最新0773高中数学课程标准导读复习思考题答案优秀名师资料

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1、（0773）高中数学课程标准导读复习思考题答案0773 1 ?纵观近代科学技术的发展，可以看到数学科学是使科学技术取得重大进展的一个重要因素，同时它提出了大量的富有创造性并卓有成效的思想。本世纪的数学成就，可以归入数学史上最深刻的成就之列，它们已经成为我们这个工业技术时代发展的基础。数学科学的这些发展，已经超出了它们许多实际应用的范围，而可载入人类伟大的智力成就的史册。 ?数学科学是集严密性、逻辑性、精确性和创造力与想象力于一身的一门科学。这个领域已被称作模式的科学。其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。无论是探讨心脏中的血液流动这种实际的问题还是由于探讨数论

2、中各种形态的抽象问题的推动，数学科学家都力图寻找各种模型来描述它们，把它们联系起来，并从它们作出各种推断。部分地说，数学探讨的目的是追求简单性，力求从各种模型提炼出它们的本质。 2 根据教育部副部长王湛建立具有中国特色的基础教育体系的报告，新课改立足与解决以下主要问题： 1）明确区分义务教育与非义务教育，建立合理的课程结构，更新课程内容。义务教育面向每一个学生，课程标准应是绝大多数学生都能够达到的教学目标。课程内容应是基础性的，不应被任意扩大、拔高。 2）突出学生的发展，科学制定课程标准。传统的教学大纲以学科的内容体系来表述课程的知识点和教学要求。课程标准不但对于知识内容、技能和能力有具体要求

3、，而且对于学生学习课程的情感态度、价值观、教学的过程方法等方面也都有明确要求。 3）加强学生思想品德教育的针对性和实效性。课程中渗透德育，培养学生的爱国主义精神、对科学热爱和不断追求的精神。 4）以创新精神和实践能力的培养为重点，建立新的教学方式，促进新的学习方式的变革。新课程强调教学过程中师生互动，正确处理知识传授与能力培养的关系。注重培养学生自主性和独立性，引导学生质疑、调查、探究，采用自主生动的学习方式。 5）建立促进学生发展、教师提高的课程评价体系。评价功能从注重甄别与选拔转向激励、反馈与调整；评价内容从过分注重学业成绩转向注重多方面发展的潜能；评价主体从单1 一转向多元；评价角度从终

4、结性转向过程性、发展性，更加关注学生的个别差异；探求新的评价方式，使得这些方式更具有可操作性、方法简明易行，第一线教师容易便于使用。 6）建立国家、地方、学校三级课程管理模式，提高课程的适应性，满足不同的地方、学校和学生的需要。继续完善基础教育由地方负责、分级管理的体制。 3 根据教育部国家基础教育课程改革指导纲要基础教育课程改革的具体目标：改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，使获得基础知识与基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程。 改变课程结构过于强调学科本位、科目过多和缺乏整合的现状，整体设置九年一贯的课程门类和课时比例，并设置综合课程，以适应不同地区

5、和学生发展的需求，体现课程结构的均衡性、综合性和选择性。 改变课程内容“繁、难、偏、旧”和过于注重书本知识的现状，加强课程内容与学生生活以及现代社会和科技发展的联系，关注学生的学习兴趣和经验，精选终身学习必备的基础知识和技能。 改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。 改变课程评价过分强调甄别与选拔的功能，发挥评价促进学生发展、教师提高和改进教学实践的功能。 改变课程管理过于集中的状况，实行国家、地方、学校三级课程管理，增强课程对地方、学校及学生的适应

6、性。 4 ?与以往的高中数学课程相比，新课标之下的数学课程突出课程内容的基础性与选择性。高中数学课程标准要求，高中教育属于基础教育。高中数学课程应具有基础性，它包括两个方面的含义：第一，在义务教育阶段之后，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；第二，为学生进一步学习提供必要的数学准备。高中数学课程由必修系列课程和选修系列课程组成，必修系列课程是为了满足所有学生的共同数学需求；选修系列课程是为了满足学生的不同数学需求，它仍然是学生发展所需2 要的基础性数学课程。高中数学课程应具有多样性与选择性，使不同的学生在数学上得到不同的发展。高中数学课程应为学生提供选

7、择和发展的空间，为学生提供多层次、多种类的选择，以促使学生的个性发展和对未来人生规划的思考。学生可以在教师的指导下进行自主选择，必要时还可以进行适当的转换、调整。同时，高中数学课程也应给学校和教师留有一定的选择空间，他们可以根据学生的基本需求和自身条件，制订课程发展计划，不断地丰富和完善供学生选择的课程。 ?高中数学课程分必修课与选修课。必修课程由5个模块组成。选修课程分4个系列：系列1、2是必选课。其中系列1是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生设立的；系列2是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生设立的。系列3、4是任选课，是为对于数学兴趣高并希望进一步学习更多数学知识的学生而设立的

8、，内容反映的某一方面重要的数学思想，有助于学生进一步打好数学基础、提高数学素养、提高应用意识，有利于扩展数学视野，更多地了解数学的价值。 ?设置了数学探究、数学建摸、数学文化的内容。此类内容不设专门章节，而是渗透到各章节、各模块内容中。但是建议在高中阶段至少要安排学生进行一次比较完整的数学探究活动、一次数学建摸活动。“数学文化”是一个抽象的概念，它通过具体的数学内容教学、通过解决数学问题的方法、途径，使学生在更加深入地理解数学本质的基础上逐渐地产生某些普遍性的数学观念、形成一种可以指导更广泛范围内的思想模式与行为规范。这部分内容的教学，对于教师有更高的要求。 2 1.已知f(x)=(m-1)x

9、+1-lg(m)x+1是偶函数，求f(10)、f(-3.1)、f(2)的大2小顺序。2已知f(x)=ax+bx+c(a0)对任意x都有f(2-x)= f(2+x),求解不等式flg 22(x+x+1/2)b?c，则 （1）b+ca（三角形两边之和大于第三边）； sss（2）存在实数s1使a,b，c； （3）,ABC是锐、直、钝角三角形当且仅当s2、s=2、s2（分别）。 bcss证明 （2）因为b/a，c/a时log2,log2aaaabcbcsssssf(s),0(),()a,b，c1使。 aa（3）若s2，则 s,2222s,222ssa(b，c,a)a(b，c),(b，c)= 2s,2s

10、,22s,2s,2=b(a,b)，c(a,c),0 222故，于是cosA0, A是锐角。但A是,ABC的最大角，因此ABC是锐角b，c,a,0三角形。同样地若s1使a,b，c使得,ABC是锐、直、钝角三角形当且仅当s2、s=2、s2（分别）。这个定理将“三角形两边之和大于第三边”、“勾股定理”及“锐、直、钝角判定定理”统一起来。 由此可见表面上看起来难以联系在一起的两个数学问题之间居然存在如此密切的联系，现代数学中还有更加丰富的结果说明不同数学问题之间令人难以置信的关联，也是现代数学令人神往的地方。 10 新课标对教师的知识结构提出了新的要求，系列3、4的选修课程涉及大量的以往高中数学课程中

11、没有的知识。对称与群，欧拉公式与必曲面分类，三等分角与数域扩充，初等数论与密码，球面几何，矩阵与变换，统筹法与图论，等等。这些知识虽然都是大学数学专业能够覆盖的，但是如何在中学阶段、在中学生的知识背景和理解能力的条件之下实施课程教学，这是非常值得研究和探讨的问题。越是复杂高深的知识在知识背景比较浅近的人群之内传播，对于教师本人在知识理解和讲授方法方面的要求越高。从这个意义上说，对中学生讲授高等数学比在大学对数学专业的学生讲授高等数学，教师所面临的困难更大。 另外，新课程的教学法提倡启发式、探究式教学，这样的教学方式也对教师的知识和能力提出了更高的要求。我们认为教学中的探究与真正的数学研究没有本

12、质的区别，我们难以想象完全缺乏研究能力的教师能够启发学生进行探究性学习。 9 11 几何的直观性是一个有目共睹的事实，由于几何的直观性，使得几何在数学中（即使在数学家正在研究的高深的数学中）具有非常重要的地位。下面我们引用当代伟大的数学家Michael Atiyah（1929，英国皇家学会会员，法国科学院、美国科学院、瑞典科学院外籍院士，菲尔兹奖获得者）的话：现代数学与传统数学的差别更多地是在方式上而不是在实质上。本世纪的数学在很大程度上是在与实质上具有的几何困难作斗争，这些困难是由于研究高维问题而产生的。集合直观仍然是领悟数学的最有效的渠道，应当在各级学校尽可能广泛地利用几何思想。 现在各国

13、中学几何课程中都加入了直观几何的内容。学生能够在直观几何课中遇到引人入胜的难题，例如，种种迷人的折纸与拼图游戏，观察和实验是直观几何的主要内容。学生能够通过生动的、富有想象力的活动，发展自己的空间想象力；通过实实在在的动手操作，了解什么是几何变换；通过折叠、拼合建立关于对称的直观概念。观察、实验、操作、想象等认知活动在直观几何中以形形色色、丰富多彩的方式表现出来。 几何图形是帮助我们进行数学想象的最有效的工具。本来，数学中的概念都是非常抽象的概念，而真正抽象的对象是难以思考的，直观的几何图形是我们最容易利用的数学形象。因此，直观几何不但能够帮助初学者掌握基础知识，也能够帮助人们进行真正的数学研

14、究与数学创造。 直观几何并不仅仅停留在直观操作的层面，经过教师的细心引导，直观几何中也可以包含丰富多彩的、严格的逻辑推理。 12 模式直观是一种比图形直观更为广泛的直观思维途径。模式直观并不是如许多人所想象的那样，“直观”离不开几何图形。模式直观是一种在大多数场合不能利用几何图形并借助于视觉形象所产生的对于事物之间逻辑关系的一种直接的、形象的推断和理解。有时模式直观表现为人们对复杂过程所发生的程序或秩序的理所当然的了解和理解。在上面的证法2中我们把“从n个元素的集合中取m个元素的过程分解为两种绝然不同的取法程序，其中一种在所取的m个元素中不含固定元素a，另中一种在所取的m个元素中含固定元素a，

15、这样合在一起就是从n个元素的集合中取m个元素的所有可能的情形”。证法2 的合理性建立在这种“程序分划”的模式直观之上。 10 mmm,1C,C，C一个非常典型的模式直观的实例是关于组合公式（m，n , 2）的证nn,1n,1明。 证法1： ,1？n,n,mn,n,m，(1)()(1)(1)mm,1,1C，C,，nnmm,!(1)! ？nn,n,m，(1)(1)m,Cnm!证法2：在n个元素中固定一个元a，那么从n个元中取m个元可分为两种情形。一定mm,1m不取a，共有CCC种取法；一定取a，共有种取法，加起来共个取法。 nnn,1,1m容易看出证法1依赖于组合符号C的定义及烦琐的数字计算，是一

16、种对发现公式本身n丝毫无助的纯验证法。而证法2直观形象，通过这种途径我们不但能够证明公式，而且这是一种发现公式的真正途径。可是，令人不可思议的是，传统的教学观点甚至认为证法2不能算作逻辑证明，不少旧教材仅仅把证法1作为该公式的证明，而把证法2作为对公式的一种“直观理解”。现在我们暂时不对这些有分歧的观点做出过多的判断和评论，关于证法2是否是真正的数学证明这个问题，读完下文之后读者一定能够自行判断。 13 数学文化是指一个人通过某种特定的学习途径获得一定的数学知识之后，所表现出来的特有的行为准则、思想观念及对待事物的态度.数学文化是由数学的思想、知识、方法、技术、理论等所辐射出来的能与相关文化领

17、域结合为一体的一个具有强大精神与物质功能的动态系统。 数学文化包括以下几个方面。(1)知识成分:包括数学理论知识、数学问题、数学语言等。(2)能力因素:包括数学应用能力、将问题通过适当途径而数学化的能力、逻辑论证能力、计算能力、问题解决能力、数学表达能力等。(3)数学观念:包括数学思维方式、思想观点、情感态度、价值观念。 虽然数学文化的内容涵盖了一个人数学修养的各个方面，但是它更强调当一个人的数学知识与其它各个领域的知识能力相融合之后所表现出来的综合素质. 数学课程的文化价值：数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应当适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求

18、，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮11 助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对数学文化的学习要求。 1451-21121）为什么1.2+1.3=2.5而? ，,2352）为什么“负负得正”？ 3）为什么0.9991）。我们现在所学习的数学中很多公式、，,1？,ssss12345p,1spi,符号都是欧拉倡导和引入的。例如：e,cos,，isin,，利用这个公式，我们能够,i,i2求出诸如(,1),e,0.04321i,e,2.2144338，。现

19、在全世界通用的函数符号f(x)，自然对数的底e也正是欧拉的名字Euler第一个字母。现代数学教科书中几乎处处都离不开欧拉的名字：欧拉定理、欧拉公式、欧拉函数、欧拉方程，等等。 高斯所开创的许多数学分支已经与我们今天所学习和研究的数学有直接的关系。无论是微分几何还是代数数论，直到现在正在研究的许多数学问题都与高斯最初所研究的问题息息13 相关。高斯19岁所发现的“二次互反律”，现在的数论研究者还在进一步研究它多种形式的推广，高斯24岁所出版的数论著作算术研究中所包含的问题至今还是数论研究者乐意解决的问题。高斯的素数分布猜想，直到1949年由两位当代最杰出的数论家给出初等证明。甚至仅仅在高斯20岁

20、前后几年中，我们就能列出这位伟大的数学家一连串辉煌的成就和贡献： 发现“二次互反律”（1796，19岁） 证明正17边形不能够尺规作图（1796，19岁） 最小二乘法原理（1795，19岁） 发现非欧几何，但没有发表（1792，15岁） 证明代数基本定理，这是第一个正确的证明（1798，21岁） 出版算术研究（1801，24岁） 将欧拉与高斯两位数学大师做对比，能够发现一个非常有趣的现象。欧拉终生工作于两个科学院，一个是俄罗斯的圣彼得堡科学院，另一个是柏林科学院。欧拉没有在大学教学的经历。1727年，20岁的欧拉作为当时著名数学家族第二代传人Daniel Bernoulli 的助手到彼得堡科学

21、院工作，14年后受普鲁士Frederick大帝邀请到刚刚建立的柏林科学院任数学物理研究所所长职务，1759年欧拉担任柏林科学院领导人，总共在柏林科学院工作25年，1766年59岁已经双目失明的欧拉再次受叶卡捷林娜女王邀请重返彼得堡科学院工作。虽然欧拉没有在大学任教的经历，但他十分热心于数学的社会普及以及数学教学工作，他为学校编写过许多教材，包括力学、代数学、微积分、微分几何、变分学等。欧拉的代表性著作有无穷小分析引论、微分学原理、积分学原理、代数学全论、寻求具有某种极大或极小性质的曲线技巧等。 高斯恰恰与欧拉相反，终生基本上只在两所大学度过，一所是高斯家乡的Brunswich 大学，另一所是著

22、名的哥廷根大学，高斯从1807年开始就一致在哥廷根大学工作，直到1855年去世。哥廷根大学由于高斯而建立起数学的光辉传统，这个传统后来被几何学家Felix Klein及杰出数学家David Hilbert 所继承。Felix Klein这样评价高斯在近代数学中的地位：如果我们把18世纪的数学家想象为一系列高山峻岭，那么最后一个使人肃然起敬的颠峰便是高斯。 x,x,x,？,x1612n14 1112n1，ax，ax，？，ax,0a，？，,112nxxx12n2n1，ax，ax，？，ax,0x,x,x,？,x证明如果是多项式的根，12n12n注意到每x?0，那么存在因式分解 ixxx2n，ax，a

23、x，？，ax,？,1(1)(1)(1) 12nxxx12n111且由根与系数的关系，容易知道：a，？，, 。 1xxx12nsinx17利用题16中的结果，欧拉采用下面方法求自然数倒数的平方和。命，f(x),x222则方程x,(2,),(3,),？f(x),0有根。现在级数展开23xxxfx(),1,，,，？那么这种常数项为1的多项式同样也有“根的倒数和等于一3!5!7!1111次项系数的相反数”，因此有，？,于是得2226,(2,)(3,)2,1111，？,。试解释欧拉上述方法在数学发现中的意义和作用。 1222262345解答提示：数学史著作中评价欧拉采用非常直观的方法研究数学问题，求无穷

24、级数和1111，？,的方法是典型的直观方法，将一个具有无限多个零点的函2226,(2,)(3,)数与多项式函数进行类比，十分简单而直观的方法求出无穷级数1111，？,的和，虽然这样的方法缺乏理论证明的严密性，但是对于2226,(2,)(3,)发现如此难以求和的无限级数的和来说不失为一种非常有效的思考方法。实际上严格的证明对于一个学习过无穷级数收敛性理论的学生来说并不存在太多的困难。 18试利用向量空间的几何方法来求Fibonacci级数的通项公式。 解答：首先我们定义“Fibonacci型无限序列”为,=a，a，.使a=a+a。如果,12n+2nn+115 是另一个“Fibonacci型无限序

25、列”，那么它们的线性组合a,+b, 也是一个“Fibonacci型无限序列”。可见全体“Fibonacci型无限序列”组成一个实数域上的向量空间，记为V。 因为,完全由a，a决定，因此我们可以简单地用二元序列a，a 来代替无限序列a，12121a，.，这样由全体“Fibonacci型序列”组成一个实数域上的向量空间实际上是2维实22向量空间R。“Fibonacci序列”,=1，1，2，3，5，8，13，.是这个2维实向量空间V中的一个向量。 23下面求这个向量空间V的基：假定等比数列,=1，d，d，d，.是一个Fibonacci12序列，那么由定义d=1+d，d=。因此 (1,5)1，2 21

26、1,=1，(1，5)(1,5)，., ,=1，. 2211是向量空间V的基。由此, = a,+b,，容易求出a=(1,5)，b=，因此,=1，(1，5)221，2，3，5，8，13，.的通项公式 n,1n,1，,11515nna,ad，bd,()()。 n1222519试模仿题18中的方法（我们把这种方法称为“线性方法” ）解2008年重庆高考3题第22题。设正数列a2aa,aa满足a=2，。（1）若a=1/4，求a，a，并猜想n12342008nn，1n，22（不需证明）（2）记b= aa, 若b?2对n?2恒成立, 求a及b的通项公式。 n 1 n n2n解答：线性方法 一种比较自然的解题

27、方法 3记u,u，uu,loga，则u=1， ?， 1nn，1n，2n2n23logb,u，？，u, ?。 2n1n2u+u?3/2，但u=1，因此u?1/2 ?。 12123记数列 U：1，u，1- u，。 222注意：满足条件?的全体数列组成一个向量空间，此向量空间中每个向量由2个参数决16 定，因此向量空间维数为2。下面求这个向量空间的基，即求2个特定的满足条件?的数列，不妨求等比数列（满足条件?的数列不可能等差） 21，q，q， 。 3322则q，q,1,0，解2次方程，得q=-2或1/2。于是数列S，T组成向量q,1,q22空间的基。 推论2:直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对

28、的弦是直径；S：1，-2，4，。 T：1，1/2，1/4，。 （2）圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.因此，存在a，b使U = aS+bT。 1,au,(1,2)，,ab1,2, ,5，解出 ,11,，,2abu2,bu,(2，4)2,2,5,n1,1(2)用S表示数列S前n项的和，则S=，T=2（1- ）。 nnnn32等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。n,u,(12)1(2)2132由? U,，,u，,(1)(24)= aS+bT = 。 n nn2n53522n，1121151取n奇，得 u,u，,u，()(2)(2)2。 2221n,23442二

29、次方程的两个实数根1由于u是固定数，如果u1/2，上面不等式不可能成立，因此x?1/2，故x=1/2。U=，,2222n2n,12(1)二次函数yax2的图象：是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线。是二次函数的特例，此时常数b=c=0.1,2n,1Un2b,2,2。 n评论 在我们的线性方法中，两个关键的等比数列是作为“U-型数列向量空间”的基而非常自然地利用解方程的方法求出来的。我们的灵感在于观察出“U-型数列”的线性组合还是U-型数列，因而“U-型数列”成为向量空间，维数为2。是几何观察帮助我们解决了抽象的代数问题。 （2）经过三点作圆要分两种情况:20试利用均值不等式证明等周三角形中以

30、等边三角形面积最大。 证明提示：由海伦公式，三边长分别为a、b、c的三角形面积 对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；S,m(m,a)(m,b)(m,c) 17 第二章 二次函数其中m=（a+b+c）/2，由均值不等式（3） 对称轴：x=2m,a，m,b，m,cm()()()3 S,m,()333且面积S取最大值当且仅当a=b=c，这时a、b、c组成等边三角形。 评述: 1)均值不等式应用最好既要包含代数方面的应用,又要包含几何方面的应用.2)例6是一般等周问题的一个特例,一般等周问题是“在周长一定时,各种封闭曲线所围成的图形中以圆的面积最大”。等周问题在近代几何中具有一定的地位，教师可以适当予以介绍。 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示，即18