2023年高中数学必修直线与平面的位置关系知识点总结与练习

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1、第三节空间点、直线、平面间的位置关系知识能否忆起一、平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl，且Pl二、空间直线的位置关系1位置关系的分类2平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行3等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面

2、直线a与b所成的角(2)范围：.三、直线与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数直线l在平面内l无数个直线l与平面相交lA一个直线l与平面平行l0个四、平面与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数两个平面平行0个两个平面相交l无数个(这些公共点均在交线l上)1.三个公理的作用(1)公理1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件(3)公理3的作用：判定两平面相交；作两相交平面的交线；证明多点共线2异面直线的有关问题(1)判定方法：反证法；利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与

3、平面内不过该点的直线是异面直线，如图(2)所成的角的求法：平移法平面的基本性质及应用典题导入例1(2012湘潭模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：CE，D1F，DA三线共点自主解答EF綊CD1，直线D1F和CE必相交设D1FCEP，PD1F且D1F平面AA1D1D，P平面AA1D1D.又PEC且CE平面ABCD，P平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点而平面ABCD平面AA1D1DAD.PAD.CE、D1F、DA三线共点本例条件不变试证明E，C，D1，F四点共面证明：E，F分别是AB和AA1的中点，EF綊A1B.又A1

4、D1綊B1C1綊BC.四边形A1D1CB为平行四边形A1BCD1，从而EFCD1.EF与CD1确定一个平面E，C1，F，D四点共面由题悟法1证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上2证明点或线共面问题一般有以下两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合以题试法1(1)(2012江西模拟)在空间中，下列命题正确的是()A对边相等的四边形一定是平面图形B四边相等的四边形一定是平面图形C有一组对边平行的四边形一定是平面图形D有一组对角相等的四边形一定是平面图形(

5、2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)相对棱AB与CD所在直线异面；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点解析：(1)由“两平行直线确定一个平面”知C正确(2)由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故正确；由顶点A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是BCD的三条高线的交点，故错误；当DADB，CACB时，这两条高线共面，故错误；设AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为

6、平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故正确答案：(1)C(2)异面直线的判定典题导入例2(2012金华模拟)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)自主解答图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以图中GH与MN异面答案由题悟法1异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，

7、经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到2客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线以题试法2已知m，n，l为不同的直线，为不同的平面，有下面四个命题：m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交m，n为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n都平行的平面，l，m，n，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直；m，n是内两相交直线，则与相交的充要条件是m，n至少有一条与相交则四个结论中正确的个数为()A1B2C3 D4解析：选B错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当

8、点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时， 就不满足结论；正确，否则，若mn，在直线m上取一点作直线al，由，得an.从而有n，则nl；正确异面直线所成角典题导入例3(2012大纲全国卷)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为_自主解答连接DF，则AEDF，D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角设正方体棱长为a，则D1Da，DFa，D1Fa，cosD1FD.答案由题悟法求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下：(1)一作：即找或作平行线，作出异面

9、直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角以题试法3(2012唐山模拟)四棱锥PABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析：选B如图所示，因为四边形ABCD为正方形，故CDAB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角PAB，在PAB内，PBPA，AB2，利用余弦定理可知：cos PAB.小题能否全取1(教材习题改编)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A异面B相交

10、C不可能平行 D不可能相交解析：选C由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab.与a，b是异面直线相矛盾2(2012东北三校联考)下列命题正确的个数为()经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A0 B1C2 D3解析：选C错误，正确3已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是()AABCDBAB与CD异面CAB与CD相交DABCD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：选D若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直

11、线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线4(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为_解析：连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.答案：605(教材习题改编)平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为_解析：如图，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有5条答案：5第四节直线、平

12、面平行的判定及性质知识能否忆起一、直线与平面平行1判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行 a2性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 ab二、平面与平面平行1判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 2两平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ab1. 平行问题的转化关系：判定性质2在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维

13、”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”3辅助线(面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用线面平行、面面平行的基本问题典题导入例1(2011福建高考)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_自主解答因为直线EF平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C平面ABCDAC，所以EFAC.又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EF

14、AC.又因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，所以AC2.所以EF.答案本例条件变为“E是AD中点，F，G，H，N分别是AA1，A1D1，DD1与D1C1的中点，若M在四边形EFGH及其内部运动”，则M满足什么条件时，有MN平面A1C1CA.解：如图，GN平面AA1C1C，EG平面AA1C1C，又GN EGG，平面EGN平面AA1C1C.当M在线段EG上运动时，恒有MN平面AA1C1C.由题悟法解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(3)举反例否定结论或

15、用反证法推断命题是否正确以题试法1(1)(2012浙江高三调研)已知直线l平面，P，那么过点P且平行于直线l的直线()A只有一条，不在平面内B有无数条，不一定在平面内C只有一条，且在平面内D有无数条，一定在平面内解析：选C由直线l与点P可确定一个平面，且平面，有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l，所以lm，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面内(2)(2012潍坊模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，表示平面若m，n，l1，l2，l1l2M，则的一个充分条件是()Am且l1Bm且nCm且nl2 Dml1且nl2解析：选D由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与

16、另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知.直线与平面平行的判定与性质典题导入例2(2012辽宁高考)如图，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABAC，AA1，点M，N分别为AB和BC的中点(1)证明：MN平面AACC；(2)求三棱锥AMNC的体积(锥体体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高)自主解答(1)证明：法一：连接AB、AC，因为点M，N分别是AB和BC的中点，所以点M为AB的中点又因为点N为BC的中点，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，因此MN平面AACC.法二：取AB的中点P.连接MP.而点M，N分别为AB与BC的中点，所以MPAA，PNAC.所以

17、MP平面AACC，PN平面AACC.又MPPNP，因此平面MPN平面AACC.而MN平面MPN，因此MN平面AACC.(2)法一：连接BN，由题意得ANBC，平面ABC平面BBCCBC，所以AN平面NBC.又ANBC1，故VAMNCVNAMCVNABCVANBC.法二：VAMNCVANBCVMNBCVANBC.由题悟法利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线以题试法2(2012淄博模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BD，

18、BB1的中点(1)求证：EF平面A1B1CD；(2)求证：EFAD1.解：(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，连接B1D，在平面BB1D内，E，F分别为BD，BB1的中点，EFB1D.又B1D平面A1B1CD.EF平面A1B1CD，EF平面A1B1CD.(2)ABCDA1B1C1D1是正方体，AD1A1D，AD1A1B1.又A1DA1B1A1，AD1平面A1B1D.AD1B1D.又由(1)知，EFB1D，EFAD1.平面与平面平行的判定与性质典题导入例3如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AEFC1B1G1，H是B1C1的

19、中点(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH平面BED1F.自主解答(1)在正方形AA1B1B中，AEB1G1，BGA1E2，BG綊A1E.四边形A1GBE是平行四边形A1GBE.又C1F綊B1G，四边形C1FGB1是平行四边形FG綊C1B1綊D1A1.四边形A1GFD1是平行四边形A1G綊D1F.D1F綊EB.故E，B，F，D1四点共面(2)H是B1C1的中点，B1H.又B1G1，.又，且FCBGB1H90，B1HGCBF.B1GHCFBFBG.HGFB.GH面FBED1，FB面FBED1，GH面BED1F.由(1)知A1GBE，A1G面FBED1，BE面FBED1，A

20、1G面BED1F.且HGA1GG，平面A1GH平面BED1F.由题悟法常用的判断面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(，)；(3)利用线面垂直的性质(l，l)以题试法3(2012北京东城二模)如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MBNC，MNMB.(1)求证：平面AMB平面DNC；(2)若MCCB，求证：BCAC.证明：(1)因为MBNC，MB平面DNC，NC平面DNC，所以MB平面DNC.又因为四边形AMND为矩形，所以MADN.又MA平面DNC，DN平面DNC.所以MA平面DNC.又MAMBM，且MA，MB平面AMB，所以平面AM

21、B平面DNC.(2)因为四边形AMND是矩形，所以AMMN.因为平面AMND平面MBCN，且平面AMND平面MBCNMN，所以AM平面MBCN.因为BC平面MBCN，所以AMBC.因为MCBC，MCAMM，所以BC平面AMC.因为AC平面AMC，所以BCAC.小题能否全取1(教材习题改编)下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是()A一个平面内的一条直线平行于另一个平面B一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：选D由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确2已知直线

22、a，b，平面，则以下三个命题：若ab，b，则a；若ab，a，则b；若a，b，则ab.其中真命题的个数是()A0B1C2 D3解析：选A对于命题，若ab，b，则应有a或a，所以不正确；对于命题，若ab，a，则应有b或b，因此也不正确；对于命题，若a，b，则应有ab或a与b相交或a与b异面，因此也不正确3(教材习题改编)若一直线上有相异三个点A，B，C到平面的距离相等，那么直线l与平面的位置关系是()Al BlCl与相交且不垂直 Dl或l解析：选D由于l上有三个相异点到平面的距离相等，则l与可以平行，l时也成立4平面平面，a，b，则直线a，b的位置关系是_解析：由可知，a，b的位置关系是平行或异面

23、答案：平行或异面5(2012衡阳质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_解析：如图连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OEBD1，而OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1平面ACE.答案：平行第五节直线、平面垂直的判定与性质知识能否忆起一、直线与平面垂直1直线和平面垂直的定义直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直2直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面

24、b3直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab二、平面与平面垂直1平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直2平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 l1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：2在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理3几个常用的结论：(1)

25、过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直垂直关系的基本问题典题导入例1(2012襄州模拟)若m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，给出下列命题：若m，n都平行于平面，则m，n一定不是相交直线；若m、n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线；已知，互相垂直，m，n互相垂直，若m，则n；m，n在平面内的射影互相垂直，则m，n互相垂直其中的假命题的序号是_自主解答显然错误，因为平面平面，平面内的所有直线都平行，所以内的两条相交直线可同时平行于；正确；如图1所示，若l，且nl，当m时，mn，但n，所以错误；如图2显然当mn时，m不垂直于n，所以错

26、误答案由题悟法解决此类问题常用的方法有：依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；否定命题时只需举一个反例寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选以题试法1(2012长春模拟)设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题：若ab，a，b，则b；若a，a，则；若a，则a或a；若ab，a，b，则.其中正确命题的个数为()A1B2C3 D4解析：选D对于，由b不在平面内知，直线b或者平行于平面，或者与平面相交，若直线b与平面相交，则直线b与直线a不可能垂直，这与已知“ab”相矛盾，因此正确对于，由a知，在平面内必存在直线a1a，又a，所以有a1，所以，正确对于，若直线

27、a与平面相交于点A，过点A作平面、的交线的垂线m，则m，又，则有am，这与“直线a、m有公共点A”相矛盾，因此正确对于，过空间一点O分别向平面、引垂线a1、b1，则有aa1，bb1，又ab，所以a1b1，所以，因此正确综上所述，其中正确命题的个数为4.直线与平面垂直的判定与性质典题导入例2(2012广东高考)如图所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是DC上的点且DFAB，PH为PAD中AD边上的高(1)证明：PH平面ABCD；(2)若PH1，AD，FC1，求三棱锥EBCF的体积；(3)证明：EF平面PAB.自主解答(1)证明：因为AB平面PAD，P

28、H平面PAD，所以PHAB.因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD.因为PH平面ABCD，ABADA，AB，AD平面ABCD，所以PH平面ABCD.(2)如图，连接BH，取BH的中点G，连接EG.因为E是PB的中点，所以EGPH，且EGPH.因为PH平面ABCD，所以EG平面ABCD.因为AB平面PAD，AD平面PAD，所以ABAD.所以底面ABCD为直角梯形所以VEBCFSBCFEGFCADEG.(3)证明：取PA中点M，连接MD，ME.因为E是PB的中点，所以ME綊AB.又因为DF綊AB，所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EFMD.因为PDAD，所以MDPA.因为A

29、B平面PAD，所以MDAB.因为PAABA，所以MD平面PAB，所以EF平面PAB.由题悟法证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理(2)利用判定定理的推论(ab，ab)(3)利用面面平行的性质(a，a)(4)利用面面垂直的性质当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面以题试法2(2012启东模拟)如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：MNCD；(2)若PDA45，求证：MN平面PCD.证明：(1)连接AC，AN，BN，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N为PC中点，ANPC.PA平面ABCD，PABC，又BCA

30、B，PAABA，BC平面PAB.BCPB.从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中线，BNPC.ANBN.ABN为等腰三角形，又M为AB的中点，MNAB，又ABCD，MNCD.(2)连接PM，MC，PDA45，PAAD，APAD.四边形ABCD为矩形，ADBC，APBC.又M为AB的中点，AMBM.而PAMCBM90，PAMCBM.PMCM.又N为PC的中点，MNPC.由(1)知，MNCD，PCCDC，MN平面PCD.面面垂直的判定与性质典题导入例3(2012江苏高考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B

31、1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.自主解答(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又A

32、D平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.由题悟法1判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义(2)面面垂直的判定定理(a，a)2在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直以题试法3(2012泸州一模)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，Q为AD的中点(1)若PAPD，求证：平面PQB平面PAD；(2)若点M在线段PC上，且PMtPC(t0)，试确定实数t的值，使得PA平面MQB.解：(1)因为PAPD，Q为AD的中点，所以PQAD.连接BD，因为四边形ABC

33、D为菱形，BAD60，所以ABBD.所以BQAD.因为BQ平面PQB，PQ平面PQB，BQPQQ，所以AD平面PQB.因为AD平面PAD，所以平面PQB平面PAD.(2)当t时，PA平面MQB.证明如下：连接AC，设ACBQO，连接OM.在AOQ与COB中，因为ADBC，所以OQAOBC，OAQOCB.所以AOQCOB.所以.所以，即.由PMPC，知，所以，所以APOM.因为OM平面MQB，PA平面MQB，所以PA平面MQB.小题能否全取1(教材习题改编)已知平面，直线l，若，l，则()A垂直于平面的平面一定平行于平面B垂直于直线l的直线一定垂直于平面C垂直于平面的平面一定平行于直线lD垂直于

34、直线l的平面一定与平面、都垂直解析：选DA中平面可与平行或相交，不正确B中直线可与垂直或斜交，不正确C中平面可与直线l平行或相交，不正确2.(2012厦门模拟)如图，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()AA1DBAA1CA1D1 DA1C1解析：选D易知A1C1平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D，A1C1B1O.3已知，是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A若m，n，则mnB若m，mn，则nC若m，n，则mnD若，n，mn，则m解析：选C对于选项A，若m，n，则mn，或m，n是异面直线，所以A错误；对于

35、选项B，n可能在平面内，所以B错误；对于选项D，m与的位置关系还可以是m，m，或m与斜交，所以D错误；由面面垂直的性质可知C正确4.如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_解析：由线面垂直知，图中直角三角形为4个答案：45(教材习题改编)如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB.则下列命题正确的有_PAAD；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；直线PD与平面ABC所成角为30.解析：由PA平面ABC，PAAD，故正确；中两平面不垂直，中AD与平面PAE相交，BCAD，故不正确；中PD与平面ABC所成角为45.答案：高考真题（19）（

36、2012安徽）如图，长方体中，底面是正方形，是的中点，是棱上任意一点。（）证明： ；（）如果=2,=,=, 求 的长.19.（）本题考察空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判定，利用勾股定理求线段的长等基础知识和基本技能，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.（）证明：连接AC，A1B1. 由底面是正方形知，BDAC. 因为AA1平面ABCD，BD平面ABCD,所以AA1BD. 又由AA1AC=A,所以BD平面AA1C1C. 再由EC1平面AA1C1C知，BDEC1. 第 （19）题图（）解：设AA1的长是h，连接OC1 . 在RtOAE中，AE=，AO= 故. 在RtEA

37、1C1中，故. 在RtOCC1中,，.因为，所以，即，解得，所以的长为.（18）（2013安徽）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.已知 .（）证明：（）若为的中点，求三菱锥的体积.【解析】（1）证明：连接交于点 又是菱形 而 面 (2) 由（1）面 = 【考点定位】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，.三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力.（19）（2011安徽）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形。（）证明直线；（）求棱锥的体积.（19）（本小题满分13分）本题考查空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的

38、位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力. （I）证明：设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于OAB与ODE都是正三角形，所以=，OG=OD=2，同理，设是线段DA与FC延长线的交点，有又由于G和都在线段DA的延长线上，所以G与重合.=在GED和GFD中，由=和OC，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是GEF的中位线，故BCEF. （II）解：由OB=1，OE=2，而OED是边长为2的正三角形，故所以过点F作FQDG，交DG于点Q，由平面ABED平面ACFD知，FQ就是四棱锥FOBED的高，且FQ=，所以(19) (2010安徽)如

39、图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H为BC的中点，()求证：FH平面EDB;（）求证：AC平面EDB; （）求四面体BDEF的体积；（本小题满分13分）本题考查空间线面平行，线面垂直，面面垂直，体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力与推理论证能力.() 证：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点. 连EG，GH，由于H为BC的中点，故GHAB且 GH=AB 又EFAB且 EF=ABEFGH. 且 EF=GH 四边形EFHG为平行四边形.EGFH，而EG 平面EDB，FH平面EDB.（）证：由四边形ABCD为正

40、方形，有ABBC.又EFAB， EFBC. 而EFFB， EF平面BFC， EFFH. ABFH.又BF=FC H为BC的中点，FHBC. FH平面ABCD. FHAC. 又FHEG， ACEG. 又ACBD，EGBD=G， AC平面EDB.（）解： EFFB，BFC=90， BF平面CDEF. BF为四面体B-DEF的高. 又BC=AB=2, BF=FC= 20）09安徽如图，ABCD的边长为2的正方形，直线与平面ABCD平行，E和F是上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC, 和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直，ABCDEF第20题图（1）证明：直线垂直且平分线段AD：（2）

41、若EAD=EAB,EF2,求多面体ABCDEF的体积。解：由且面ABCD点在线段AD的垂直平分线上，同理点在线段BC 的垂直平分线上，又ABCD是正方形线段BC 的垂直平分线就是线段AD的垂直平分线，即点、都在线段AD的垂直平分线，所以直线垂直且平分线段AD。（2）连接EB、EC。由题设知，多面体ABCDEF可分割成正四棱锥EABCD和正四面体EBCF两部分。设AD的中点为M，在RtMEE/中，由于ME/=1，ME=，EE/=又多面体ABCDEF的体积为。（19）（08安徽如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，, , ,为的中点。（）求异面直线AB与MD所成角的大小；（）求点B到平面OCD

42、的距离。1 方法一（综合法）（1） 为异面直线与所成的角（或其补角）作连接，所以 与所成角的大小为（）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 于点Q，又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，所以点B到平面OCD的距离为（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点()证明：平面BDC1平面BDC（）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC平面ABCD；（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。