2022年高考数学一轮复习 8.6 圆锥曲线的应用教案

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1、2022年高考数学一轮复习 8.6 圆锥曲线的应用教案知识梳理解析几何在日常生活中应用广泛，如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用方法.本节主要通过圆锥曲线在实际问题中的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.点击双基1.一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2 m时，水面宽4 m，若水面下降1 m时，则水面宽为A.m B.2m C.4.5 m D.9 m解析：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x2=2Py（P0），由题意知，抛物线过点（2，2），4=2p2.p=1.x2=2y.当y0=3时，得x02=6.水面宽

2、为2|x0|=2.答案：B2.某抛物线形拱桥的跨度是20 m，拱高是4 m，在建桥时每隔4 m需用一柱支撑，其中最长的支柱是A.4 m B.3.84 m C.1.48 m D.2.92 m解析：建立适当坐标系，设抛物线方程为x2=2py（p0），由题意知其过定点（10， 4），代入x2=2py，得p=.x2=25y.当x0=2时，y0=，最长支柱长为4|y0|=4=3.84（m）.答案：B3.天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是A.椭圆 B.圆C.双曲线的一支 D.抛物线解析：设旗杆高为m，华表高为n，mn.旗杆与华表的距离为2a，以旗杆与地面的交点和

3、华表与地面的交点的连线段所在直线为x轴、垂直平分线为y轴建立直角坐标系.设曲线上任一点M（x，y），由题意=，即（m2n2）x2+（m2n2）y22a（m2n2）x+ （m2n2）a2=0.答案：B4.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是 60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是_ cm.解析：设抛物线方程为y2=2px（p0），点（40，30）在抛物线y2=2px上，900=2p40.p=.=.因此，光源到反射镜顶点的距离为 cm.答案：5.在相距1400 m的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差3 s，已知声速340 m/s.炮弹爆炸点

4、所在曲线的方程为_.解析：设M（x，y）为曲线上任一点，则|MA|MB|=3403=10200）.将点（4，5）代入求得p=.x2=y.将点（2，y1）代入方程求得y1=.+|y1|=+=2（m）.答案：25.下图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12 m，镜深2 m，（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度.解：（1）如下图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶

5、点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径.由已知，得A点坐标是（2，6），设抛物线方程为y2=2px（p0），则36=2p2，p=9.所以所求抛物线的标准方程是y2=18x，焦点坐标是F（，0）.（2）盛水的容器在焦点处，A、F两点间的距离即为每根铁筋长.|AF|=（或|AF|=+2=）.故每根铁筋的长度是6.5 m.6.有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝，只留有一个透明窗用作通光孔，它的反射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分，灯丝定在某个地方发出光线反射到卡门上，并且这两物体间距离为4.5 cm，灯丝距顶面距离为2.8 cm，为使卡门处获得最强烈的光线，在加工这种灯泡时，应使用

6、何种曲线可使效果最佳?试求这个曲线方程.分析：由于光线从灯丝发出，反射到卡门上光线应交于一点，这就是光线聚焦，只要把灯丝、卡门安在椭圆的2个焦点上，反射面采用旋转椭球面就可以使光线经反射后聚焦于卡门处，因而可获得强光.解：采用椭圆旋转而成的曲面，如下图建立直角坐标系，中心截口BAC是椭圆的一部分，设其方程为+=1，灯丝距顶面距离为p，由于BF1F2为直角三角形，因而，|F2B|2=|F1B|2+|F1F2|2=p2+4c2，由椭圆性质有|F1B|+|F2B|=2a，所以a=（p+），a= （2.8+）4.05 cm，b=3.37 m.所求方程为+=1.培养能力7.某大桥在涨水时有最大跨度的中央

7、桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部分中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现在状况下还可多装1000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0.04 m，若不考虑水下深度，该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么?解：如下图，建立直角坐标系，设抛物线方程为y=ax2，则A（10，2）在抛物线上，2=ax2，a=，方程即为y=x2让货船沿正中央航行.船宽16 m，而当x=8时，y=82=1.28 m，船体在x=8之间通过.由B（8，1.28），B点离水面高

8、度为6+（1.28）=4.72（m），而船体水面高度为5 m，无法直接通过.又54.72=0.28（m），0.280.04=7，而1507=1050（t），要用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降.8.（文）（xx年春季北京，文18）2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆.选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点.近地点A距地面200 km，远地点B距地面350 km.已知地球半径R=6371 km.（如下图）（1）求飞船飞行的椭圆轨道的方程；（2）飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时

9、59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6105 km，问飞船巡天飞行的平均速度是多少?（结果精确到1 km/s）（注：km/s即千米/秒）解：（1）设椭圆的方程为+=1.由题设条件得ac=|OA|OF2|=|F2A|=6371+200=6571，a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+350=6721.解得a=6646，c=75，所以a2=44169316，b2=a2c2=（a+c）（ac）=67216571=44163691.所求椭圆的方程为+=1.（注：由6645.5768得椭圆的方程为+ =1，也是正确的）（2）从15日9时到16日6时共21个小时，即21

10、3600 s.减去开始的9分50 s，即960+50=590（s），再减去最后多计的1分钟，共减去590+60= 650（s），得飞船巡天飞行的时间是213600650=74950（s），平均速度是8（km/s）.所以飞船巡天飞行的平均速度是8 km/s.（理）（xx年上海）如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m，要求通行车辆限高4.5 m，隧道全长2.5 km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6 m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S=lh，柱体体

11、积为底面积乘以高.本题结果均精确到0.1 m）（1）解：如下图建立直角坐标系，则点P（11，4.5），椭圆方程为+=1.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a=，此时l=2a=33.3.因此隧道的拱宽约为33.3 m.（2）解法一：由椭圆方程+=1，得+=1.因为+，即ab99，且l=2a，h=b，所以S=lh=.当S取最小值时，有=，得a=11，b=.此时l=2a=2231.1，h=b6.4.故当拱高约为6.4 m、拱宽约为31.1 m时，土方工程量最小.解法二：由椭圆方程+=1，得+=1.于是b2=.a2b2=（a2121+242）（2+242）=81121，即ab99，当S取最小值时，

12、有a2121=.得a=11，b=，以下同解法一.探究创新9.中国跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线为如下图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10 m，入水处距池边的距离为4 m，同时，运动员在距水面高度为5 m或5 m以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.（1）求这条抛物线的解析式.（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理

13、由.（3）要使此次跳水不至于失误，该运动员按（1）中抛物线运行，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多少？解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）、（2，10），且顶点A的纵坐标为， c=0，所以有=，4a+2b+c=10. a=，解之得b=，c=0或 a=，b=2，c=0.抛物线对称轴在y轴右侧，0.又抛物线开口向下，a0.b0，后一组解舍去.a=，b=，c=0.抛物线的解析式为y=x2+x.（2）当运动员在空中距池边的水平距离为3m时，即x=32=时，y=（）（）2+=，此

14、时运动员距水面的高为10=5.因此，此次跳水会出现失误.（3）当运动员在x轴上方，即y0的区域内完成动作并做好入水姿势时，当然不会失误，但很难做到.当y0时，要使跳水不出现失误，则应有|y|105，即y5.有x2x5，解得2x2+.运动员此时距池边的距离至多为2+2+=4+m.思悟小结解决圆锥曲线应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化；要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答.教师下载中心教学点睛解应用题时涉及到两个基本步骤，即将实际问题抽象成

15、数学问题和解决这个数学问题，为此要注意以下三点：1.阅读理解.数学应用题给出的方式是材料的陈述，而不是客体的展示.也就是说，所考的应用题通常已进行过初步加工，并通过语言文字、符号或图形展现在考生面前，要求考生读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质.2.数学建模，即将应用题的材料陈述转化成数学问题.这就要抽象、归纳其中的数量关系，并把这种关系用数学式子表示出来.3.数学求解.根据所建立数学关系的知识系统，解出结果，从而得到实际问题的解答.本节就是通过圆锥曲线在现实生活中的应用，培养学生解决应用问题的能力.拓展题例【例1】 一摩托车手欲飞跃黄河，设计摩托车沿跑道飞出时前进方向与水平方向的仰角是12

16、，飞跃的水平距离是35 m，为了安全，摩托车在最高点与落地点的垂直落差约10 m，那么，骑手沿跑道飞出时的速度应为多少？（单位是 km/h，精确到个位）（参考数据：sin12=0.2079，cos12=0.9781，tan12=0.2125）分析：本题的背景是物理中的运动学规律，摩托车离开跑道后的运动轨迹为抛物线，它是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向上的上抛运动合成的，它们运行的位移都是时间t的函数，故应引入时间t，通过速度v的矢量分解来寻找解决问题的途径.解： 摩托车飞离跑道后，不考虑空气阻力，其运动轨迹是抛物线，轨迹方程是x=vtcos12，y=vtsin129.8t2.其中v是摩托车飞

17、离跑道时的速度，t是飞行时间，x是水平飞行距离，y是相对于起始点的垂直高度，将轨迹方程改写为y=9.8x2+tan12x，即y=5.1219+0.2125x.当x0.0207v2时，取得ymax0.0022v2.当x=35时，y落=6274.3275+7.4375.ymaxy落=10，0.0022v2+6274.327517.4375=0，解得v19.44 m/s或v86.88 m/s.若v86.88 m/s，则x=156.246 m，与题目不符，而v19.44 m/s，符合题意，为所求解.故v19.44 m/s=69.984 km/h70 km/h.答：骑手沿跑道飞出时的速度应为70 km/

18、h.评述：本题直接构造y是x的函数解析式很困难，应引入适当的参数（时间t）作媒介，再研究x与y是怎样随参数变化而变化的，问题往往就容易解决了.这种辅助变量的引入要具体问题具体分析，以解题的简捷为原则.【例2】 A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B正北偏西30，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角.解：如下图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则B（3，0）、A（3，0）、C（5，2）.因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上.因为kBC=，BC中点D（4，），所以直线PD的方程为y=（x+4）. 又|PB|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上.设P（x，y），则双曲线方程为=1（x0）. 联立，得x=8，y=5，所以P（8，5）.因此kPA=.故炮击的方位角为北偏东30.