第三章中值定理与导数的应用答案

习题3.1(A)选择1 5 BCBDB二计算与证明1 .若 x 0,证明 ex 1 x。证明：令 F x =ex _1_x,则 F x =ex -1当x 0时，F'x0,从而Fx在0单增因为F0=0，故Fx - 0,即ex 1 x2 .设 x 0，证明 x - x In 2 x : x。 2证明：1°：令 f x Rx - -In 1 X,贝 u f x =1 X-2因x 0,贝U f x : : 0,从而f x在0, :单减。x故 f x : f 0 =0,即口 xIn 1 x20： 令 g x; =ln 1 x -x,则 g x 111 + x当x 0时，g x : 0,从而g x在0：单减故 g x : g 0 = 0,即 In 1 x < x2由 1°、2。知，x : l n 1 x : x2(B)选择1 4CBDD计算与证明arcta n arcta n 求 lim 1nl n +1n_L： i解：令F x 顷x,则Fx在GJ上连续，在占*可导，故1 1 arctan arcta n 由拉格朗日定理知，存在一点v f 1, 1使fn LJ当n时，贝厂 01故原式二 lim f = lim 12 =2 .设f x在0,1 1上可导，且0 : f x : : 1,对于任何x 0,1，都有f x -1，试证：在0,1内，有且仅有一个数X，使f x = x。证：令Fx二fx-x，因为Fx在0,1上连续，且F0二f0 0，F 1二f 1 -1 ： 0，则由零点存在定理在0,1内至少存在一点x，使F x 二 f x = 0，即 f x 二 x。下证唯一性。设在0,1内存在两个点X1与X2,且X1:X2,使fX1 =x1，fX21=X2，在X1,X2 1上运用拉格朗日中值定理，则有：5 1X1, X2，使 得f = f X2-f X1 二 K二 1x2亶卷x2亶卷这与题设f X =1矛盾，故只有一个X使f X二X。3 .设fx在1,2 1上具有二阶导数f x,且f2二f1=0,如果F x -1 f x,证明至少存在一点1,2,使 F=0O证明：由题设知F x在1,2 1上满足洛尔定理条件，则至少存在一点a. 1,2,使 得a =0 o因为F * = f x x 1 f，则由题设知F'x在1,a 上连续，在1,a内可导，且F j = f 1 =0，故F'x在1,a 1上满足洛尔定理条件，则至少存在一点，使F ”=0，4设f x在la,b 1上连续，在a,b内二阶可导且f a = f b =0，且存在点c三 a,b，使得f c 0，试证至少存在一点匚三a,b，使得fi-0 o证：f X在a,cl及c,b 上都满足拉格朗日定理条件，则存在鼻三ac，三Cb，使得f ： J c -f a 上c a c af := f b -f c f cc b-c因为 f c 0，贝U ff : 0因f x在a,b内二阶可导， Uf x在L,门上满足拉格朗日定理条件，故至少存在一点匚- J，使 f” 二:0 oP -CL习题3.2选择1 5 CBABD计算1 求limx"n1 x2 .求 lim 1TJn(1 +x)解：原式二limx1nl x xln 1TX<lnf1+xI = 7in 1 xx=limx ln 10型xi xoln 1xA23求lim上迅x M cos3x型广型广-2cosx 解：原式 Hm0_3sin3x4. 求 lim 1 x2 匚解：令y = 1x2 x,则In yIn 1 x2ln 1 x2 型0 limx )01 x2原式二=1e0-arctgx解：令 § arctgx 二t,贝 U x 二 ctgt故原式二lim tmtgttT令y二严t,则lnyIntIn ctgt=lim，-f sint I 、T 弋 A- csc t) cost ctgt'Tim In y 型 limoJ0 -1=lim Snt lim -costr010原式6.求极限lim xx的+lim xln xIn x=lim 型解：令 y 二 xx,贝 U In y 二 xln xlim -0x )0原式 =17 .求 lim x sin xe -e解：原式0 型ex -e sCOsx° lim -1 cosx0x si nx 2si nx 汀型 e - e cos x e sin x lim >u-3Psinxsin x sin xsirxcoxe coxcox型x sin x 30 型，.e e cosx3e0 lim0x习题3.3略习题 3.43.6(A)选择1 8 CACBC DCD二计算1 .求函数y = x3 -3x2 -9x 14的单调区间。解：y = 3x2 -6x-9=3x1 x-3x si nx当-1 . x : 3 时，y <0当x.3时，y 0故y在-：,-1 及单增，在1_1,3单减2求函数 y =2ex飞的极值。解：八2ex -e1令 y =0 得 x In 22 1当x In 2时，y : : 0，从而y单减1当x-©I n2时，y0，从而y单增 1故x In 2时，y取极小值0 23求函数In2 xy二口的单调区间与极值。x解：2 -In x Inxx令y =0，得x=1或e故可疑极值点1, e2x(0,1 )1(1, e2)2e（e2 严）ry-+-y极小值0极大值弓4.当a为何值时，y =asi nx，-si n3x在x处有极值？求此极值，并说33明是极大值还是极小值。解：目二 a cosx cos3x由于y在x = I处有极值，则y"二 =0，从而a = 23 13 J当x二时，y 0，从而y单增3当X -时，V0从而y单减3故y在x处取得极大值。35. 求内接于椭圆笃篇=1,而面积最大的矩形的边长。a b解：设矩形在第一象限的顶点坐标为x,y，则'x =ac oS (兀J0<0< Iy=bsi 用 I2 J故矩形面积为 S =4xy =4absin v cost - 2absin 2r当时，S取最大值2ab, 4矩形边长分别为2x=： .; 2a和2y 2a。6. 函数y二ax- bx2 cx d a 0的系数满足什么关系时，这个函数没有 极值。解：y" =3ax2 2bx c，因a 0,则y 是开口向上的抛物线要使y没有极值，则必须使y在-：，二是单增或单减即必须满足y 0或y'O故只有2b 2 -4 3ac ： ： 0时，才能使y 0成立即b2 : 3ac时，y没有极值。、24x27. 试证y = xs in x的拐点在曲线y2上。4 + x证：y = sinx xcosx， y =2cosx-xsinx 口心一.Wcosaasi na设(a,b )是尸=xsin x的拐点，贝Ub =asin a即'a=2ctga b =2cosa4a22 24(2ctga)4 + a24 + (2ctga)二 4 cos2 a 二 b2y=xsinx的拐点在曲线y2-4 + xx 18试证明曲线厂有三个拐点位于同一直线上证：八X2+2x + 1 ” _(x+1【X2 _4x+1)X2 1 2，八 x2 13令 y = 0 得：xA -1 , *2=23 , X3= 2r : 3y 一 1 = _1 , y2、3 =3、3-5, y 2 -、33.3-5故三个拐点 A -1,-1 , B2、3,-5 3 3 ,C 2 .3,-5-3、. 3容易验证：A、B、C在同一直线上。9试决定y =kx2 -32中的k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点解：y =4kx x2 -3 , y = 12k x2 -1令y =0,得x胡或-1则拐点为1,4k及-1,4k10在拐点1,4k处切线斜率为y，1 =-8k1从而在拐点1,4k处法线斜率为一，这样法线方程为8k1. 2y-4k= x-1,因法线过原点，所以k -8k820在拐点-1,4k处切线斜率为y -1 =8k ,这样法线方程为1 28k y_4k - x 1,因法线过原点，所以占-故k二时，曲线的拐点处的法线通过原点选择1 6 DBDDCC二计算与证明1 .试证当a b 10时，f x ±业卫取得极值。x -1证X x2xa -b _ 1 a b 1 x-1- _ _x-1-故 a b 10 时，f x =0有解 x = 7a b 1当x : : 1 - . a b 1时，f x ，0,从而f x单增当 1 -. a b xJa b 1 时，f x : : 0,则 f x 单减当x . a b 1时，f x0,贝U f x单增故f x在x = 1i:； a b 1处取得极大值f x在x=1 a b 1处取得极小值-求由y轴上的一个给定点0,b到抛物线X- =4y上的点的最短距离解：设M !, X-是抛物线上任一点，则（0, b倒M的距离为I4 J从而dx Abx二'8 22 +顼一b)4 J令 d = 0 ,得 x = 0 或 x2 = 4b -810当 b 2时，只有一个驻点x = 0当x ：0时，d0,从而d单减当x 0时，d 0,从而d单增故x = 0是d的极小值点，极小值为| b |2.当 b _2 时，有三个驻点 x=0, - 2.b-2 ,2,b-2当x : -2 b - 2时，d A : 0,从而d单减 当-2 . b - 2 : : x : : 0时，d 0,从而d单增当 0 : : x : : : 2 b2 时，d : 0，从而 d 单减当x .24-2时，d 0，从而d单增故x二2、b-2是极小点，极小值为2、b-2习题3.7一选择1. B二计算略自测题一选择1 3 BDC二解答x,xJ -x sin2 x T八？3解：令 y =x3x",贝 U In y 二 3x -2 In x ，从而 y 上 x3x， 3 ?x+3ln x i!Jy xxx3x 2xmx-12x3x_2 3- 3ln x -12 x-1323lnx1 kx )c x0型0 Um 3x 2x'Q -xsin2 x-1x -1x 3皂si i2 x -1=!吧-12 x；1 2 肺 FT=3 2=612 求lim 1 x_ex解:令 y=】11xx，贝 U ln y -In 1 x xx2 1 x0 型 o 刑 x - 1 x I n 1 x 故原式二凹x2( 1 +x)1 卜齐1 nXx"1 beQlne v 23 .设函数fx二次可微，有f x 0 ,f 0 =0,证明f(x)是单调增函数F x = 丁一f 0,证：当xr时，F x =xf X2f X连续XF 0 x - F 0F x -f 0由于 F O ; =limlimZAx二 limf八于 ° limrf ° x 0x 2iofxf) xn 故 F x = x1 f 70)2因为舛肿x巳叫 rx;jx "mLAUf 02x 2所以F x在x=0处连续，故F'x在-:：上连续。令 g x 二 xf x - f x,贝 U g x 二 xf x当x-0时，g>0 , g x单增，从而g x g 01 = 0当 x : 0 时，g x 0 , g x 单减，从而 g x g 0 = 0故 x = 0 时，g x 0,从而 F x i，0因为 f 00,贝U F 00,从而-x ，-:有F x 0,故F x是单调增函数4研究函数f(x)=xeM的极值。解：10当 x : 0 时，f x -xex，从而 f x - -ex4 x 1令 f x =0 得 X=-1当x "-1时，f xi0,则f x单增当x* -1时，x : 0,则f x单减故x = -1是f x的极大值点，极大值为e,2° .当 0 : x ： 1 时，f x 二 xexj,从而 f x 二 ex' x 仆 0说明f x单增，故x=0是极小值点，极小值为03° .当 x 1 时，f x = xe i,从而 f x 二 ei1 - x : 0说明f x单减，故x=1是极大值点，极大值为15. 若f x在la, b 1上有二阶导数f ” x，且a = f b=0，试证在a,b内至少存在一点-，满足f (时兰一一4- |f (b f (aD(b - a)证：由泰勒展式-aa,b，有f x 十冷f1x a2，a ： 1 : xf x = f b gf ； xb2，x2 令 x4，得 2f 土卜心已作严虫)l2 J ' 、24于是 f b - f ab-a 2f ； - f 18令1厂住"ma#f华)| ,|厂住湛，则f(b)-f(a)| * (b-aff fU)|+| f 军 1)P 兰 4®-a)2| f A )|故结论成立。6. 设f x在0,1上具有二阶导数，腆f(x)=T，证明:存在一点-0,1使f r-8证：设x=C是f x的最小值点，因为f X在0,1上具有二阶导数，由题设知 0 : : c 门，f c =0 , f c = 一 1。8J画L'O :草一笠理啤Q-08 士。J | 日J L- = L J 匝P。皓 P L LL0 01 二 L- = om酒 。 o 暑 1"L°-V L- = X 侮回乙X乌。笠。如-U。X。2 J 二 X J肇匹留耋团0O = X笠XJ啤