工程弹塑性力学-第一章应力理论.ppt

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1、工程弹塑性力学,胡庆贤,2010.11,江苏省先进焊接技术重点实验室,第一章 应力理论,弹塑性力学的几个重要概念 平衡方程 一点的应力状态 边界条件 坐标变换 应力张量 主应力 应力张量不变量 最大切应力 正八面体的应力 应力张量的分解,主要内容,关于弹塑性力学中几个重要的基本概念,1.变形：是指在外力作用下 物体尺寸和形状产 生的改变。 2.弹性：当撤除外力时，固 体能恢复其变形的性能 称为弹性，恢复了的变 形称为弹性变形。 3.塑性：当撤除外力时固体能残留下来变形的性能称为塑性， 残留下来的变形称为塑性变形。 4.破坏：在外力作用下，固体产生了塑性变形或断裂统称为破 坏。 5.强度：是指物

2、体在外力作用下抵抗破坏的能力。 6.刚度：是指物体在外力作用下抵抗变形的能力。,1.1 体积力和面力的概念,(1) 体积力：分布物体体内的外力，分为常体力和变体力。,(2) 面力：分布于物体表面上的力,体力集度：,（N/mm2）,面力集度：,(Pa),体力说明：,(1) f 是坐标的连续分布函数；,(2) f 的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等),(3) f1、 f2 、 f3的正负号由坐标方向确定。沿坐标轴向为正；沿坐标轴负向为负。 (4) 量纲为,面力 说明:,(1) p 是坐标的连续分布函数；,(2) p 的加载方式是任意的;,(3) 的正负号由坐标方向确定。沿坐标轴向为正

3、；沿坐标轴负向为负。 （4）量纲为,内力和截面法:,弹塑性力学中所说的内力是指物体产生变形时的附加内力（简称为内力），是物体内相邻部分间的相互作用力。,物体在外力的作用下处于平衡状态，则物体内任一部分也必然处于平衡状态。,求解内力必须首先截开物体，暴露内力，然后根据力系的平衡原理求解内力。因此，求解内力的唯一方法是截面法。,2. 应力,(1) 应力的概念,内力,(1) 物体内部分子或原子间的相互作用力;,(2) 由于外力作用引起的相互作用力.,(不考虑),P,(1) P点的内力面分布集度,(2) 应力矢量.,-P点的应力,的极限方向,由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度,应力分量,应力的

4、法向分量, 正应力,应力的切向分量, 剪应力,单位:,与面力相同,MPa (兆帕),应力关于坐标连续分布的,应力的概念：受力物体内某点处某微截面上内力 的分布集度。,工程构件在大多数情形下，其内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且 重要，因为材料的“ 破坏” 或“失效”往往就是从内力 集度最大处，也就是材料 变形最强烈处开始。, 应力的表示符号:,4. 位移：位置的移动。,一点的位移 矢量S,量纲：L 单位：m 或 mm,S,位移分量：,u x方向的位移 分量；,v y方向的位移 分量；,w z方向的位移 分量。,位置分量正负号的规定： 沿坐标轴正向为正 沿坐标轴负向为负,位 移, 研究物体

5、在外力作用下的变形规律，只需研究物体内各点的相对位置变动情况，即研究变形位移。, 位移不能直接表明物体各点处材料变形的剧烈程度，还需要研究物体内各点的相对位移。,3. 形变,形变 物体的形状改变。物体的形状可以用各部分的长度和角度来表示。这样，物体的形变可以用长度和角度的改变来描述。,（1）线段长度的改变,（2）两线段间夹角的改变。,P,B,C,A,用线（正）应变度量,用剪应变度量,（剪应变两垂直线段夹角（直角）的改变量）,三个方向的线应变：,三个平面内的剪应变：,应变的正负：,线应变：,伸长时为正，缩短时为负；,剪应变：,以直角变小时为正，变大时为负；, 在一物体内任取一点A，建立oxy坐标

6、，沿x、y两方向分别取微线段 ， y。该物体受外 力作用产生变形，A、B、C三点变形后位移到A、B、C处，且变形后长度为： ABxu ， ACyv， 且方位发生改变，则由线应变和剪应变定义知：,x,应变的概念：,线应变,、涉及受力物体内某一点； 、涉及该点的某一方向； 、是一个无量纲的物理量。,角应变,、涉及受力物体内某一点； 、涉及过该点的某两相垂直方向； 、是一个有单位，无量纲的物量。, 应变的符号规则：,表征某点某方向伸长变形的线应变取正，反之取负； 表征某点两坐标轴正方向所夹直角减少的角应变取正，反之取负。, 应变状态：,受力物体内某点处线应变和剪应变的总和，反映和表征了该点的变形程度

7、，称之为应变状态。,固体材料基本破坏形式, 屈服流动强化最终导致剪切断裂; 这种破坏形式主要是由剪应力达到材料 的极限值所导致； 脆性断裂，即在几乎不产生明显塑性变 形的情况下材料就产生破坏；,屈服条件,建立屈服条件的必然性：, 逐一由试验建立失效判据的不可能性； 对于相同的破坏形式建立破坏原因假说 的可能性； 利用简单(如单向拉伸或压缩)试验的结 果建立复杂应力状态下的破坏判据;,(2) 一点的应力状态,通过一点P 的各个面上应力状况的集合, 称为一点的应力状态,x面的应力：,y面的应力：,z面的应力：,应力状态的概念： 受力物体内某点处截取的所有微截面上的应力的总和，就表明了该点的受力状态

8、，称为应力状态。, 研究一点应力状态的目的：,以单元体为研究对象或模型：一般单元提取为正六面体。采用截面法根据平衡的原理。,1）每个面上应力均匀分； 2）每对相互平向的面上应力相等；, 研究一点应力状 态的方法：,用矩阵表示：,其中，只有6个量独立。,剪应力互等定理,应力符号的意义：,第1个下标 x 表示所在面的法线方向（垂直于哪一个坐标轴）；,第2个下标 y 表示的方向（即作用方向沿着哪一个坐标轴）.,正应力，作用于垂直于x轴的面，沿x轴方向,正面 截面的外法线是沿坐标轴的正方向,负面截面的外法线是沿坐标轴的负方向,面的正负号规定,正面上的应力：沿坐标轴正向为正 沿坐标轴负向为负,负面上的应

9、力：沿坐标轴负向为正 沿坐标轴正向为负,量纲：,关于应力和面力符号的一些说明：,应力与面力相比，在正坐标面上，正的正应力和切应力，与对应的正的法向和切向面力的方向相同，即正方向及其正号规定相同；而在负面上应力与对应的面力异号，即应力的正方向与对应面力的正方向相反。,面力以坐标正向为正，反之为负；,应力以正面正向、负面负向的为正，反之为负。,注意：,剪应力互等定理：和面的正负无关,作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号相同）,与材力中剪应力正负号规定的区别：,材力中规定使得单元或其局部产生顺时针方向转动趋势的剪应力为正，反之为负。,材料力学,弹性力学,与材

10、力中正应力正负号的规定两者完全一致。,(2) 一点应变状态, 代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变,P,B,C,A,其中,应变无量纲；,注：,应变分量均为位置坐标的函数，即,1.2 平衡方程,过物体内一点M(x,y,z)作垂直于x轴的微平面，设作用其上正应力和切应力为：,与其无限接近M点的N(x+dx,y+dy,z+dz)正应力可由上式的麦克劳林展开式得到：,当M点与N点位于平行于x轴的直线上，并略去一阶以上的量，则可得：,对于六面体，若处于平衡状态，则存在六个静力平衡方程：,由,得：,体积力,惯性力,同理得：,平衡方程（纳维方程）,其张量表示方法：,平衡方程表示过任一点的三个正交微分

11、面上的 9个应力分量需满足的条件,由微元体力矩 平衡， 得：,整理得：, 剪应力互等定理,由力矩平衡 得：,切应力互等定理,微元体任意两个相互垂直于交线的切应力大小相等，方向同时指向或同时背向交线,平衡方程独立变量减为6个,1.3 一点的应力状态 边界条件,令 并化简，并利用 有：,边界条件：外力与内应力的关系,四面体平衡问题：设斜面面积为A，其外法线的方向余弦为l, m,n, 重力作用于其重心。 由 得：,即,平衡时边界外力与内应力之间关系,即,斜面正应力：,截面方向余弦矩阵,转置矩阵,切应力：,1.4 坐标变换 应力张量,如何用老坐标系下的应力分量表示新坐标系下的应力分量？,在原坐标系内找

12、一平面与新坐标系平面重合，现在原坐标系下计算全应力投影，再计算将其在新坐标系下投影。,为求新坐标系下以z为外法线微面的应力分量，在原坐标系找一平面与之重合，则全应力分力的投影可得：,向新坐标轴投影,可归纳为：,张量：应力分量随坐标系变化，但实际大小不变（只是坐标系改变了分量）,切应力互等，应力张量为对称张量。,（1-6b）,（1-6a）,例1-1： 某物体内一点的应力可用张量表示如下：,求法向矢量 的斜截面上的正应力和切应力,解：由于,根据式(1-4)有：,全应力投影：,切应力：,1.5 主应力 应力张量不变量,设应力张量的特征值为 ，特征向量为u，I为单位矢量矩阵，根据线性代数的知识有下式成

13、立,其中，,特征值即为主应力，特征向量为主方向！,：应力张量的三个不变量,利用主应力张量表示某点的应力状态：,几点说明： （1）（因为由线性代数知实对称阵的特征值为实数）三个主应力均为实数，且,（2）当有一个重根时，如 则与 垂直平面内任何方向均为主应力，为,（3）当 ，任意方向均为主方向，称为球形应力或静水应力状态,例1-2：某一应力场可用张量表示如下：,试求该应力场的主应力与主方向。,解：(1) 求 的主应力就是求矩阵 的特征值，即：,求得：,（2）求应力主方向就是求应力矩阵 的特征向量，即,考虑到 ，得到：,即一个主方向为,同理有,从而得到主应力转换矩阵,1.6 最大切应力,设主应力已知

14、，取主平面为坐标平面。根据式(1-3)。任意斜面上全应力的投影为：,斜面上全应力的大小为：,正应力的大小为,切应力的大小为,由,消去n得：,第一组：,第二组：,第三组：,主方向上切应力,最大切应力,最大切应力所在截面平行于某主轴，与另外两主轴成45o,1.7 正八面体上的应力,正八面体余弦：,全应力投影：,全应力,正应力,切应力,正应力为三个主应力的平均值，切应力的平方为三个最大切应力平方的4/9倍。,特殊情况：,单向应力状态：,纯剪切应力状态：,可以证明：正八面体切应力与最大切应力关系，,1.8 应力张量的分解,应力球张量：,应力偏张量：,即：,应力球张量改变物体体积不改变形状，应力偏张量改变形状不改变体积,应力偏张量的特征方程：,其不变量：,应力偏张量的不变量：,若取应力主轴为坐标轴：,等效应力：,可以证明，应力张量的三个不变量都是基本不变量。应力偏张量的不变量以及正八面体上的应力、等效应力等都是基本不变量的函数。,比较上述两式得：,