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1、第54练 平行与垂直综合练训练目标能熟练应用线面平行、垂直的定理及性质证明平行、垂直问题训练题型(1)证明线线、线面、面面平行与垂直；(2)探求平行、垂直关系成立时满足的条件解题策略用分析法找思路，用综合法写过程，注意特殊元素的运用.1.(2016天津模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点求证：(1)EF平面C1BD；(2)A1C平面C1BD.2如图所示，在RtABC中，AC6，BC3，ABC90，CD为ACB的平分线，点E在线段AC上，CE4，将BCD沿CD折起，使得平面BCD平面ACD，连接AB，BE，如图所示，设点F是AB的中点(1)求证：DE平面
2、BCD；(2)若EF平面BDG，其中G为AC上一点，求三棱锥BDEG的体积3.如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，AB，BC1，E，F分别是AB，PC的中点，DEPA.(1)求证：EF平面PAD；(2)求证：平面PAC平面PDE.4(2016北京海淀区下学期期中)如图1，在梯形ABCD中，ADBC，ADDC，BC2AD，四边形ABEF是矩形，将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1平面ABCD，M为AF1的中点，如图2.(1)求证：BE1DC；(2)求证：DM平面BCE1；(3)判断直线CD与ME1的位置关系，并说明理由答案精析1证明(1)如图，连接AD1，E，F
3、分别是AD和DD1的中点，EFAD1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABD1C1，ABD1C1，四边形ABC1D1为平行四边形，即有AD1BC1，EFBC1.又EF平面C1BD，BC1平面C1BD，EF平面C1BD.(2)如图，连接AC，则ACBD.在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，BD平面ABCD，AA1BD.又AA1ACA，AA1平面AA1C，AC平面AA1C，BD平面AA1C，A1C平面AA1C，A1CBD.同理可证A1CBC1.又BDBC1B，BD平面C1BD，BC1平面C1BD，A1C平面C1BD.2(1)证明取AC的中点P，连接DP，因为在RtABC中，
4、AC6，BC3，ABC90，CD为ACB的平分线，所以A30，ADC是等腰三角形，所以DPAC，DP，DCP30，PDC60.又点E在线段AC上，CE4，所以AE2，EP1，所以EDP30，所以EDC90，所以EDDC.因为平面BCD平面ACD，且平面BCD平面ACDDC，所以DE平面BCD.(2)解若EF平面BDG，其中G为AC上一点，则易知G为EC的中点，此时AEEGGC2.因为在RtABC中，AC6，BC3，ABC90，CD为ACB的平分线，所以BD，DC2，所以B到DC的距离h.因为平面BCD平面ACD，平面BCD平面ACDDC，所以B到DC的距离h就是三棱锥BDEG的高，所以三棱锥B
5、DEG的体积VSDEGh.3证明(1)如图，取PD中点G，连接AG，FG，因为F，G分别为PC，PD的中点，所以FGCD，且FGCD.又因为E为AB中点，所以AECD，且AECD.所以AEFG，AEFG.所以四边形AEFG为平行四边形所以EFAG，又EF平面PAD，AG平面PAD，所以EF平面PAD.(2)设ACDEH，由AEHCDH及E为AB中点，得，又因为AB，BC1，所以AC，AHAC.所以，又BAC为公共角，所以HAEBAC.所以AHEABC90，即DEAC.又DEPA，PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以DE平面PAC.又DE平面PDE，所以平面PAC平面PDE.4(1)
6、证明因为四边形ABE1F1为矩形，所以BE1AB.因为平面ABCD平面ABE1F1，且平面ABCD平面ABE1F1AB，BE1平面ABE1F1，所以BE1平面ABCD.因为DC平面ABCD，所以BE1DC.(2)证明因为四边形ABE1F1为矩形，所以AMBE1.因为ADBC，ADAMA，BCBE1B，AD平面ADM，AM平面ADM，BC平面BCE1，BE1平面BCE1，所以平面ADM平面BCE1.因为DM平面ADM，所以DM平面BCE1.(3)解直线CD与ME1相交，理由如下：取BC的中点P，CE1的中点Q，连接AP，PQ，QM，所以PQBE1，且PQBE1.在矩形ABE1F1中，M为AF1的中点，所以AMBE1，且AMBE1，所以PQAM，且PQAM.所以四边形APQM为平行四边形，所以MQAP，MQAP.因为四边形ABCD为梯形，P为BC的中点，BC2AD，所以ADPC，ADPC，所以四边形ADCP为平行四边形所以CDAP且CDAP.所以CDMQ且CDMQ.所以四边形CDMQ是平行四边形所以DMCQ，即DMCE1.因为DMCE1，所以四边形DME1C是以DM，CE1为底边的梯形，所以直线CD与ME1相交
2018届高三数学第54练平行与垂直综合练
