椭圆及其标准方程

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1、椭圆及其标准方程徐 永 生一、教学目标分析1知识与技能目标：理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高等式变形能力。2过程与方法目标：经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力；巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程；具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识。3情感态度价值观目标：充分发挥在学习中的主体地位，通过活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，形成研究氛围和合作意识；重视知识的形成过程教学，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣；通过对椭圆定义的严密化，形成扎实

2、严谨的科学作风；通过经历椭圆方程的化简,增强战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美；利用椭圆知识解决实际问题，感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心。二、重、难点重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用关键：含有两个根式的等式化简三、教法分析倡导学生自主学习，教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程。本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照“创设情境学生实验意义建构形成理论知识应用回顾反思巩固提高”的程序设计教学过程，并以

3、多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人四、教学过程设计（一）创设情境提出问题用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌面上，截面为圆形当端起水杯喝水时，水杯倾斜，再观察水平面，此时截面为椭圆形看来，椭圆是与圆有着密切关系的一种曲线圆是到定点距离等于定长的点的轨迹，根据圆的定义，用一根细绳就可画出一个圆将细绳的一贯固定在黑板上，在另一端系上一支粉笔，将细绳绷紧并绕固定端点旋转一周即可将圆心从一点“分裂”成两点，将细绳的两端固定在这两点，用粉笔挑起细绳并绷紧，移动粉笔，可画出什么图形？设计意图：使学生产生学

4、习兴趣和探索欲望（二）学生实验体验数学1学生通过动手实践、观察，猜想轨迹为椭圆2展示学生成果3动态演示动点生成轨迹的全过程，印证猜想4展示椭圆实际应用的幻灯片5导出新课：看来，大家对椭圆并不陌生，但细想想，我们对椭圆也说不上有多熟悉，除了“她”的名字和容貌，我们对“她”的品性几乎还一无所知数学是一门严谨的科学，我们不能满足于直观感受、浅尝辄止，我们希望对椭圆有更深刻的认识，比如：椭圆上所有的点所具有的共同的几何特征是什么？椭圆的定义；能否用代数方法精确地刻画出这种共同的几何特征？椭圆的标准方程这就是我们这节课的重点内容设计意图：从学生实验中导出新课，明确研究课题（三）意义建构感知数学椭圆定义的

5、初步生成学生每2人一组，合作探究，教师巡视指导请学生代表本小组交流探究结论：根据椭圆画法，从中归纳椭圆定义与两个定点的距离之和为定长（绳长）的点的轨迹为椭圆（绳长大于两定点间距离）（四）形成理论建立数学1椭圆定义的完善提出问题：要想用上面那句话作为椭圆的定义，要保证它足够严密、经得起推敲那么，这个常数可以是任意正实数吗？有什么限制条件吗？引导学生回答：在“定义”中需要加上“常数”的限制。继续深化问题：若常数=或常数,情况会发生什么变化？应用平面几何中的“三角形任意两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”为理论依据，得出结论：当常数=时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是线段；当常数时，

6、与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹不存在请学生给出经过修改的椭圆定义，教师用幻灯片给出完善的椭圆定义，并介绍焦点、焦距的定义设计意图：使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风2椭圆的标准方程(1)回顾用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤：建系设点、写出动点满足的几何约束条件、坐标化、化简、证明等价性(2)建立焦点在轴上的椭圆的标准方程建系设点：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？利用椭圆的对称性特征以直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系设焦距为，则设为椭圆上任意一点，点与点的距离之和为动点满足的几何约束条件:

7、 坐标化：化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号预案一：移项后两次平方法分析的几何含义，令得到焦点在轴上的椭圆的标准方程为预案二：用等差数列法：设得4cx=4at，即t=将t=代入式得将式两边平方得出结论。以下同预案一预案三：三角换元法：设得即即代入式得以下同预案一 设计意图：进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神，感受数学的简洁美、对称美(3)建立焦点在轴上的椭圆的标准方程 要建立焦点在轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何去做？此时要借助于化归思想，抓住图(1)与图(2)的联

8、系即可化未知为已知，将已知的焦点在轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在轴上的椭圆的标准方程只需将图(1)沿直线翻折或将图(1)绕着原点按逆时针方向旋转即可转化成图(2)，需将轴、轴的名称换为轴、轴或轴、轴 （1） （2）焦点在轴上的椭圆的标准方程为设计意图：体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复劳动(4)辨析焦点分别在轴、轴上的椭圆的标准方程的异同点区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较与项分母的大小即可若项分母大，则焦点在轴上；若项分母大，则焦点在轴上反之亦然联系：它们都是二元二次方程，共同形式为两种情况中都有（五）数学应用巩固新知例1：判断分别满足下列条件的动点M的轨迹是否为椭圆（1）到点

9、和点的距离之和为6的点的轨迹；（是）（2）到点和点的距离之和为4的点的轨迹；（不是）（3）到点和点的距离之和为6的点的轨迹；（是）（4）到点和点的距离之和为4的点的轨迹；（不是）探究一：已知椭圆的方程为： ，则a_，b_，c_， 焦点坐标为：_ 、_，焦距等于_。如果曲线上一点P到焦点F1的距离为8，则点P到另一个焦点F2的距离等于_。设计意图：巩固椭圆定义例2：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点M到的距离之和为4，求该椭圆的标准方程设计意图：学会用待定系数法求椭圆标准方程变式一：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点M到的距离之和为4，求该椭圆的标准方程设计意图：提醒学生在解题时

10、先要根据焦点位置判断使用哪种形式的椭圆标准方程变式二：已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆经过点，求该椭圆的标准方程设计意图：使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用（六）回顾反思归纳提炼1一个知识点：椭圆的定义及其标准方程2两种数学方法：用坐标化的方法求动点轨迹方程3三种数学思想：数形结合思想、化归思想、不怕困难的思想设计意图：在总结时采用“一个知识点、两种方法、三种思想”的方式，目标明确，重点清晰，易于掌握所学内容，构建知识链。（七）课后作业，巩固提高1练习册：椭圆及其标准方程2思考题：(1)在化简椭圆方程的过程中有成立，该式有什么几何含义?你能从函数观点看待等式右端的代数式吗？你能用函数单调性解释椭圆上的点与焦点间距离的变化情况吗？设计意图：为引入椭圆焦半径公式作适当铺垫，为学习椭圆的几何性质做铺垫，也体现数学知识之间的联系，培养学生养成深入思考的习惯