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1、概率论,1 概率论的基本概念,确定性现象:,两类现象,随机现象：,在一定的条件下必然发生 或必然不发生某种结果的 现象。,在一定条件下，可能发生这样的结果，也可能发生那样的结果，到底发生哪一个结果，试验之前不能确定。,与数理统计,A. 太阳从东方升起；,下面的现象哪些是随机现象？,B. 明天的最高温度；,C. 上抛物体一定下落；,D. 新生婴儿的体重.,随机现象的特点：,带有随机性、偶然性的现象。,具有一定的统计规律性。,（1）试验可以在相同条件下重复进行；,一、随机试验,如果一个试验具备如下特点：,（2）每次试验的结果不止一个，但事先明确 试验的所有可能结果；,（3）进行一次试验之前不能确定
2、哪一个结果 会出现。,则称该试验为随机试验.,以后简称试验,一般用字母E表示试验.,掷骰子试验 掷一颗骰子，观察出现的点数,把随机试验的每个结果称为样本点，一般用ei表示,二、样本空间,全体样本点的集合就组成了样本空间.,样本点e,随机试验E的所有可能结果组成的集合称为样本空间。,样本空间用S或表示.,.,如,(1)试验是将一枚硬币抛掷两次，,则样本空间为,S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T),（2）试验是测试某灯泡的寿命,S = t ：t 0,其样本空间为,三、随机事件：,随机试验的一种结果就对应为随机试验的一个基本随机事件，,例如，在掷骰子试验中，,“掷出1点”,“掷出
3、2点”,简称基本事件.,常用小写字母e等表示,基本事件e1：,基本事件e2,随机试验全体基本事件构成的集合也就是它的样本空间,基本随机事件：,随机试验的一种结果就对应为随机试验的一个基本随机事件，,简称基本事件.,随机事件：,随机试验样本空间的一个子集对应为随机试验的一个随机事件，,简称事件.,例如，掷一颗骰子，观察出现的点数,其样本空间为：,子集：B = 1,3,5,事件 B=掷出奇数点,S = 1,2,3,4,5,6,几种结果,常用大写字母A，B，Ak等表示,（1）随机事件的发生具有偶然性, 在一次试验中，可能发生，也可能不发生.,注意：,（2）在大量重复试验中，随机事件的发生具有某种规律
4、性.,（3）随机事件发生的可能性大小是不 以人们的意志为转移的，,可用概率度量随机事件发生可能性的大小.,例如，在掷骰子试验中，,两个特殊的事件,例如，在掷骰子试验中，,在试验中必定发生的 事件，,在一次试验中不可能 发生的事件，,“掷出点数8”则是不可能事件.,必然事件:,不可能事件：,常用S或表示;,常用表示 .,“掷出点数小于7”是必然事件;,四、事件的关系与运算,1、包含关系,则称事件A包含于B，,若果事件A的发生必然导致事件B发生，,或称B包含A,即一 些随机事件。,2、两事件A与B相等,则称A 与B相等,试验E：掷一颗骰子，观察出现的点数,事件B = 掷出点数为1,3,5,事件 A
5、=掷出奇数点,显然 A=B,3、两事件A与B的和,“事件A、B中至少有一个发生”是一事件,把这一事件称为A与B的和，,记作,试验E：掷一颗骰子，观察出现的点数,事件B = 掷出点数为2,3,事件 A=掷出奇数点,掷出点数为1,2,3,5,记作,“事件 中至少有一个发生”是一事件,把这一事件称为 的和，,试验E：掷一颗骰子，观察出现的点数,事件B = 掷出点数为2,3,事件 A=掷出奇数点,掷出点数为1,2,3,4,5,事件C = 掷出点数为4,4、两事件A与B的积,“事件A与B中都发生”是一事件，,把这一事件称为A与B的积，,记作,试验E：掷一颗骰子，观察出现的点数,事件B = 掷出点数为2,
6、3,事件 A=掷出奇数点,掷出点数为3,AB,“事件 都发生”是一事件,把这一事件称为 的积，,试验E：掷一颗骰子，观察出现的点数,事件B = 掷出点数为2,3,事件 A=掷出奇数点,事件C = 掷出点数为4,记作,“事件A发生而事件B不发生”是一事件，,把这一事件称为A与B的差，,记作,5、两事件A与B的差,试验E：掷一颗骰子，观察出现 的点数,事件B = 掷出点数为2,3,事件 A=掷出奇数点,掷出点数为1,5,6、互不相容事件,如果事件A、B不能同时发生,则称事件A、B互不相容或互斥。,事件A、B互不相容,事件B = 掷出点数为2,3,事件 A=掷出奇数点,事件C = 掷出点数为4,试验
7、E：掷一颗骰子，观察出现 的点数,则事件 A、B,相容,A、C,互不相容，,B、C,互不相容,注意：,（1）在一次试验中，各基本事件是互不相容的,（2）,事件A、B、C互不相容,试验E：掷一颗骰子，观察出现的点数,事件B = 掷出点数为2,3,事件 A=掷出奇数点,事件C = 掷出点数为4,而事件 A、B,相容,7、对立事件,“事件A不发生”是一事件，,称为A的对立事件或逆事件，,记作,事件A、B对立,事件A、B互不相容,小结：,1、包含关系,2、相等关系,3、不相容关系,4、对立关系,5、和事件,6、积事件,7、差事件,结合律,分配律,德摩根律,交换律,事 件 运 算 的 基 本 规 律,P
8、4-5,例1 从一批产品中任取两件，观察合格品 的情况.,问：,记A=两件产品都是合格品，,两件产品不都是合格品,=两件产品中恰有一个是不合格品 两件产品中都是不合格品,若记 Bi =取出的第 i 件是合格品，i=1,2,问如何用 Bi 表示A和 ？,A=,A=两件产品都是合格品，,=两件产品中恰有一个是不合格品 两件产品中都是不合格品,B1B2,1. A发生, B与C不发生,例2 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件.,或,2. A与B都发生,而C不发生,或,3. A、B、C中至少有一个发生,ABC,4. A、B、C都发生,或,ABC,恰有1个发生,恰有2个发生,AB
9、C,3个都发生,5. A、B、C中至少有两个发生,ABBCAC,或,6. A、B、C都不发生,ABC,恰有2个发生,3个都发生,或,7. A、B、C中不多于一个发生,恰有1个发生,3个都不发生,8. A、B、C 中不多于两个发生,或,或,至少有1个不发生,例3 判断下列命题或运算是否正确,1.若A=B, 则A、B同时发生或A、B同时不发生.,因为A=B意味着,即A发生能推出B发生，,即B不发生能推出A不发生， A不发生能推出 B不发生.,B发生能推出A发生.,2. 事件“A、B至少有一个发生”可表为,因为,3. 若 ，则A1 , A2 ,，An 互斥.,错误,而 不能保证A1 , A2 ,，A
10、n 中任意两个事件都互斥.,4. 若A1, A2 ,，An互斥，则其中任意k个事件互斥(2 k n).,5. A、B互斥是A、B互逆的必要条件，但非充分条件.,除要求A、B互斥即AB= 外，还要求 A+B=S,两事件A、B互逆或互为对立事件:,事件A、B对立(互逆）,事件A、B互不相容（互斥）,6. “A、B都发生”与“A、B不都发生”是对立事件.,7. “A、B都发生”与“A、B都不发生”是对立事件.,错误,因为A、B都发生是,AB,A、B都不发生是,AB的对立事件是,8. 事件“A、B至少发生一个”与“A、B最多发生一个”是对立事件.,错误,与,不互斥,因为,9. 设A、B为任意两个事件，则AB-A=B,错误,AB- A,因为,请看下图,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道,这就是事件的概率,在一次试验中一个事件出现的可能性大小，,
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