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1、1在对多项式的讨论中，我们总是以一个预先给定的数域 P 作为基础.设 x 是一个符号(或称文字)我们有 2中，aixi 称为，ai 称为i 次项的.以后我们用 f(x),g(x),或 f,g,等来代表多项式.我们这儿定义的多项式是符号或文字的形式表达式.当这符号是未知数时，它是中学所学代数中的多项式.看应用需要，这个符号还可以代表其他待定事物.为了能统一研究未知数和其他a an nx xn n+a an n-1-1x xn n-1-1+a a1 1x x+a a0 0,(1)(1)在多项式3待定事物的多项式，我们才抽象地定义上述形式表达式.并且还要对它们引入运算来反映各个待定事物所满足的运算规
2、律，统一研究以得到它们普遍的公共的性质.4在a an nx xn n+a an n-1-1x xn n-1-1+a a1 1x x+a a0 0,(1)(1)中，如果 an 0，那么 anxn 称为多项式(1)的，an 称为，n 称为多项式(1)的.零多项式是的多项式.多项式 f(x)的次数记为(f(x).51.1.引例引例引例引例在中学所讲的代数中，两个多项式可以相加、在中学所讲的代数中，两个多项式可以相加、相减、相乘相减、相乘.例如，例如，(2x2-1)+(x3-2x2+x+2)=x3+x+1,(2x2-1)(x2-x+1)=2x4-2x3+2x2-x2+x-1=2x4-2x3+x2+x-
3、1.对形式多项式，我们可类似地引入这些运算对形式多项式，我们可类似地引入这些运算.为便于计算和讨论，我们常常用和号来表达多项式.设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,g(x)=bmxm+bm-1xm-1+b1x+b0 是数域 P 上两个多项式.那么它们可以写成.)(,)(00mjjjniiixbxgxaxf6在表示多项式 f(x)与 g(x)的和时，如 n m,为了方便起见，在 g(x)中令 bn=bn-1=bm+1=0.那么 f(x)与 g(x)的和为f(x)+g(x)=(an+bn)xn+(an-1+bn-1)xn-1+.+(a1+b1)x+(a0+b0).)(0niiii
4、xba7f(x)g(x)=anbmxn+m+(anbm-1+an-1bm)xn+m-1+(a1b0+a0b1)x+a0b0,其中 s 次项的系数是.011110sjijissssbababababa所以 f(x)g(x)可表成.)()(0snmssjijixbaxgxf 8显然，对于多项式的加减法，不难看出(f(x)g(x)max(f(x),(g(x)对于多项式的乘法，可以证明，如果 f(x)0,g(x)0,那么 f(x)g(x)0,并且(f(x)g(x)=(f(x)+(g(x)9由以上证明还看出，显然，上面得出的结果都可以推广到多个多项式的情形.下面来讨论多项式的运算所满足的规律.10f(x
5、)+g(x)=g(x)+f(x).(f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x).f(x)g(x)=g(x)f(x).11(f(x)g(x)h(x)=f(x)(g(x)h(x).f(x)(g(x)+h(x)=f(x)g(x)+f(x)h(x).证明证明证明证明设设.)(;)(;)(000lkkkmjjjniiixcxhxbxgxaxf现在来证现在来证(f(x)g(x)h(x)=f(x)(g(x)h(x).等式左边，等式左边，f(x)g(x)中中 s 次项的系数为次项的系数为,sjijiba因此左边因此左边 t 次项的系数为次项的系数为如果 f(x)g(x)=f(x)h(x)且 f(x)0,那么 g(x)=h(x).12 1314
大学数学高数微积分第一章多项式第二节课堂讲义
