高中数学题库-数系的扩充、随机变量及概率分布

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1、1. 排列、组合（一）排列、组合问题1. （均匀分组问题）15名新生中有3名优秀生，随机将15名新生平均分配到3个班级中.（1）每班级各分配一名优秀生的概率是多少？（2）3名优秀生分配到同一班级的概率是多少？（3）甲班至少分到一名优秀生的概率是多少？2. （放回、不放回问题）袋中有5个红球、6个白球、8个黄球，随机抽3次，每次抽1个，颜色相同的事件记为事件，颜色互不相同的事件记为事件，在下列两种情况下，求事件和事件的概率：（1）抽后不放回；（2）抽后放回.3. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有_种. 204. 某小区有

2、排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为_ 245. 学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有_种6. 从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的种数为_ 487. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定，技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数为_328. 思考：（转化与化归思想）连接正方体8个顶点的直线中，成异面直线有多少对？解：一个三棱锥可确定3对异面直线，故问题可转化

3、成求在正方体中可构造多少个不同的三棱锥？对9. 红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这六枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红旗子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同排列方式共有_种. 9010. （斯坦福数学竞赛）30（二）排列、组合的证明1. 把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第行共有个正整数，设表示位于这个数表中从上往下数第行，从左往右第个数() 若，求和的值；() 记，求证：当时，解：() 因为数表中前行共有个数，则第行的第一个数是，所以，2分因为，则，即令，则5分() 因为，则，所以 8分当时，10分2. 设，且，其中当为偶数时，；当为奇数时，（1）证明

4、：当，时，；（2）记，求的值解：（1）当为奇数时，为偶数，为偶数，=当为奇数时，成立 同理可证，当为偶数时， 也成立 （2）由，得= 又由，得，所以， 2. 随机变量及其概率分布1. 某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为，“实用性”得分为，统计结果如下表：作品数量 实用性1分2分3分4分5分创新性1分131012分107513分210934分1605分00113() 求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；() 若“实用性”得分的数学期望为，求、的值解：()从表中可以看出

5、，“创新性为4分且实用性为分”的作品数量为6件，“创新性为4分且实用性为3分”的概率为 ()由表可知“实用性”得分有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，且每个等级分别有5件，b4件，15件，15件，a8件 “实用性”得分的分布列为：P“实用性”得分的数学期望为， 作品数量共有件，解得， 2. 设为随机变量，从棱长为1的正方体ABCD - A1B1C1D1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，= 0，当四点不共面时，的值为四点组成的四面体的体积（1）求概率P（= 0）；（2）求的分布列，并求其数学期望E ()变式1：如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,

6、2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）（1）求V=0的概率；（2）求V的分布列及数学期望.变式2：（2012年江苏高考22题）设为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，.（1）求概率；（2）求的分布列，并求其数学期望.（1）考虑到图形的对称性，不妨先取定第一条，然后再考虑其他的边，故；（2）的可能取值为，其中；则思考：（转化与化归思想）

7、连接正方体8个顶点的直线中，成异面直线有多少对？解：一个三棱锥可确定3对异面直线，故问题可转化成求在正方体中可构造多少个不同的三棱锥？对变式3：从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量是这两点间的距离 （1）求概率； （2）求的分布列，并求其数学期望E()【解】（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有种因为正方体的棱长为1，所以其面对角线长为，正方体每个面上均有两条对角线，所以共有条因此 3分（2）随机变量的取值共有1，三种情况正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是5分从而 7分所以随机变量的分布列是1P()8分因此 10分3. （南京市、盐城市2013届高三期末）某射

8、击小组有甲、乙两名射手, 甲的命中率为, 乙的命中率为, 在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测, 在一次检测中, 若两人命中次数相等且都不少于一发, 则称该射击小组为“先进和谐组”.（1）若, 求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（2）计划在2013年每月进行1次检测, 设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为, 如果, 求的取值范围.解: (1)可得 (2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为,而,所以,由,知,解得评注：关键是辨识概型4. 设不等式确定的平面区域为，确定的平面区域为（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域内任取三个整点，求这些整点

9、中恰有2个整点在区域内的概率；（2）在区域内任取3个点，记这3个点在区域的个数为，求的分布列和数学期望解答：（1）古典概型，解答为（2）几何概型服从于伯努利分布，求得分布列和数学期望5.（2013年复旦大学自主招生试题）某大楼共5层，4个人从第一层上楼梯，假设每个人等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否是相互独立的，又知电梯只在有人下时才停止.（1）求某乘客在第层下电梯的概率；（）；（2）求电梯在第层停下的概率；（3）求电梯停下的次数的数学期望；解析：（1）；（2）；（3）的可能取值为；;；所以6.（2013年通州区热点难点检测）在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2

10、个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）在一次游戏中：求摸出3个白球的概率；求获奖的概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为：求的分布列；求的数学期望解：（1）记“在一次游戏中摸出k个白球”为事件 -2分 -5分（2）的分布列为012-8分的数学期望 -10分【或：，】7.（分类讨论思想在概率问题中的应用）甲，乙两队各有3名队员，投篮比赛时，每个队员各投一次，命中率均为，（1）设前n（n=1，2，3，4，5，6）个人的进球总数与n之比为an，求满足条件a6=，且a

11、n（n=1，2，3，4，5）的概率；（2）设甲，乙两队进球数分别为i，j（i，j0，1，2，3），记=|ij|，求随机变量的分布列和数学期望（1）a6=，即6个人投篮进了3个球，又an（n=1，2，3，4，5），则有两种情况：第一，第1人投篮没投进，第2人投篮投进了，第3人投篮没投进，第4、5人总共投进了1个球，第6人投篮投进了，其概率为P1=C（）2=；第二，第1人投篮没投进，第2人投篮没投进，第3、4、5人总共投进了2个球，第6人投篮投进了，其概率为P2=C（）3=.从而，所求概率为P=P1+P2=（2）P（=0）表示两队进球数相同，即有P（=0）=（）3（）3+C（）3C（）3+C（）3

12、C（）3+（）3（）3=P（=1）=2（）3C（）3+C（）3C（）3+C（）3（）3=P（=2）=2（）3C（）3+C（）3（）3=P（=3）=2（）3（）3=E=0+1+2+3=8.（2011安徽理科高考题）（化归转化突破重难点）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派

13、出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数学期望）；（）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小（本小题满分13分）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于（II）当依次派出

14、的三个人各自完成任务的概率分别为时，随机变量X的分布列为X123P所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是 （III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.下面证明：对于的任意排列，都有（*）事实上，即（*）成立.（方法二）（i）可将（II）中所求的EX改写为若交换前两人的派出顺序，则变为.由此可见，当时，交换前两人的派出顺序可减小均值.（ii）也可将（II）中所求的EX改写为，或交换后两人的派出顺序，则变为.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.序综

15、合（i）（ii）可知，当时，EX达到最小. 即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.9. 在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为，判断错误的概率为，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完题后总得分为”（1）当时，记，求的分布列及数学期望及方差；（2）当时，求的概率（1）的取值为1，3，又； 13故， 所以 的分布列为：且 =1+3=； （2）当S8=2时，即答完8题后，回答正确的题数为5题，回答错误的题数是3题， 又已知，若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；若第一题和

16、第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对3题 此时的概率为 10. （2013年南通通州区查漏补缺专项）一位环保人士种植了棵树，已知每棵树是否成活互不影响，成活率均为，设表示他所种植的树中成活的棵数，的数学期望为，方差为 （1）若，求的最大值；（2）已知，标准差，求的值并写出的分布列解：（1）当=1，=0，1，于是的分布列为：01=0()+1=即当时，有最大值 （2） ， ， (=0，1，2，3，4)， 即的分布列为：0123411. 甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，

17、但投篮次数不超过5次 （1）求甲同学至少有4次投中的概率； （2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望解：（1）设甲同学在5次投篮中，有次投中，“至少有4次投中”的概率为，则 = （2）由题意，的分布表为12345的数学期望 12. 由数字1，2，3，4组成五位数，从中任取一个（1） 求取出的五位数满足“对任意的正整数，至少存在另一个正整数，使得”的概率；（变式：如果四个数字分别是0,1,2,3呢？）（2）记为组成五位数的相同数字的个数的最大值，求得分布列和数学期望 13.（2013年南通学科基地密卷5）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方对2分或打满

18、6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且每局胜负相互独立。（1）求比赛进行两局恰好停止的概率；（2）设为比赛停止时已打的局数，求的概率分布及数学期望.（和南通四模的附加题方法一致）（利用化归思路研究第2问）14. 如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到，则分别设为等奖（1）已知获得等奖的折扣率分别为记随机变量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望； （2）若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的

19、人次，求（1）（2）15.（2013年南通四模数学试题）甲乙两人进行一场不超过10局的比赛规定：每一局比赛均分出胜负，且胜者得1分，负者得0分；每人得分按累加计分；比赛中一人的得分比另一人高出2分则赢得比赛，比赛结束，否则10局后结束比赛；各局比赛的结果是相互独立的已知每局比赛甲获胜的概率为p(0 p 1)，比赛经局结束（1）当时，求概率P(=4)；（2）求的分布列，并求其数学期望E()（1）表示4局后比赛结束，即第1，2两局甲乙各胜一局，第3，4两局甲连胜或乙连胜所以当时，（2）用表示k局后比赛结束的概率若k为奇数，则甲乙得分之差亦为奇数，所以必为偶数 考虑连续两局比赛结果：(记)（i）甲连

20、胜或乙连胜两局（称为有胜负的两局），则此结果发生的概率为p2+q2；（ii）甲乙各胜一局（称为无胜负的两局），有两种情况，则此结果发生的概率为2pq 由经k局比赛结束知，第1，2两局；第3，4两局；第k3，k2两局均未分胜负 若k10，则第k1，k两局为有胜负的两局，从而有 若k10，比赛必须结束，所以P( =10)(2pq)4则的分布列为246810Pp2+q22pq (p2+q2)4 p2q 2 (p2+q2)8 p3q 3 (p2+q2)16 p4q 4 的数学期望为，其中16. 盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同（1）从盒中一次随机抽出2个球，求

21、取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)3. 复数（一）复数的四则运算1. 已知是虚数单位，复数z 的共轭复数为，若2z =+ 2 - 3，则z = 2 - 2. 已知是虚数单位，复数，则= 3. 已知是纯虚数，则4. 已知为虚数单位，计算= 5. 复数（其中i是虚数单位）的虚部为 （二）复数的几何意义1. 对应的点在第_象限；其共轭复数为_2. 设复数满足，则的最大值和最小值为_3. 已知是虚数单位，复数对应的点在第 象限4. 已知是虚数单位，复数z

22、 = ，则 | z | = 5已知是虚数单位，复数z 的共轭复数为，若2z += 3 + 4，则z = 6已知复数z满足 z2 + 4 = 0，则z = 7. 若复数满足，则的最大值为_. 4. 集合计数问题研究1. 集合，集合是S的子集，且满足，且，那么满足条件的子集的个数为_832. 记集合P = 0，2，4，6，8 ，Q = m | m = 100a1 +10a2 + a3，且a1，a2，a3P ，将集合Q中所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第68项是_4643.（13年南通学科基地密卷）设为给定的正整数，数集的两个子集构成一个有序对（1）记为满足的有序对的个数，求； （2）记为所有满足集合是集合的真子集的有序对的个数，求 变式：设集合A，B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集（1）若M=，直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数；（2）若M=，求所有不同的有序集合对(A,B)的个数解：（1）110； 3分（2）集合有个子集，不同的有序集合对(A,B)有个若，并设中含有个元素，则满足的有序集合对 (A,B) 有个 6分同理，满足的有序集合对(A,B)有个 8分满足条件的有序集合对(A,B)的个数为10分4. (13年南通学科基地密卷）设为集合的子集，其中为正整数，记为满足的有序子集组的个数.（1）求的值；（2）求的表达式