浅谈面积关系在中学数学中的应用

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1、浅谈面积关系在中学数学中的应用 朱海娟贵州电视广播大学， 数学与应用数学， 邮编 565200 摘要：利用图形的面积关系可以解决中学数学在一些比较难的问题，它不仅是几何中解决计算问题的工具，而且有些代数问题中也有着巧妙的应用，也是生活中的适用工具，为开创解决数学问题的新空间起到了良好的媒介作用。本文就面积关系在几何证明题、代数证明题以及概率题、定积分及面积的求法等方面的应用，浅谈面积关系在中学数学中的运用，希望能起到抛砖引玉的作用。 关键词：面积关系 媒介作用 Abstract: May solve the middle school mathematics using the graph a

2、rearelations in some quite difficult question, it not only is in thegeometry solves the estimation problem tool, moreover in some algebraquestion also has the ingenious application, played the good mediumrole for the foundation solution mathematics question new space. Thisarticle on the area relatio

3、ns in geometry aspect the and so on prooftopic, algebra proof topic as well as probability topic application,hoped can play the role which offers a few ordinary introductoryremarks so that others may offer their valuable ideasKey word: Area relations medium function 引言：面积关系的理论依据是：整个图形的面积等于其各部分面积之和；两

4、三角形等底时，面积比等于高之比；两三角形等高时，面积比等于底之比；两三角形相似时，面积比等于相似比的平方等等。勾股定理是我国古代文化的伟大成就，是极其重要的定理，它揭示了直角三角形的三边之间平方关系，对于一些与直角三角形面积有关的问题运用勾股定理求解方便快捷微积分是一门伟大的学科用微积分求解函数图像构成的面积非常方便，用面积关系解题，可以不作辅助线，或少作辅助线，方法很多，如转化法、和差法、重叠法等等方法，相对来讲，都是将已知和未知纳入一个系统来考察相互关系，从而达到化繁为简的目的。一、 面积关系在几何证明题中的应用几何学的产生，源于古人们测量土地面积的需要面积不仅是几何学研究的一个重要内容，

5、而且也是用来研究几何学的一个有力工具例1、如图1，用表示内一点到三边的距离为分别表示其对应高。求证：为定值。分析：本题虽然可通过作辅助线根据相似形的相似比进行推理证明，但其过程之庸长让人难以接受，所以要求我们另相办法，通过思考我们应该发现与分别是ABC和BPC的高而且这两条同底，于是可以将它们的比用这两个三角形的面积比来表示。其它两个比类同。 证明： 且 ，A A ,同理有和，X h X 图1BC 故为定值1说明： 本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决BBC ACBC ADBC AABC AFBC AEBC A例2、已知ABC的三条高的比是345，且

6、三边长均为整数，则ABC的边长可能是（ ）A、10 B、12 C、14 D、16 图2分析：本题已知三角形三高的比求三边长， 图2由于三角形的面积就等于边与这边上的高的积的一半，这样才与边发生联系，显然应与三角形的面积联系起来考虑。 解：依题意作图（如图2）设ABC的高分别为AD、BE、CF、且设ADBECF=345，若AD+BE+CF=，则有AD=，BE=，CF=，又设，则，于是BCACAB=又BC、AC、AB均为整数，则必为3、4、5的最小公倍数，取，BC=20，AC=15，AB=12，AB=12符合题目答案B，故应选B。 例3、如图3，ABCD是面积为的正方形三角形DPC为正三角形，则三

7、角形BPD的面积为PBA（A） （B） OCD（C） （D）图3解：分析边AC交BD于O连OP则PO BC据等积定理二、 面积关系在代数中的应用（整体构形） (一）面积关系在代数证明中的运用。古老的勾股定理的证明方法须已多达几百种，但其中最简单的证明方法是面积关系，根据定理， 我们不难做tABC和正方形CDFH：（图1） a也不难证明，HFGbc即它们的面积都相等，同时也不难证明：图中的AaCDBEbacb000000cb000000c小四边形ABEG也是正方形，于是由 得 这样将几何证明问题转化为代数变形问题，这就是面积关系的主要优势，也就容易得出证明结论。从勾股定理的面积证明过程中我们发现

8、，三角形的面积关系良好地揭示了构成正方形的各量之间的数量关系。于是产生了下面应用在不等式中的证明题； 例1、已知 x,y,z求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1AEC 图图DBF分析：观察到：x+(1-x)=y+(1-y)=z+(1-z)=1及乘积式，联想到用面积公式.原式的三项具有轮换对称性，而每项又是乘积的形式，故可以将它看成同一三角形各角处的一块与原三角形的面积关系的大小.证明：如图2，构造边长为1的正三角形，则SAEF+SBDF+SDCE=图2 x(1-y)sin600+ y(1-z) )sin600+ z(1-x) )sin600SABC= 11sin6001，故x(1-

9、y)+y(1-z)+z(1-x)1例2、如图3，已知、均为正整数。且求证：2。（全国数学联赛试题）ABEWEHFCDGAA分析：本题由于构成积的字母与和的字母是错位的，这样用代数方法证明便是困难重重的，但我们把、中每两的和视为正方形的一边,与例1相结合思考,那么不难想到运用面积关系证明。证明：作连长为1的正方形ABCD，并依次在四边上取点E、F、 G、H，设AE=、EB=、BF=、CF=、CG=、DG=、DH=、HA=，分别连结EF、FG、GH、HE，得R tHAE、R tEBF、 R tFGC、 R tGDH， 由三角形面积公式得：、 1 即2（二）用代数法求解面积关系。将图形按形状、大小分

10、类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法，有时候用起来得心应手。例 如图，正方形的边长为a，分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画弧，求图中阴影部分的面积。 解析：设阴影部分的面积为x，剩下的两块形状、大小相同的每块面积为y，则图中正方形的面积是，而是以半径为a的圆面积的。故有，。解得。即阴影部分的面积是。三、 面积关系在概率中的应用一些简单随机事件发生的概率除了常用列表或画树状图帮助分析求解外，有时还可用面积关系计算. 例1、 如图1，转动转盘，求转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率。分析 观察图1，显然有阴影部分的面积占整个圆面积的一半，故P（阴影部分）=例2、

11、 小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆（如图2），然后蒙上眼睛，并在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内（半径为3m的圆内）不算。（1）你认为游戏公平吗？为什么？（2）游戏结束，小明边走边想：“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算不规则图形的面积呢？”请你设计一个方案，解决这一问题。（要求画出图形，说明设计步骤、原理，并给出计算公式。） 图1 解（1）不公平。 图2因为P（阴影部分）=即小红胜的概率为，小明胜的概率为，所以游戏不公平。（2） 可以利用频率估计概率的实验方法估算不规则图形的面积。方案：设计一个可测量面积的规则图形将

12、不规则图形围起来（如面积为S的正方形），如图所示；向图形中掷点（如蒙上眼向图形中随意掷小石子，掷在图外不记录）；当掷点数充分大（如1万次），记录并统计结果，假设掷入正方形内m次，其中n次掷入不规则图形内；设不规则图形的面积为S1，用频率估计概率，即频率（掷入非规则图形内）概率P（掷入非规则图形内）=，故从而得。四，面积关系在定积分中的运用。 求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧.1、利用积分变量求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便. 例8 求抛物线与直线围成的平面图形的面积解

13、析：如图1，解方程组得两曲线的变点为方法一：选取横坐标为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部积分之和，即方法二：选取纵坐标为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即从上述两种解法可以看出，对y积分比对x积分计算简捷.因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对y积分时，积分函数应是，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为的形式，然后求得积分另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，哪种方法去求解，面积是不会变的。2、利用对称性在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段. 例如 求由三条曲

14、线所围图形的面积.解析：如图2，因为是偶函数，根据对称性，只算出轴右边的图形的面积再两倍即可解方程组和得交点坐标 方法一：选择为积分变量，则方法二：可以选择y为积分变量，求解过程请同学们自己完成.点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度.五 中学数学教学中，求面积的方法很多，如（1）转化法：此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。（2）和差法:有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简

15、的目的。(3)补形法:将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积.(4)重叠法:就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。（5）补形法：将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。当然，求面积的方法很多，其主要是要准确认清其结构，理顺图形间的基本代数关系、几何关系，再想办法解决，这里就不一一举例了。 在平面图形面积的求法与教学过程中，教师们往往重结果而非过程，教师理所当然的想把把所有的数学知识都灌输到学生的脑子里，这种教法实际上是孤立地传授知识的细节部分，缺乏对数学知识整体联系的理解

16、。在新形势教育理念下，新课程主张，“重结果更重过程，过程比结果更重要”，在实际教学中，结合学生实际情况，让学生经历知识的形成与应用过程，在知识的发生与发展过程中渗透数学思想方法。特别对于平面图形的面积的求解中更应让学生体验数学思想方法和空间的想象能力，比求结果重要。在教学中，一方面要讲清数学概念，另一方面要引导学生挖掘其中的解题过程。有的时候在解题时可能会发生题中所给的信息中产生信息，从同一来源产生各种各样为数众多的信息。即从问题的多种可能方向扩散出去，探索问题的多种解法。可使思维广阔，对一个问题能根据客观情况的变化而变化。在学生的脑海中形成解题的三步曲：观察联想转化，通过对题目的观察，由概念

17、、原理、法则的接近而产生的联想，由命题的已知条件和结论的外表形态与结构特征，想到相关的、相似的定义、定理、公式和图形等，通过变化使面临的问题转化为自己会解决的问题。上面例题解答方法中就是通过这样的模式在学生思维中转化，从而在学生思维中形成独立的、连动的、多向的、跨越的、综合的网络模式，从三个层次进行解答，即一般性解决、功能性解决和特殊性解决。如上的例题中都是从这三个层次分析解答的。不管是平面图形还是其他问题，解题的目的有三个方面：知识基础性、方法技能性、观念意识性，在生活中分别对应着认识论、方法论、世界观。当然上面解题的目的也可以分四点来论述:一、加深理解概念，巩固拓展知识；二、掌握数学方法，

18、培养数学技能；三、领会数学思想，训练思维品质；四、发展个性心理，形成科学精神。平面图形面积的求法方法很多，也很抽象，学生可能一下子不能接受太多的观念，有时可能还会产生一种厌烦心理，建议在平时教学中从学生的实际出发，以学生为主导，充分发挥教师的引导作用，在正确的引导下，更要善于激发学生对数学的求知欲和学习的兴趣，引导学生积极开展讨论活动，注意思维的形成过程，要学会主动获得知识的意识，有利于注重调动学生的学习主动性,引导他们独立思考,积极探索,生动活泼地学习,自觉地掌握科学知识，提高分析问题、解决问题的能力，充分体现了学生的主体特性。学生只有主动参与其中,亲身感受、体会、思索、提炼才能逐步领悟、形

19、成、掌握数学思想方法，才能解决问题。结束语：利用面积关系不仅能够解决多种多样的题目，而且在它的基础上还能够发展成一般理论。使学生和教师都得到成长，在实际问题中我们还可以得到思维的升华。比如我们可以用面积关系来建立某些函数的定义（可以把“sinX”定义为边长为1夹角为X的菱形的面积）这样从定义出发很容易导出sinX的一系列性质。如果我们不限于研究直线所组成的面积的话，而进一步研究曲线所包围的面积，那就进入了高等数学的领域。当然有些简单的面积的求法也是我们中学生能解决的问题。参考文献：1,张景中编面积关系帮你解题 上海教育出版社 1982.122,周春荔 张树文 王立雨 赵升初编初中数学奥林匹克接题方法大全山西教育出版社 2003.123,李长明 周焕山编初等数学研究高度教育出版社 1995.6