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1、习题3.1(A)选择1 5 BCBDB二计算与证明1 .若 x 0,证明 ex 1 x。证明：令 F x =ex _1_x,则 F x =ex -1当x 0时，Fx0,从而Fx在0单增因为F0=0，故Fx - 0,即ex 1 x2 .设 x 0，证明 x - x In 2 x : x。 2证明：1：令 f x Rx - -In 1 X,贝 u f x =1 X-2因x 0,贝U f x : : 0,从而f x在0, :单减。x故 f x : f 0 =0,即口 xIn 1 x20： 令 g x; =ln 1 x -x,则 g x 111 + x当x 0时，g x : 0,从而g x在0：单减故
2、 g x : g 0 = 0,即 In 1 x x2由 1、2。知，x : l n 1 x : x2(B)选择1 4CBDD计算与证明arcta n arcta n 求 lim 1nl n +1n_L： i解：令F x 顷x,则Fx在GJ上连续，在占*可导，故1 1 arctan arcta n 由拉格朗日定理知，存在一点v f 1, 1使fn LJ当n时，贝厂 01故原式二 lim f = lim 12 =2 .设f x在0,1 1上可导，且0 : f x : : 1,对于任何x 0,1，都有f x -1，试证：在0,1内，有且仅有一个数X，使f x = x。证：令Fx二fx-x，因为Fx在
3、0,1上连续，且F0二f0 0，F 1二f 1 -1 ： 0，则由零点存在定理在0,1内至少存在一点x，使F x 二 f x = 0，即 f x 二 x。下证唯一性。设在0,1内存在两个点X1与X2,且X1:X2,使fX1 =x1，fX21=X2，在X1,X2 1上运用拉格朗日中值定理，则有：5 1X1, X2，使 得f = f X2-f X1 二 K二 1x2亶卷x2亶卷这与题设f X =1矛盾，故只有一个X使f X二X。3 .设fx在1,2 1上具有二阶导数f x,且f2二f1=0,如果F x -1 f x,证明至少存在一点1,2,使 F=0O证明：由题设知F x在1,2 1上满足洛尔定理
4、条件，则至少存在一点a. 1,2,使 得a =0 o因为F * = f x x 1 f，则由题设知Fx在1,a 上连续，在1,a内可导，且F j = f 1 =0，故Fx在1,a 1上满足洛尔定理条件，则至少存在一点，使F ”=0，4设f x在la,b 1上连续，在a,b内二阶可导且f a = f b =0，且存在点c三 a,b，使得f c 0，试证至少存在一点匚三a,b，使得fi-0 o证：f X在a,cl及c,b 上都满足拉格朗日定理条件，则存在鼻三ac，三Cb，使得f ： J c -f a 上c a c af := f b -f c f cc b-c因为 f c 0，贝U ff : 0因
5、f x在a,b内二阶可导， Uf x在L,门上满足拉格朗日定理条件，故至少存在一点匚- J，使 f” 二:0 oP -CL习题3.2选择1 5 CBABD计算1 求limxn1 x2 .求 lim 1TJn(1 +x)解：原式二limx1nl x xln 1TXu-3Psinxsin x sin xsirxcoxe coxcox型x sin x 30 型，.e e cosx3e0 lim0x习题3.3略习题 3.43.6(A)选择1 8 CACBC DCD二计算1 .求函数y = x3 -3x2 -9x 14的单调区间。解：y = 3x2 -6x-9=3x1 x-3x si nx当-1 . x
6、 : 3 时，y 0当x.3时，y 0故y在-：,-1 及单增，在1_1,3单减2求函数 y =2ex飞的极值。解：八2ex -e1令 y =0 得 x In 22 1当x In 2时，y : : 0，从而y单减1当x-I n2时，y0，从而y单增 1故x In 2时，y取极小值0 23求函数In2 xy二口的单调区间与极值。x解：2 -In x Inxx令y =0，得x=1或e故可疑极值点1, e2x(0,1 )1(1, e2)2e（e2 严）ry-+-y极小值0极大值弓4.当a为何值时，y =asi nx，-si n3x在x处有极值？求此极值，并说33明是极大值还是极小值。解：目二 a c
7、osx cos3x由于y在x = I处有极值，则y二 =0，从而a = 23 13 J当x二时，y 0，从而y单增3当X -时，V0从而y单减3故y在x处取得极大值。35. 求内接于椭圆笃篇=1,而面积最大的矩形的边长。a b解：设矩形在第一象限的顶点坐标为x,y，则x =ac oS (兀J000 , g x单增，从而g x g 01 = 0当 x : 0 时，g x 0 , g x 单减，从而 g x g 0 = 0故 x = 0 时，g x 0,从而 F x i，0因为 f 00,贝U F 00,从而-x ，-:有F x 0,故F x是单调增函数4研究函数f(x)=xeM的极值。解：10当
8、 x : 0 时，f x -xex，从而 f x - -ex4 x 1令 f x =0 得 X=-1当x -1时，f xi0,则f x单增当x* -1时，x : 0,则f x单减故x = -1是f x的极大值点，极大值为e,2 .当 0 : x ： 1 时，f x 二 xexj,从而 f x 二 ex x 仆 0说明f x单增，故x=0是极小值点，极小值为03 .当 x 1 时，f x = xe i,从而 f x 二 ei1 - x : 0说明f x单减，故x=1是极大值点，极大值为15. 若f x在la, b 1上有二阶导数f ” x，且a = f b=0，试证在a,b内至少存在一点-，满足
9、f (时兰一一4- |f (b f (aD(b - a)证：由泰勒展式-aa,b，有f x 十冷f1x a2，a ： 1 : xf x = f b gf ； xb2，x2 令 x4，得 2f 土卜心已作严虫)l2 J 、24于是 f b - f ab-a 2f ； - f 18令1厂住ma#f华)| ,|厂住湛，则f(b)-f(a)| * (b-aff fU)|+| f 军 1)P 兰 4-a)2| f A )|故结论成立。6. 设f x在0,1上具有二阶导数，腆f(x)=T，证明:存在一点-0,1使f r-8证：设x=C是f x的最小值点，因为f X在0,1上具有二阶导数，由题设知 0 : : c 门，f c =0 , f c = 一 1。8J画LO :草一笠理啤Q-08 士。J | 日J L- = L J 匝P。皓 P L LL0 01 二 L- = om酒 。 o 暑 1L-V L- = X 侮回乙X乌。笠。如-U。X。2 J 二 X J肇匹留耋团0O = X笠XJ啤
第三章中值定理与导数的应用答案
