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1、第03章 刚体力学基础,2,内容提要,3-1 刚体 刚体定轴转动的描述,3-2 力矩 刚体定轴转动的转动定律,3-3 刚体定轴转动的动能定理,3-4 刚体定轴转动的角动能定理和角动量守恒定律,一. 刚体,特殊的质点系，, 理想化模型,形状和体积不变化,在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变,基本方法： 质点系运动定理 加 刚体特性,刚体定轴转动的转动定律 动能定理 角动量定理,3-1 刚体 刚体定轴转动的描述,二. 刚体绕定轴转动,z,M,I,II,P,角坐标,角速度,角加速度,1. 描述 刚体绕定轴转动的角量,刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动_刚体转动,转轴固定不动, 定
2、轴转动,2. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度,当,P,刚体,参考方向,z,O,r,一. 力矩,力,改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度,力 F 对z 轴的力矩,力矩取决于力的大小、方向和作用点,在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向,质点获得加速度,改变质点的运动状态,？,h,A,3-2 力矩 刚体定轴转动的转动定律,(1) 力对点的力矩,O .,(2) 力对定轴力矩的矢量形式,力矩的方向由右螺旋法则确定,讨论,例,已知棒长 L ,质量 M ，在摩擦系数为 的桌面转动 (如图),解,根据力矩,dx,求 摩擦力对y轴的力矩,例如,在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算,对mi有,切向分量式为:,F
3、it+fit= miait= miri,Fit ri +fit ri = miri2,二、刚体绕定轴转动的转动定律,对所有质元求和：,Fit ri +fit ri = miri2,一对内力的力矩之和为零,Fit ri = （miri2）,刚体对转轴转动惯量,合外力矩,MZJZ （转动定律）,圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止(圆盘的转动惯量为J=1/2mR2),解,例,求 到圆盘静止所需时间,取一质元,摩擦力矩,四 转动定律的应用,由转动定律,14,例转动着的飞轮的转动惯量为J，在t0时角速度为 .此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度的平方成正比，比例系数为k(k为大于零的常数)
4、，当 时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？,解(1) ，故由转动定律有,15,(2),t0时， ，两边积分,故当 时，制动经历的时间为,16,一 转动动能,刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半.,刚体绕定轴转动时的动能，称为转动动能,3-3 刚体定轴转动的动能定理,17,力矩的功,二 力矩的功,力矩的功率,18,三 刚体定轴转动的动能定理,合外力矩对定轴转动的刚体所做的功等于刚体转动动能的增量 .,19,例3.5如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30
5、角时中心点C和端点A的速度.,解：棒受力如图,20,则中心点C和端点A的速度分别为,21,一 角动量 质点的角动量定理及角动量守恒定律,质点在垂直于 z 轴平面上以角速度 作半径为 的圆运动.,的方向符合右手法则.,质点角动量（相对圆心）,（圆运动）,1.质点的角动量,大小,3-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律,22,2.质点的角动量定理,作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。此即质点对固定点的角动量定理。,叫冲量矩,23,3.质点角动量守恒定律,若 ，则,质点所受外力对某固定点的力矩为零，则质点对该固定点的角动量守恒。这就是质点的角动量守恒定律。,24,二 刚体对轴的角
6、动量 刚体定轴转动的角动量定理,刚体对某定轴的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积方向沿该转动轴，并与这时转动的角速度方向相同,刚体对转轴的角动量就是刚体上各质元的角动量之和,1.刚体对轴的角动量,25,定轴转动的刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在这段时间内对该轴的角动量的增量,定轴转动的刚体所受的合外力矩等于此时刚体角动量对时间的变化率,2.刚体定轴转动的角动量定理,26,外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒.,三 刚体对轴的角动量守恒定律,27,例 如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4, 求子弹穿出后棒的角速度。已
7、知棒长为l,质量为M,棒的转动惯量为：,解:,设转轴垂直向外为正,（逆时针为正向）,由角动量守恒得,解：,例如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为 和 轻杆原来静止在竖直位置.今有一质量为m的小球，以水平速度 与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以 的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度,又,将代入得,30,例3.9 在工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上A轮的转动惯量为JA10 kgm2，B轮的转动惯量为JB20 kgm2，开始时A轮每分钟的转速为600转，B轮静止C为摩擦啮合器求两轮啮合后的转速，在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？,解 系统所受合外力矩为零，所以系统的角动量守恒，即,31,为两轮啮合后的共同角速度，,在啮合过程中，摩擦力矩做功，机械能不守恒，损失的机械能转化为内能损失的机械能为,
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