已知原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若为实数，若a1，则关于则关于x的不等式的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集的解集为空集.4分分判

18、断真假如下：判断真假如下：抛物线抛物线yx2(2a1)xa22开口向上，开口向上，判别式判别式(2a1)24(a22)4a7.6分分因为因为a1，所以，所以4a70.8分分即抛物线即抛物线yx2(2a1)xa22与与x轴无交点，轴无交点，所以关于所以关于x的不等式的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集的解集为空集故原命题的逆否命题为真故原命题的逆否命题为真.12分分所以所以“若若p，则，则q”的逆否命题的逆否命题“若若綈綈q，则，则綈綈p”为真为真即原命题的逆否命题为真即原命题的逆否命题为真.12分分题后感悟题后感悟(1)由于原命题与其逆否命题是等价的，因此由于原命题与其逆否命题是等价的

19、，因此当证明原命题感到困难或对原命题不易判断真假时，可考虑当证明原命题感到困难或对原命题不易判断真假时，可考虑证明或判断它的逆否命题是否成立证明或判断它的逆否命题是否成立(2)利用逆否命题与原命题等价，可以省去否定条件和结利用逆否命题与原命题等价，可以省去否定条件和结论时的过程，简化问题的求解论时的过程，简化问题的求解3.证明：已知函数证明：已知函数f(x)是是R上的增函数，上的增函数，a、bR，若，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则，则ab0.证明：证明：证法一：证法一：原命题的逆否命题为原命题的逆否命题为“已知函数已知函数f(x)是是R上的增函数，上的增函数，a，bR，若若ab0，则，

20、则f(a)f(b)f(a)f(b)”若若ab0，则，则ab，ba，又又f(x)在在R上是增函数，上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)，即逆否命题为真命题即逆否命题为真命题 原命题为真命题原命题为真命题证法二：证法二：假设假设ab0，则，则ab，ba，又又f(x)在在R上是增函数，上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)这与已知条件这与已知条件f(a)f(b)f(a)f(b)相矛盾相矛盾因此假设不成立，故因此假设不成立，故ab0.1正确写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题正确写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题一般地

21、用一般地用p和和q分别表示原命题的条件和结论，用分别表示原命题的条件和结论，用綈綈p和和綈綈q分别表示分别表示p和和q的否定，因此，若原命题为：的否定，因此，若原命题为：“若若p，则，则q”，则，则其逆命题为：其逆命题为：“若若q，则，则p”；否命题为：；否命题为：“若若綈綈p，则，则綈綈q”；逆；逆否命题为：否命题为：“若若綈綈q，则，则綈綈p”为了便于书写各种命题，当原命题不是为了便于书写各种命题，当原命题不是“若若p，则，则q”的形式的形式时，应先将命题写成规范形式时，应先将命题写成规范形式“若若p，则，则q”，然后再进行书写，然后再进行书写例如：写出命题例如：写出命题“偶函数的图象关于

22、偶函数的图象关于y轴对称轴对称”的逆命题、否的逆命题、否命题、逆否命题由于原命题不是以命题、逆否命题由于原命题不是以“若若p，则，则q”的形式给出的形式给出，因此先把命题，因此先把命题“偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称”改写成改写成“若函数若函数f(x)为偶函数，则为偶函数，则f(x)的图象关于的图象关于y轴对称轴对称”，则：，则：逆命题：若逆命题：若f(x)的图象关于的图象关于y轴对称，则函数轴对称，则函数f(x)为偶函数；为偶函数；否命题：若函数否命题：若函数f(x)不是偶函数，则不是偶函数，则f(x)的图象不关于的图象不关于y轴对轴对称；称；逆否命题：若逆否命题：若f(x)

23、的图象不关于的图象不关于y轴对称，则函数轴对称，则函数f(x)不是偶不是偶函数函数2四种命题的真假判断四种命题的真假判断(1)原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假(2)原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真原命题为真，它的逆否命题一定为真(4)互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假，同一个命互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们同真题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们同真同假同假 特别提醒特别提

24、醒原命题的逆命题和原命题的否命题的真假性原命题的逆命题和原命题的否命题的真假性相同相同用用“若若p，则，则q”的形式写出的形式写出(1)的原命题，的原命题，(2)的否命题的否命题(1)负数的平方是正数负数的平方是正数(2)正方形的四条边相等正方形的四条边相等【错解】【错解】(1)原命题：若一个数是负数的平方，则这个数原命题：若一个数是负数的平方，则这个数是正数是正数(2)否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边都不否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边都不相等相等【错因】【错因】(1)分不清命题的条件和结论在原命题中，把分不清命题的条件和结论在原命题中，把“负数的平方负数的平方”这个

25、结论当成条件一个数是负数，这是所给这个结论当成条件一个数是负数，这是所给实数的属性，应该是条件，平方运算后所得数的属性应该是实数的属性，应该是条件，平方运算后所得数的属性应该是结论结论(2)对于对于(2)的否命题，把的否命题，把“四条边相等四条边相等”的否定误写成了的否定误写成了“四四条边都不相等条边都不相等”实际上实际上“四条边相等四条边相等”是是“四条边都相等四条边都相等”的意的意思它的否定应该是思它的否定应该是“四条边不都相等四条边不都相等”【正解】【正解】(1)原命题：若一个数是负数，则它的平方是正原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数数(2)否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不都否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不都相等相等.