2022年高考数学一轮复习 8.6 圆锥曲线的应用教案

2022年高考数学一轮复习 8.6 圆锥曲线的应用教案知识梳理解析几何在日常生活中应用广泛，如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用方法.本节主要通过圆锥曲线在实际问题中的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.点击双基1.一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2 m时，水面宽4 m，若水面下降1 m时，则水面宽为A.m B.2m C.4.5 m D.9 m解析：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x2=2Py（P>0），由题意知，抛物线过点（2，2），4=2p×2.p=1.x2=2y.当y0=3时，得x02=6.水面宽为2|x0|=2.答案：B2.某抛物线形拱桥的跨度是20 m，拱高是4 m，在建桥时每隔4 m需用一柱支撑，其中最长的支柱是A.4 m B.3.84 m C.1.48 m D.2.92 m解析：建立适当坐标系，设抛物线方程为x2=2py（p>0），由题意知其过定点（10， 4），代入x2=2py，得p=.x2=25y.当x0=2时，y0=，最长支柱长为4|y0|=4=3.84（m）.答案：B3.天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是A.椭圆 B.圆C.双曲线的一支 D.抛物线解析：设旗杆高为m，华表高为n，mn.旗杆与华表的距离为2a，以旗杆与地面的交点和华表与地面的交点的连线段所在直线为x轴、垂直平分线为y轴建立直角坐标系.设曲线上任一点M（x，y），由题意=，即（m2n2）x2+（m2n2）y22a（m2n2）x+ （m2n2）a2=0.答案：B4.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是 60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是_ cm.解析：设抛物线方程为y2=2px（p>0），点（40，30）在抛物线y2=2px上，900=2p×40.p=.=.因此，光源到反射镜顶点的距离为 cm.答案：5.在相距1400 m的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差3 s，已知声速340 m/s.炮弹爆炸点所在曲线的方程为_.解析：设M（x，y）为曲线上任一点，则|MA|MB|=340×3=1020<1400.M点轨迹为双曲线，且a=510，c=700.b2=c2a2=（c+a）（ca）=1210×190.M点轨迹方程为=1.答案：=1典例剖析【例1】 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和m万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为和，求该彗星与地球的最近距离.剖析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解.同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考.仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为ac，这样把问题就转化为求a，c或ac.解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点F（c，0）处，椭圆的方程为+=1，当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足xFA=（或xFA=）.作ABOx于B，则FB=FA=m，故由椭圆的第二定义可得m=（c）， m=（c+m）. 两式相减得m=·m，a=2c.代入，得m=（4cc）=c，c=m.ac=c=m.答：彗星与地球的最近距离为m万千米.评述： （1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是ac，另一个是a+c.（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想.另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质.思考讨论 椭圆上任一点到焦点的距离的最大值和最小值是多少？怎样证明？提示：利用焦半径易求得最大值为a+c，最小值为ac.【例2】 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如下图所示）.已知PA=100 m，PB=150 m，APB=60°，试说明怎样运土最省工.剖析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP、BP到P同样远.显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点.则有MA+PA=MB+PB.于是MAMB=PBPA=150100=50.从而发现第三类点M满足性质：点M到点A与点B的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程.解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy，设M（x，y）是沿AP、BP运土同样远的点，则MA+PA=MB+PB，MAMB=PBPA=50.在PAB中，由余弦定理得AB2=PA2+PB22PAPBcos60°=17500，且50AB.由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上，设此双曲线方程为=1（a0，b0）. 2a=50，4c2=17500，c2=a2+b2，解之得 a2=625，b2=3750.M点轨迹是=1（x25）在半圆内的一段双曲线弧.于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工.评述：（1）本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的集合性质，构造圆锥曲线模型（即分界线）从而确定出最优化区域.（2）应用分类思想解题的一般步骤：确定分类的对象；进行合理的分类；逐类逐级讨论；归纳各类结果.【例3】 根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3 m，宽1.6 m.现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4 m的距离行驶.已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车安全通过的a的最小整数值.剖析：根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4 m到2 m间的道路行驶为最佳路线，因此，卡车能否安全通过，取决于距隧道中线2 m（即在横断面上距拱口中点2 m）处隧道的高度是否够3 m，据此可通过建立坐标系，确定出抛物线的方程后求得.解：如下图，以拱口AB所在直线为x轴，以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意可得抛物线的方程为x2=2p（y），点A（，0）在抛物线上，（）2=2p（0），得p=.抛物线方程为x2=a（y）.取x=1.6+0.4=2，代入抛物线方程，得22=a（y），y=.由题意，令y3，得3，a0，a212a160.a6+2.又aZ，a应取14，15，16，.答：满足本题条件使卡车安全通过的a的最小正整数为14 m.评述： 本题的解题过程可归纳为两步：一是根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口中点2 m处y的值；二是由y3通过解不等式，结合问题的实际意义和要求得到a的值，值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的.闯关训练夯实基础1.1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“铱星”系统通信卫星.卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km，远地点为 n km，地球的半径为R km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于A.2B. C.2mnD.mn解析：由题意 c=m+R， +c=n+R， c=，2b=2=2.答案：A2.如下图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线对称轴1 m，则在水池直径的下列可选值中，最合算的是A.2.5 m B.4 mC.5 m D.6 m解析：以O为原点，OP所在直线为y轴建立直角坐标系（如下图），则抛物线方程可设为y=a（x1）2+2，P点坐标为（0，1），1=a+2.a=1.y=（x1）2+2.令y=0，得（x1）2=2，x=1±.水池半径OM=+12.414（m）.因此水池直径约为2×|OM|=4.828（m）.答案：C3.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2=2y（0y20）.在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为_.解析：玻璃球的轴截面的方程为x2+（yr）2=r2，由得y2+2（1r）y=0，由=4（1r）2=0，得r=1.x2=2y，x2+（yr）2=r2，答案：0r14.河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高 m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距_m时，小船不能通航.解析：建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=2py（p>0）.将点（4，5）代入求得p=.x2=y.将点（2，y1）代入方程求得y1=.+|y1|=+=2（m）.答案：25.下图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12 m，镜深2 m，（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度.解：（1）如下图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径.由已知，得A点坐标是（2，6），设抛物线方程为y2=2px（p0），则36=2p×2，p=9.所以所求抛物线的标准方程是y2=18x，焦点坐标是F（，0）.（2）盛水的容器在焦点处，A、F两点间的距离即为每根铁筋长.|AF|=（或|AF|=+2=）.故每根铁筋的长度是6.5 m.6.有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝，只留有一个透明窗用作通光孔，它的反射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分，灯丝定在某个地方发出光线反射到卡门上，并且这两物体间距离为4.5 cm，灯丝距顶面距离为2.8 cm，为使卡门处获得最强烈的光线，在加工这种灯泡时，应使用何种曲线可使效果最佳?试求这个曲线方程.分析：由于光线从灯丝发出，反射到卡门上光线应交于一点，这就是光线聚焦，只要把灯丝、卡门安在椭圆的2个焦点上，反射面采用旋转椭球面就可以使光线经反射后聚焦于卡门处，因而可获得强光.解：采用椭圆旋转而成的曲面，如下图建立直角坐标系，中心截口BAC是椭圆的一部分，设其方程为+=1，灯丝距顶面距离为p，由于BF1F2为直角三角形，因而，|F2B|2=|F1B|2+|F1F2|2=p2+4c2，由椭圆性质有|F1B|+|F2B|=2a，所以a=（p+），a= （2.8+）4.05 cm，b=3.37 m.所求方程为+=1.培养能力7.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部分中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现在状况下还可多装1000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0.04 m，若不考虑水下深度，该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么?解：如下图，建立直角坐标系，设抛物线方程为y=ax2，则A（10，2）在抛物线上，2=ax2，a=，方程即为y=x2让货船沿正中央航行.船宽16 m，而当x=8时，y=·82=1.28 m，船体在x=±8之间通过.由B（8，1.28），B点离水面高度为6+（1.28）=4.72（m），而船体水面高度为5 m，无法直接通过.又54.72=0.28（m），0.28÷0.04=7，而150×7=1050（t），要用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降.8.（文）（xx年春季北京，文18）2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆.选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点.近地点A距地面200 km，远地点B距地面350 km.已知地球半径R=6371 km.（如下图）（1）求飞船飞行的椭圆轨道的方程；（2）飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105 km，问飞船巡天飞行的平均速度是多少?（结果精确到1 km/s）（注：km/s即千米/秒）解：（1）设椭圆的方程为+=1.由题设条件得ac=|OA|OF2|=|F2A|=6371+200=6571，a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+350=6721.解得a=6646，c=75，所以a2=44169316，b2=a2c2=（a+c）（ac）=6721×6571=44163691.所求椭圆的方程为+=1.（注：由6645.5768得椭圆的方程为+ =1，也是正确的）（2）从15日9时到16日6时共21个小时，即21×3600 s.减去开始的9分50 s，即9×60+50=590（s），再减去最后多计的1分钟，共减去590+60= 650（s），得飞船巡天飞行的时间是21×3600650=74950（s），平均速度是8（km/s）.所以飞船巡天飞行的平均速度是8 km/s.（理）（xx年上海）如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m，要求通行车辆限高4.5 m，隧道全长2.5 km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6 m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S=lh，柱体体积为底面积乘以高.本题结果均精确到0.1 m）（1）解：如下图建立直角坐标系，则点P（11，4.5），椭圆方程为+=1.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a=，此时l=2a=33.3.因此隧道的拱宽约为33.3 m.（2）解法一：由椭圆方程+=1，得+=1.因为+，即ab99，且l=2a，h=b，所以S=lh=.当S取最小值时，有=，得a=11，b=.此时l=2a=2231.1，h=b6.4.故当拱高约为6.4 m、拱宽约为31.1 m时，土方工程量最小.解法二：由椭圆方程+=1，得+=1.于是b2=·.a2b2=（a2121+242）（2+242）=81×121，即ab99，当S取最小值时，有a2121=.得a=11，b=，以下同解法一.探究创新9.中国跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线为如下图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10 m，入水处距池边的距离为4 m，同时，运动员在距水面高度为5 m或5 m以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.（1）求这条抛物线的解析式.（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.（3）要使此次跳水不至于失误，该运动员按（1）中抛物线运行，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多少？解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）、（2，10），且顶点A的纵坐标为， c=0，所以有=，4a+2b+c=10. a=，解之得b=，c=0或 a=，b=2，c=0.抛物线对称轴在y轴右侧，0.又抛物线开口向下，a0.b0，后一组解舍去.a=，b=，c=0.抛物线的解析式为y=x2+x.（2）当运动员在空中距池边的水平距离为3m时，即x=32=时，y=（）×（）2+×=，此时运动员距水面的高为10=5.因此，此次跳水会出现失误.（3）当运动员在x轴上方，即y0的区域内完成动作并做好入水姿势时，当然不会失误，但很难做到.当y0时，要使跳水不出现失误，则应有|y|105，即y5.有x2x5，解得2x2+.运动员此时距池边的距离至多为2+2+=4+m.思悟小结解决圆锥曲线应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化；要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答.教师下载中心教学点睛解应用题时涉及到两个基本步骤，即将实际问题抽象成数学问题和解决这个数学问题，为此要注意以下三点：1.阅读理解.数学应用题给出的方式是材料的陈述，而不是客体的展示.也就是说，所考的应用题通常已进行过初步加工，并通过语言文字、符号或图形展现在考生面前，要求考生读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质.2.数学建模，即将应用题的材料陈述转化成数学问题.这就要抽象、归纳其中的数量关系，并把这种关系用数学式子表示出来.3.数学求解.根据所建立数学关系的知识系统，解出结果，从而得到实际问题的解答.本节就是通过圆锥曲线在现实生活中的应用，培养学生解决应用问题的能力.拓展题例【例1】 一摩托车手欲飞跃黄河，设计摩托车沿跑道飞出时前进方向与水平方向的仰角是12°，飞跃的水平距离是35 m，为了安全，摩托车在最高点与落地点的垂直落差约10 m，那么，骑手沿跑道飞出时的速度应为多少？（单位是 km/h，精确到个位）（参考数据：sin12°=0.2079，cos12°=0.9781，tan12°=0.2125）分析：本题的背景是物理中的运动学规律，摩托车离开跑道后的运动轨迹为抛物线，它是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向上的上抛运动合成的，它们运行的位移都是时间t的函数，故应引入时间t，通过速度v的矢量分解来寻找解决问题的途径.解： 摩托车飞离跑道后，不考虑空气阻力，其运动轨迹是抛物线，轨迹方程是x=vtcos12°，y=vtsin12°×9.8t2.其中v是摩托车飞离跑道时的速度，t是飞行时间，x是水平飞行距离，y是相对于起始点的垂直高度，将轨迹方程改写为y=×9.8x2+tan12°·x，即y=5.1219+0.2125x.当x0.0207v2时，取得ymax0.0022v2.当x=35时，y落=6274.3275+7.4375.ymaxy落=10，0.0022v2+6274.327517.4375=0，解得v19.44 m/s或v86.88 m/s.若v86.88 m/s，则x=156.246 m，与题目不符，而v19.44 m/s，符合题意，为所求解.故v19.44 m/s=69.984 km/h70 km/h.答：骑手沿跑道飞出时的速度应为70 km/h.评述：本题直接构造y是x的函数解析式很困难，应引入适当的参数（时间t）作媒介，再研究x与y是怎样随参数变化而变化的，问题往往就容易解决了.这种辅助变量的引入要具体问题具体分析，以解题的简捷为原则.【例2】 A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B正北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角.解：如下图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则B（3，0）、A（3，0）、C（5，2）.因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上.因为kBC=，BC中点D（4，），所以直线PD的方程为y=（x+4）. 又|PB|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上.设P（x，y），则双曲线方程为=1（x0）. 联立，得x=8，y=5，所以P（8，5）.因此kPA=.故炮击的方位角为北偏东30°.