广州大学版高数课件高数

《广州大学版高数课件高数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广州大学版高数课件高数（89页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第二章,导数与微分,一、引例.,1. 变速直线运动的瞬时速度.,设某物体作变速直线运动，其位移S与时间t的函数关系为S = S(t). 问：在任一时刻t0的速度应当怎样定义？,匀速直线运动：,第一节 导 数 的 定 义,由时刻t0到时刻 t0+t 走过的位移为,则称该极限值为该物体在t0时刻的瞬时速度.,即,变速直线运动：,考虑时刻t0附近的某时刻t0+t,平均速度：,2. 曲线的切线斜率,设曲线方程为y=f (x). 问: 怎样求曲线上任一点的切线斜率.,曲线的切线：,对于曲线C上任一点M，考虑其附近一点N.(N可在M的左侧，也可在M的右侧).让点N沿曲线C趋向点M，若割线MN有极限位置MT

2、. 则直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,T,y=f (x),M,x,x0,x0+x,x,y,0,N,C,y0+y,y0,记点M的坐标为(x0,y0); 点N的坐标为(x0+x, y0+y).,注意到y0=f (x0), y=f (x0+ x)f (x0),则割线 MN 的斜率,(为割线MN的倾角).,(为切线MT 的倾角).,所以,3. 非均匀细杆的线密度.,设有一根质量不均匀的细杆，取坐标系如图，其一端点为坐标原点，另一端点为杆长l, 对于0, l 上的任一点x, 在0, x上的质量是x的函数，记为m=m(x).,当,若,的极限存在，则称该极限值,为细杆在点x处的线密度.,即：,二、导数

3、的定义,设函数y=f (x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义, 当自变量x在x0处有增量x(点x0+xU(x0)时，相应的函数有增量y=f (x0+ x)f (x0);如果, y与 x之比，当x0时的极限存在，则称函数y=f (x)在点x0处可导. 并称这个极限值为函数y=f (x)有点x0处的导数, 记为,也可记作,即,(1),定义1.,导数定义式(1)的不同形式：,(2),和,注1：若,不存在，则称函数y=f (x)在点x0,处不可导.,特别地，若,也称函数y=f (x),在点x0处的导数为无穷大.,例1. 下列各题中, 均假定 f (x0)存在, 指出A表示什么:,(1),解:,(2)

4、,解:,(3),解:,注2：若f (x)在(a,b)内每一点处都可导，则称函数 f (x)在(a,b)内可导.,此时，对于x(a,b). 都对应着f (x)的一个确定的导数值，从而构成一个新的函数，称为函数y=f (x)的导函数，简称导数，,记为,三、求导数举例,例2. 求函数f (x)=C(C为常数)的导数.,解：,即,= 0,例3. 设y=xn, n为正整数. 求,解：,所以,即：,特别：,由于y,n=1时，,注意：,例如,(2) 当 x0时,对于幂函数y=xu.(u为常数). 有,(1) 当 x0时,例4. 设 y=sinx. 求y,解：,所以,由于y,类似地，对y=cosx,利用,可得

5、,即,例5.,解：,令,则,所以,由于 y,即：,特别:,解：,即：,类似地，由,可得,由于y,所以,解：,即 f (x) = |x| 在 x = 0处不可导.,例 7,由于,注：,左导数：,右导数：,如果，函数f(x)在点x0处存在左(右)导数，则称f (x)在点x0处左(右)可导.,都存在且相等.,在 x=a处有右导数，在 x=b处有左导数.,函数f (x)在a,b上可导:,是指f (x)在(a,b)内可导，,四、导数的几何意义,函数y=f (x)在点x0处的导数f (x0)在几何上表示曲线y=f (x)在点M (x0,f (x0) 处的切线的斜率. 即：,f x = tan,注1：法线：

6、过点 M (x0, f (x0) 且与切线垂直的直 线称为曲线 y=f (x) 在点 M 处的法线.,注2：(1)当f (x0) 存在且不为0时，曲线 y=f (x) 在 点 M (x0, f (x0) 处,切线方程： yf (x0) = f (x0) . (x x0),法线方程：,(2)当 f (x0)0 时，曲线 y=f (x) 在点 M (x0, f (x0) 处：,(3)当 f (x0)=.曲线 y=f (x) 在点 M (x0, f (x0) 处f (x)连续：,法线方程： x = x0,切线方程： y = y0,法线方程： y = y0,切线方程： x = x0,设所求切线的切点为

7、N (x0, y0),且切线的斜率k, 有,所以，所求切线的方程为,又点M(2, 0)在切线上，所以,故,从而所求切线方程为,即：,解：,曲线在0(0, 0)的切线为 x = 0 (即 y 轴),法线为 y = 0 (即 x 轴),五、函数的可导性与连续性的关系,若 y=f (x) 在x0处可导 y=f (x)在x0处连续.,证明：,结论：,反之不一定成立.,类似可证： 设 y=f (x)在x0处左(右)可导 y=f (x)在x0处左(右)连续.,y=|x|在点x0=0处连续，但不可导.,注：,例10：,为了使函数f (x)在x=1处连续且可导，a, b应取什么值？,解：, 要使f (x)在x

8、=1处连续,a+b=1,(1),即,=1, f (10)=f (1+0)=f (1),故： a=2 , b=1,= 2,= a,(1) u(x) v(x) = u(x) v(x),(2) u(x) v(x) = u(x) v(x)+ u(x) v(x),(3),定理1：设函数u=u(x), v=v(x)在点x处可导，,且,则u(x) v(x), u(x) v(x)在点x处可导；,在点x处可导，,当v(x) 0时,第二节 求导法则,(1) y = u (x) v (x) 则,证：,y= u(x+ x) v(x+ x) u(x) v(x),= u(x+ x)u(x) v(x+ x) v(x),=

9、u v,(2) 设 y= u(x) v(x) 则, y= u(x+ x) v(x+ x) u(x) v(x),= u(x + x) v(x+ x) u(x) v(x+ x) + u(x) v(x+ x) u(x)v(x),= u v(x+ x) + u(x)v,(3),(v(x) 0) 则:,uvw= (uv) w =(uv) w+(uv)w,注 (1) : k u (x) = k u (x) (k为常数 ),注 (2) : 定理中的(1), (2)可推广到有限多个函数的 情形,例 如:,=u vw +uvw +uvw,例1 求y=x2sinx的导数,y =(x2 sinx),=2xsinx+

10、x2cosx,=(x2) sinx+x2 (sinx),解:,例 2 设 y=tanx 求y,解:,故:,类似可证:,例 3: 设 y =secx 求y ,解:,故: (secx) =secx tanx,类似可得: (cscx) =csc x cot x,解: f ( x) = 3x24sinx,例4: 设,求 f (x) 及,定理2: 若函数在x= y某区间Iy内单调可导; 且 y0,则它的反函数y=f (x)在对应区间Ix内也可导,且,即: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,证明: 因为x= y在区间Iy上单调可导,则它的反函数y=f (x)在对应区间Ix上单调连续.,由x= y连续,

11、 y=f (x)也连续,当x时,必有y, 且 y0,由y=f (x)的单调性,当x0必有y0,于是,证明: 设直接函数为 x= sin y,其反函数 为y= arcsin x (-1 x 1),故：,且 (sin y) = cos y 0有:,证明：,设x=tany为直接函数，,其反函数为y=arctanx,则,故：,由,得,得,定理3: 如果u= x在点x0可导，而y=f (u)在点u0= x0可导，则复合函数y=f x在点x0处可导，且其导数为：,即：,证：由y=f (u)在点u0可导，得,存在，且,（其中,所以 y=f (u0) u+ u (1),当 u0时 y0, (1)式仍成立，这时

12、规定 0.,因 u=x在点x0可导，故x必在x0处连续，,因此：,当 x时，有 u ，,于是：得,即: f (x0) = f (u0) (x0),例如 设y=f (u), u= v, v= x)可导, 则复合函数y=f x的导数为:,注: 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形.,解：,例7：,例 8：,解：,例 9：,解：,故,(uR, x 0),1. (C) = 0,2. (xu) = uxu1,3.,5.,6.,4.,(7),(8),(9),(10),(11),(12),(13),(14),(15),(16),例10: 求下列函数的导数,解:,(2),解:,(3),解:,(4),

13、解:,x = 0时,= 1,= 0,故,例11. 下列各题中求导运算是否错误. 若不正确请给出正确的解法.,(),正确:,(),正确:,(),正确:,例 考虑方程: x3+y3=4,若不解出y,由方程x3+y3=4仍然确定y是x的函数,只是没有明显地表示出y如何依赖于x,称y是x的隐函数.,若由方程中解出y,得y=(4x)1/3.则y是x的函数,并且称y=(4x)1/3为显函数.,定义: 设有方程 F(x,y) = 0;如果当 x在某一区间Ix上任取一值,相应地总存在满足该方程的、唯一的y值与之对应,则称 F(x,y) = 0在区间Ix内确定了一个隐函数 y = y(x).,例12: 求由方程

14、 ey + xy e = 0所确定的隐函数 y = y(x) 的导数和y(0).,所以,又 当 x = 0时, y = 1.,将方程两边分别对x求导,并注意到y是x的函数.,解:,得 ey y + y + xy = 0,所以,例13. 求椭圆,在点,处的切线方程.,由导数的几何意义知,k = y x=2,解:,从而,两边分别对x求导.得,将方程,o,3,4,y,x,当 x = 2时,代入上式得:,于是,所求切线方程为,即,例14. 求由方程,导数,所确定的隐函数y的,得:,于是,解:,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,六 . . 由参数方程所确定的函数的导数.,由复合函数及

15、反函数的求导法则得,例15,解,所求切线方程为,例16 . 已知抛射体的运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向.,V1,V,V2,x,y,o,(1)先求速度的大小V，,铅直分量为,解:,速度的水平分量为,抛射体运动的速度大小为,(2) 再求速度的方向.,当 t = 0,即抛射体刚射出时,此时,运动方向是水平的,即抛物体达到最高点.,设是切线的倾角,M(x, y),y,o,x, ,2,t,解:,(t 2n , n为整数),例如: 设 y = u(x)v(x). 其中u(x)、v(x)均可导, 且u(x)0.,(1)两边取对数. lny = v(x) lnu(x),(2)两边

16、对 x 求导.,(3)两边乘以 y = u(x)v(x).,得,七 . 取对数求导法.,例18 设y=xsinx(x0) ,求,解法一: 由,解法二: 两边取对数,得,两边对x求导, 得:,所以:,例19: 求,的导数,解:,(1) 当 x 4时,有:,于是:,(2) 当 x 1时.,有,于是 y 的结果同.,(3) 当 2 x 3时.,有,于是 y 的结果同.,例20. 用取对数求导法求下列函数的导数,(1),解: lny =,得:,(2),解: lny =,例21: 一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升, 其速度为140m/min(分). 当气球高度为500m时,观察员视线的增加率.,设气球上升ts(秒)后,其高度为h,观察员视线的仰角为,则:,其中及h都是时间t的函数.,解:,已知:,当h = 500m时,于是有:,所以:,(rad(弧度)/min),即: 观察员视线的倾角增加率是0.14 rad/min,