排列组合中几个易混淆问题辨析

《排列组合中几个易混淆问题辨析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列组合中几个易混淆问题辨析（8页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、排列组合中几个易混淆问题辨析文章来源：现代教育报思维训练 作者：王强芳 点击数：1583 更新时间：2007-4-12 14:25:58 . 分组问题分组问题是排列组合中的一个难点，主要有以下三种情况.1 非平均分组问题在非平均分组问题中，不管是给出组名或不给出组名，其分组的方法相同.【例】 把个人分成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数.（）分成甲、乙、丙三组，其中甲组人、乙组个、丙组人.（）分成三组，其中一组人、一组人、一组人.解： （）先从人中任选人为甲组，余下人中任选人为乙组，剩下人为丙组，则共有种不同的分组方法.（2）先从人中任选人为一组有种选法，再从余下人中任选人有种选法，剩下的

2、人为一组，共有种不同的方法.【点评】 由于各组人数不同，这个问题属于非平均分组问题，尽管第（1）个问题中给出了甲、乙、丙三个组，而第（）个问题只是给出了各组人数而没有具体指定组名，但分组的方法数都是一样的.易错点：误把（）的结果表示为.2 平均分组问题上面的非平均分组问题中，是否给出组名对结果没有影响，但在平均分组问题中一定要注意问题是否给出了具体的组名，它们的结果是不同的.【例】 有本不同的书，按下列要求分配，各有多少种不同的分法？（）分给甲、乙、丙三人，每人两本.（）平均分成三份.解： （）从本书中任取本给一个人，再从剩下的本中取本给另一个人，剩下的本给最后一人，共有种分法.（）设平均分成

3、三堆有x种方法，再分给甲、乙、丙三人每人得本，则应有 种不同的分法.【点评】 上面例子可以看出：两个问题都是分成堆，每堆本，属于平均分组问题，而（）分到甲、乙、丙三人，属于到位问题，相当于给出了甲、乙、丙三个指定的组，但（）没有给出组名，因而结果是不同的.一般地，把n、m个不同元素平均分到m个不同的位置，有种方法，把n、m个不同元素平均分成m组有种分法.易错点：错把（）的结论写为错把（）的结论写为.3 局部平均分组问题某些分组问题中，有一部分组之间的元素的个数相同，但又不是所有组的元素都相同，这样的分组称为局部平均分组.解决这问题同样要考虑分组时是否给出了组名.【例】 （）把本不同的书分给人，

4、两人各得本，另外两人各得本，有几种分法？（）把本不同的书分成份，两份各本，两份各本，有几种分法？解析： 我们先来研究：“两个无区别的白球与两个无区别的红球排成一排的方法数”问题.如果这个球各不相同，则有种排法，由于白球和红球各有种排法，因此两个白球与两个红球排成一排的排法有种，下面来解决上述问题.（）可按下面步骤完成：先将本书分成本、本、本、本个部分，然后让四个人去全排列取书，即有种.（）先把本书分成本、本、本、本的堆，由于两个本与两个本是无区别（没有顺序）的，因此，所求的分法数为种.【点评】 两个问题同属局部平均分组问题，但（）中指定分给了个人，相当于指定了组名，而（）没有给出组名，因此分组

5、的情况是不相同的.事实上，（）中相当于把本书分成两份本，两份本，共有种分配方法，然后把它分给个人.在元素相同的组中，若没给出具体的组名，则必须除以相同元素的组数的阶乘，若把问题改为：把本不同的书分成、四堆，其中、各本，、各本，则有几种分法？该问题的分法有种分法.易错点：误把（）中的结论表示为.因此，在解决分组问题中，要弄清以下几点：分配对象是否明确（组名是否给出）？是否平均分配？是否局部平均分配？分配中有无顺序关系？. 挡板模型与分组问题挡板模型是解决排列组合问题的常用方法之一，且效果极佳，但有些分配问题如果不加分析而乱套挡板模型，则极易出现误解.【例】 个教师分配到个班参加活动，每班至少人，

6、有几种不同的分法？错解： 把个老师排成一排，中间投入四块挡板：|，只要在块挡板中任取块，一共有种不同的方法.错因： 个教师是互不相同的，而用挡板时，要求这些元素必须相同.即把问题改为：把个名额分配给个班，每班至少有人.问有几种不同的分法？个名额是没有区别顺序的.可用挡板法解决.正解：先把位老师分成三堆，有两类：、和、2、2分别有和种，再分到三个班里，共有种.【点评】 类似上面的分配问题，当元素有区别时，要利用分组办法解决，当元素无区别时，可用挡板模型来解决.3. 挡板模型与双排问题在元素无区别分配问题中，通常考虑用挡板模型来解决，但一定要注意题目给出的条件，否则极易出错.【例】 从个班中选人组

7、成一个篮球队（无任何要求），有几种选法？错解： 选把个指标排好，插入块挡块：|然后在块挡板中任取块即可分成份，有种分法.错因： 问题并没有给出“每班至少人”这个条件，而采用挡板解决时，实际上它就是要求每班至少有人参加.事实上，这个名额可给一个班，也可给两个班正解：因为把个指标分成个部分，只须块挡板，称为第一类元素，个指标为第二类元素，共个元素.当这些元素都有区别时共有种排法.但个指标，块挡板各组之间不管怎么变化，其实就是一种情况的共有种不同分法（或）.【点评】 当分组数超过个时，若没有给出“每组至少有个”这个条件时，是不能用挡板法解决的，而要用双排列方法解决.而双排问题就是把元素分成相同的两类

8、，然后加以解决.两类元素排列的问题涉及面很广，它实质上就是有重复元素排列的一种简单情形，在历年的高考中时有出现，应予以重视. 教平均分组与不平均分组有感 西周中学 周玲素 学生在学习 高二数学第十章排列、组合和二项式定理过程中，解答有关平均分组与不平均分组的应用题时感到非常棘手，主要是难以理解、无法入手。作为教师，如何突破这一难点呢？我吸取以往学生学习这块知识点困难的教训，根据历年来的教学经验，决定对今年这届高二学生采用新的教学方法，效果还真不错。 首先，在要上这块内容的前一天，我自拟了一道题，分15小题，题目简洁明了，写在小张练习纸上发给学生作预习工作。 例：有6本不同的书， 分给甲、乙、丙

9、三人，每人得2本，有多少种方法？ 分成三堆，每堆2本，有多少种方法？ 分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种方法？ 分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种方法？ 分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种方法？ 分给甲、乙、丙三人，甲得4本，乙、丙各得1本，有多少种方法？ 分成三堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种方法？ 分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各得1本，有多少种方法？ 分成三堆，共有多少种方法？ 分给三人，每人至少1本，共有多少种方法？ 分成四堆，其中两堆各1本，另两堆各2本，有多少种方法？ 分给甲、乙、丙、丁四人，其中甲、乙各得1本

10、，丙、丁各得2本，有多少种方法？ 分给甲、乙、丙、丁四人，其中两人各得1本，另两人各得2本，有多少种方法？ 分成四堆，共有多少种方法？ 分给四人，每人至少1本，共有多少种方法？ 从当天晚上学生预做情况来看，前几题尚有点解题思路，越做到后来，头脑就被弄得稀里糊涂。我丛容学生大胆尝试，无论结论正确与否，先按照自己对排列、组合的理解，对每一题作出一个结论。即使有许多同学头脑中理不清思路，从而得不出一个结论，但最起码对各小题都进行了认真的思考。 其次，在第二天课堂上师生共同对15小题进行讨论。分给甲、乙、丙三人，每人得2本，有多少种方法？ 生：第小题中，先从6本书中任取2本给甲有62种方法，再从剩下4

11、本书中选出2本给乙有42种方法，留下最后2本给丙有22种方法，所以共有624222种方法。 师：肯定的答案是624222，那么第小题的答案呢？是不是也是624222？分成三堆，每堆2本，有多少种方法？ 师生共同探讨：若是按624222来取书，我们先把6本书进行编号，分别记作本1、本2、本3、本4、本5和本6。取法可能有在步骤62时取到本1和本2，接下来在步骤42时取到本3和本4，最后在步骤22取到本5和本6，结果分成本1和本2、本3和本4、本5和本6三堆；但也有可能先取到本3和本4，再取到本1和本2，最后取到本5和本6，结果也分成本1和本2、本3和本4、本5和本6三堆。可见上述两种可能只能算一

12、种，这说明按624222种算有重复。那第小题的答案应是什么呢？很明显下述6种取法： 本1和本2 本3和本4 本5和本6 本1和本2 本5和本6 本3和本4 本3和本4 本1和本2 本5和本6 本3和本4 本5和本6 本1和本2 本5和本6 本1和本2 本3和本4 本5和本6 本3和本4 本1和本2 实际上 分成本1和本2、本3和本4、本5和本6共三堆。在第小题中算6种，而在 第小题中算1种方法。不难得出第小题的答案应是 624222 /6种。为什么是除以6呢 ？不难发现三个量 “本1和本2 ”、“本3和本4”、“ 本5和本6”的全排列共有33个，所以第小题的答案应是 624222 /33种。分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种方法？ 师：及它以后的答案呢？ 由学 生共同探讨，逐步得出各题的结论： 的答案是615233（基本上一致认同，师指出：答案还有624133、633211、615311等）； 的答案是615233 （一起分析615233 /33不正确，原因分堆成平均2、2、2与分堆成不平均1、