债券价值分析

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1、第十一章债券价值分析在第一和第十二章中，将分别运用收入资本化法(Capitalization of in come method ofvaluatio n),即收入法(In come Approach )对债券和普通股的价值进行分析。事实上，价值分 析的方法除了收入法之外，还包括市场法(Market Approach)与资产基准法 (Asset-BasedApproach)等方法。收入法或收入资本化法，又称现金流贴现法(Discou nted Cash Flow Method,简称DCF)，包括股息(或利息)贴现法和自由现金流贴现法。而第十一章和第十二章中运 用的收入资本化法仅仅是其中的股息(

2、或利息)贴现法。第一节 收入资本化法在债券价值分析中的运用收入资本化法认为任何资产的内在价值( intrinsic value )决定于投资者对持有该资产预 期的未来现金流的现值。根据资产的内在价值与市场价格是否一致，可以判断该资产是否被低估或高估，从而帮助投资者进行正确的投资决策。所以，决定债券的内在价值成为债券价值分析的核心。本书第三章对债券的种类进行了详细的分类，下面将对不同的债券种类分别使用收入资本化法进行价值分析。一. 贴现债券(Pure discount bond )贴现债券，又称零息票债券(zero-coupon bond)，是一种以低于面值的贴现方式发行， 不支付利息，到期按债

3、券面值偿还的债券。债券发行价格与面值之间的差额就是投资者的利 息收入。由于面值是投资者未来唯一的现金流，所以贴现债券的内在价值由以下公式决定：小ADr( 11.1)1 r其中，D代表内在价值，A代表面值，r是市场利率，T是债券到期时间。假定某种贴现债券的面值为100万美元，期限为 20年，利率为10%，那么它的内在价20值应该是：D= 100 /( 1+0.1)= 14.8644(万美元)。换言之，该贴现债券的内在价值仅为其面值的15%左右。二. 直接债券(Level-coup on bond )直接债券，又称定息债券，或固定利息债券，按照票面金额计算利息，票面上可附有作为定期支付利息凭证的息

4、票， 也可不附息票。投资者不仅可以在债券期满时收回本金 (面值)， 而且还可定期获得固定的利息收入。 所以，投资者的未来的现金流包括了两部分，本金与利息。直接债券的内在价值公式如下：(11.2)其中，c是债券每期支付的利息，其他变量与式(11.1)相同。例如，美国政府2002年11月发行了一种面值为 1000美元，年利率为13%的4年期国 债。由于传统上，债券利息每半年支付一次，即分别在每年的5月和11月，每次支付利息65美元(130美元/2)。那么，2002年11月购买该债券的投资者未来的现金流可用表11-1表示：表11-1购买某种债券的投资者未来的现金流2003. 52003. 11200

5、4. 52004. 112005. 52005. 112006. 52006. 1165美兀65美兀65美兀65美兀65美兀65美兀65美兀65 美元 +1000美兀如果市场利率定为10%，那么该债券的内在价值为1097.095美元，具体过程如下:65656510001 0.0510.05 2810.050.05=1097.095（美元）三. 统一公债（Con sols）统一公债是一种没有到期日的特殊的定息债券。最典型的统一公债是英格兰银行在18世纪发行的英国统一公债（En glish Con sols），英格兰银行保证对该公债的投资者永久 期地支付固定的利息。直至如今，在伦敦的证券市场上仍然

6、可以买卖这种公债。历史上 美国政府为巴拿马运河融资也曾发行过类似的统一公债。但是，由于在该种债券发行时 含有赎回条款，所以美国的统一公债已经退出了流通。因为优先股的股东可以无限期地 获得固定的股息，所以，在优先股的股东无限期地获取固定股息的条件得到满足的条件 下，优先股实际上也是一种统一公债。统一公债的内在价值的计算公式如下：(11.3)例如，某种统一公债每年的固定利息是 该债券的内在价值为 500美元，即：50美元，假定市场利率水平为 10%，那么,500.1500在上述三种债券中，直接债券是一种最普遍的债券形式。下面就以直接债券为例， 说明如何根据债券的内在价值与市场价格的差异，判断债券价

7、格属于低估还是高估。第一种方法，比较两类到期收益率的差异。式（11.1）、（ 11.2）、（ 11.3）中的r是市场的利率水平，即根据债券的风险大小确定的到期收益率（appropriate yield-to-maturity ）；另外一类到期收益率，是债券本身承诺的到期收益率（ promised yield-to-maturity ），用y 表示。假定债券的价格为 P,每期支付的利息为 c,到期偿还本金（面值） A，那么，债券 价格与债券本身承诺的到期收益率之间存在下列关系式：(11.4)如果r y，则该债券的价格被高估；如果r 0.75，公司位置落在直线上方，可认为没有风险； 反之，公司被认

8、为有财务困难。Altman最终确定的直线方程是：Z=3.3 EBIT/总资产+99.9销售额/总资产+0.6股票市场价值/债务账面价值+1.4保 留盈余/总资产+1.2营运资本/总资产其中，EBIT是息税前收益。由各种工具可测定违约风险，那么，债券的违约风险与债券的收益率之间存在着什么关系呢？既然债券存在着违约风险，投资者必然要求获得相应的风险补偿，即较高的投资 收益率。所以，违约风险越高，投资收益率也应该越高。在美国债券市场上，联邦政府债 券的违约风险最低，地方政府债券的违约风险次低，AAA级的公司债券的违约风险较高，D级的公司债券违约风险最高。相应地，上述债券的收益率从低向高排列。但是，由

9、于地方 政府债券的利息收入可以免缴联邦政府收入所得税，所以，美国地方政府债券的投资收益 率低于联邦政府债券的收益率，而联邦政府债券的投资收益率又低于AAA级的公司债券的收益率。在公司债券中，投资级债券的投资收益率低于投机级债券的收益率。但由于违约风险的存在，债券承诺的到期收益率不一定能够实现，只是一种可能的最大收益率。故投资者更关注的是期望的到期收益率(expected yield to maturity)。例如，公司20年前发行的债券，面值为1000美元，息票率为9%(以半年计息)，还有10年到期。 公司陷入了财务困境，投资者预期公司可保证利息支付，但到期公司将被迫破产，投资者只能得到面值的

10、 70%则承诺的到期收益率为13.7%:75045451000(1 r)20(1 r)(120r)期望的到期收益率为11.6%:7504545700(1 r)20(1 r)(120r)如果公司保持了清偿力，有风险债券就会获得比无风险债券更高的实际收益率；如果 公司破产，则前者获得的收益率可能会低于后者。七.可转换性(Convertibility)可转换债券的持有者可用债券来交换一定数量的普通股股票。每单位债券可换得的股票股数称为转换率(con version ratio)，可换得的股票当前价值称为市场转换价值(marketcon version value)，债券价格与市场转换价值的差额称为转

11、换损益(con versionpremium)。例如，债券价格为 1000美元，转换率为 40,当前股价每股 20美元，此时，转换损失为 1000-40 20=200美元，投资者不会实行转换权。如果股价升至每股30美元，则转换收益为40 30-1000=200美元。可见，投资者可以从公司股票的升值中受益。所以，可转换债券息票率和承诺的到期收益率通常较低。但是，如果从转换中获利，则持有者的实际收益率会大于承诺的收益率。八.可延期性(Extendability)可延期债券是一种较新的债券形式。与可赎回债券相比，它给予持有者而不是发行者一种终止或继续拥有债券的权利。如果市场利率低于息票率，投资者将继

12、续拥有债券；反之， 如果市场利率上升，超过了息票率，投资者将放弃这种债券，收回资金，投资于其他收益率更高的资产。这一规定有利于投资者，所以可延期债券的息票率和承诺的到期收益率较低。表11-5债券属性与债券收益率债券属性与债券收益率的关系1.期限当市场利率调整时，期限越长，债券的价格波动幅度越大； 但是， 当期限延长时，单位期限的债券价格的波动幅度递减。2.息票率当市场利率调整时，息票率越低，债券的价格波动幅度越大。3.可赎回条款当债券被赎回时，投资收益率降低。所以，作为补偿，易被赎回 的债券的名义收益率比较高，不易被赎回的债券的名义收益率比较 低。4.税收待遇享受税收优惠待遇的债券的收益率比较

13、低，无税收优惠待遇的债券的收益率比较咼。5.流动性流动性高的债券的收益率比较低，流动性低的债券的收益率比较 高。6.违约风险违约风险高的债券的收益率比较高，违约风险低的债券的收益率比较低。7.可转换性可转换债券的收益率比较低，不可转换债券的收益率比较高。8.可延期性可延期债券的收益率比较低，不可延期的债券收益率比较高。表11-5是对本节内容的总结，综合了上述8方面的债券属性与债券价值分析之间的关系。第三节债券定价原理根据以上讨论，我们可以给出债券定价原理，并讨论与债券定价原理有关的债券的两个 特性：凸度(convexity)和久期(duration)。债券定价原理5个原理1。至今，这5个原理当

14、债券价格上升时，债2。1962年麦尔齐(B.G.Malkiel) 最早系统提出了债券定价的 仍然被视为债券定价理论的经典。定理一：债券的价格与债券的收益率成反比例关系。换句话说, 券的收益率下降；反之，当债券价格下降时，债券的收益率上升例一：某5年期的债券A,面值为1000美元，每年支付利息 80美元，即息票率为 8% 如果现在的市场价格等于面值，意味着它的收益率等于息票率8%如果市场价格上升到1100美元，它的收益率下降为 5.76%，低于息票率；反之，当市场价格下降到900美元时，它的收益率上升到10.98%，高于息票率。1000801 0.088051 0.08100050.081100

15、801 0.05768051 0.05761000510.05769008010.109880 1000510.10980.1098到期收益率与债券价格之间的关系请详见本书所附光盘中题为债券定价与久期的模1 Malkiel, B.G ., 1962, Expectations, Bond Prices, and the Term Structure of Interest RatesQuarterly Journal ofEconomics, pp.197-218.2可以通过对式(11.2)求导，证明定理dV dP dr drtcAT1 rT1)0。类似地，可以对定理二至定理四进行数学证明板。

16、定理二：当债券的收益率不变， 即债券的息票率与收益率之间的差额固定不变时，债券的到期时间与债券价格的波动幅度之间成正比关系。换言之，到期时间越长，价格波动幅度越大；反之，到期时间越短，价格波动幅度越小。这个定理不仅适用于不同债券之间的价格波动的比较，而且可以解释同一债券的期满时间的长短与其价格波动之间的关系。其中，债券之间的比较，在第二节的“到期时间”部分已经讨论过，详见表11-2。下面，分析定理二在同一债券中的运用。例二：某5年期的债券B,面值为1000美元，每年支付利息 60美元，即息票率为 6% 如果它的发行价格低于面值,为833.31美元，意味着收益率为9%,高于息票率；如果一年后，

17、该债券的收益率维持在9%勺水平不变，它的市场价格将为 902.81美元。这种变动说明了在维持收益率不变的条件下，随着债券期限的临近，债券价格的波动幅度从 116.69(1000-883.31) 美元减少到 97.19(1000-902.81) 美元，两者的差额为19.5美元，占面值的1.95%。具体计算公式如下：833.3160601000CC10.09510.09510.09902.81606010004410.0910.0910.09定理三：随着债券到期时间的临近，债券价格的波动幅度减少，并且是以递增的速度减少；反之，到期时间越长，债券价格波动幅度增加，并且是以递减的速度增加。这个定理同

18、样适用于不同债券之间的价格波动的比较，以及同一债券的价格波动与其到期时间的关系。 其中，不同债券之间的价格波动的比较，同样参见第二节的“到期时间”部分，详见表11-2。例三：沿用例二中的债券。假定两年后，它的收益率仍然为9%当时它的市场价格将为924.06美元，该债券的价格波动幅度为75.94(1000-924.06) 美元。与例二中的 97.19美元相比，两者的差额为21.25美元，占面值的比例为 2.125%。所以，第一与第二年的市场价格的波动幅度(1.95%)小于第二与第三年的市场价格的波动幅度(2.125%)。第二年后的市场价格计算公式为：924.066010.0960 1000310

19、.090.09定理四：对于期限既定的债券，由收益率下降导致的债券价格上升的幅度大于同等 幅度的收益率上升导致的债券价格下降的幅度。换言之，对于同等幅度的收益率变动， 收益率下降给投资者带来的利润大于收益率上升给投资者带来的损失。例四：某5年期的债券C,面值为1000美元，息票率为7%假定发行价格等于面 值，那么它的收益率等于息票率7%。如果收益率变动幅度定为1个百分点，当收益率上升到8%时，该债券的价格将下降到960.07美元，价格波动幅度为39.93美元（1000-960.07）;反之，当收益率下降1个百分点，降到 6%该债券的价格将上升到1042.12美元，价格波动幅度为42.12美元。很

20、明显，同样1个百分点的收益率变动，收 益率下降导致的债券价格上升幅度（42.12美元）大于收益率上升导致的债券价格下降幅度（39.93美元）。具体计算如下：1000701 0.07701000510.070.07960.07701 0.087051 0.08100050.081042.12701 0.0670100051 0.060.06定理五：对于给定的收益率变动幅度，债券的息票率与债券价格的波动幅度之间成反比关系。换言之，息票率越高，债券价格的波动幅度越小1在第二节的息票率部分，曾经分析过这种现象。下面再举一个例子。例五：与例四中的债券 C相比，某5年期的债券D,面值为1000美元，息票率

21、为 9%比债券C的息票率高2个百分点。如果债券 D与债券C的收益率都是7%那么债券 C的市场价格等于面值，而债券D的市场价格为1082美元，高于面值。如果两种债券的收益率都上升到8%它们的价格无疑都将下降，债券C和债券D的价格分别下降到960.07 美元和1039.93美元。债券 C的价格下降幅度为 3.993%，债券D的价格下降幅度为 3.889%。很明显，债券 D的价格波动幅度小于债券 G具体公式如下：债券C:1000707010001 0.07510.07510.07960.07707010001 0.0851 0.0851 0.08债券D1082909010001 0.07510.07

22、510.073定理五不适用于一年期的债券和统一公债为代表的无限期债券。1039.93909010001 0.0851 0.080.08二久期债券的久期（Duration）的概念最早是马考勒（F.R.Macaulay）1938 年提出的，所以又称 马考勒久期（简记为D） Macaulay, F.R.,1938, “ Some Theoretic Problems Suggested by the Movement of Interest Rates, Bond Yields and Stock Prices in the United States Since 1856” , National

23、Bureau of Economic Research ,Columb ia, New York。马考勒使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间，即马考勒久期。（一）马考勒久期的计算公式TPV（Ct） tD 12（ 11.6）B其中，D是马考勒久期，B是债券当前的市场价格，PV（ct）是债券未来第t期可现金流 （利息或本金）的现值，T是债券的到期时间。需要指出的是在债券发行时以及发行后，都可以计算马考勒久期。计算发行时的马考勒久期，T （到期时间）等于债券的期限；计算发行后的马考勒久期，T （到期时间）小于债券的期限。例如，某债券当前的市场价格为 950.25美元，收益率为10%息票率为8%

24、面值1000 美元，三年后到期，一次性偿还本金。该债券的有关数据详见表11-6。利用公式（11.6），可知：72.73 1 66.12 2 811.40 32639.172 年）950.25950.25表11-6马考勒久期计算举例未来现金流支付 时间，t未来现金流（美 元），c现值系数未来现金流的现值,PV（ct）现值乘以支付时 间，PV（ct） t180 美元0.909172.73美元72.73 美元280 美元0.826466.12美元132.23美元31080 美元0.7513811.40美元2434.21 美元加总950.25美兀2639.17 美元资料来源： W.F.Sharpe,

25、G.J.AIexander & J.V.BaileyInvestment ”，5 th edition. Table16.1,p 470, Prentice-Hall International ,Inc.1995.（二）马考勒久期定理5 关于马考勒久期（MD与债券的期限（T）之间的关系，存在以下 3个定理。定理一：只有贴现债券的马考勒久期等于它们的到期时间。由于该种债券以贴现方式发行，期间不支付利息，至懒一次性偿还本金。所以，它的市 场价格应该等于到期偿还的本金的现值，即：D 晋 T 1T T(11.7 )其中，Ct是第T期偿还的本金，PV（ct）是相应的现值。定理二：直接债券的马考勒久期小

26、于或等于它们的到期时间。只有仅剩最后一期就要期满的直接债券的马考勒久期等于它们的到期时间，并等于1，即：TPV(ct) tDBpv（g）1PVG)BPV(Ct)B(11.8 )定理三：统一公债的马考勒久期等于1 1 r，其中r是计算现值采用的贴现率，即：1D 1（11.9 ）r定理四：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。息票率越高，早期支付的现金流的权重越大，加权平均的到期时间自然就越短。定理五：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期一般也越长。对于平价和溢价的债券而言，到期时间越长，久期也越长，这是显而易见的。令我们感到意外的是，处于严重折价状态的债券，到期时间越长，久期可能反而

27、越短。定理六：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。这是因为到期收益率越低， 远期支付的现金流价值相对越大，其在债券总价值中占的权重也越大。（三）马考勒久期与债券价格的关系计算久期的主要目的之一就是要找出久期、到期收益率与债券价格三者之间的关系。5 Francis, J.C., 1986, “Investments: Analysis and Management th edit”n,4McGraw-Hill Book Company, Box11-1, pp. 297.假设现在是0时刻，债券持有者在ti时刻收到的支付为 Ci （ K i W n）, 则债券价格P和连续复利到

28、期收益率 y的关系为:Cie yti1(11.10)由此可得:nCi tie ytii 1(11.11)而债券久期的定义可以相应改写为:ntiCie ytiD 丄 Pncie yti1十i 1 P(11.12)将（11.12 ）代入（11.11 ）得:PD整理得:(11.13)公式（11.13）说明，债券价格的变动比例等于久期乘到期收益率微小变动量的负数。y表示收益率曲线的微小平移。上述分析是在到期收益率为连续复利收益率的基础上得出的。如果到期收益率为一年计一次复利的收益率（y），则：PP 1 y(11.14 )这是因为根据第五章有关连续复利利率（y）与一年计一次复利利率 （y）之间的关系,我

29、们有:y ln(1 y)dydy代入（11.13 ）即可得到（11.14 ）。为了与（11.13 ）保持一致，更主要是为了方面起见，当收益率采用一年计一次复利的形式时，人们常用修正的久期（Modified Duration,用D表示）来代替久期。修正的久期定义为：(11.15)将（11.15 ）代入（11.14 ）得：P*d y(11.16 )P式（11.16 ）表明，对于给定的收益率变动幅度，修正的久期越大，债券价格的波动率越 大6。这样我们就可以用久期近似估计收益率变动与价格变动率关系之间的关系：P yD y（ 11.17）P如何运用久期的概念来计算收益率变动与价格变动率之间的关系请详见本

30、书所附光盘中题为“债券久期”的 EXCEL莫板。应该注意的是，用久期（或修正的久期）来考察收益率变动与价格变动之间的关系只是 一种近似的计算，这是因为久期计算法没有考虑债券的凸度。二凸度1 2P债券的凸度（Convexity）是指债券价格变动率与收益率变动关系曲线的曲度。从公式 （11.16 ）可以看出，久期实际上等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格。 我们可以把债券的凸度（C）类似地定义为债券价格对收益率二阶导数除以价格，即：(11.18 )6对于一年计m次复利的收益率而言，公式（11.14）变为:PPD y1 y/ m而公式（11.15 ）也相应变为：D1 y/m在现实生活中，债券价格变动率和收益率变动之间的关系并不是线性关系， 关系。如果我们只用久期来估计收益率变动与价格变动率之间的关系，那么从公式可以看出，收益率上升或下跌一个固定的幅度时，价格下跌或上升的幅度是一样的。而是非线性（11.17）显然这q?苗率闿吐i啊借与事实不符。图11-5价格敏感度与凸度的关系在图11-5中，A直线表示用久期近似计算的收益率变动与价格变动率的关系，线分别表示不同凸度的收益率变动幅度与价格变动率之间的真实关系，其中C的凸度大于B。从图11-5可以看出，当收益率下降时，价格的实际上