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1、高中数学教学论文（第二类）常用逻辑用语教学过程中的困惑及其反思摘要：新课程在选修中开设常用逻辑用语内容，较老教材的简易逻辑有很大的不同，不少教辅用书也常犯一些典型错误，教师在这块内容把握上也有诸多的疑惑；学生更是在不少问题的看法上出现了正与误的激烈争执。关键词：逻辑、命题、量词、否定、困惑 在新课程实施过程中，大家都会碰到很多问题和困惑，而正是在我们思考解决的过程中，新课改才不断地深放到课堂教学中。 下面就谈谈本人在教学中的一些困惑和反思。一、困惑：1 关于“命题”的定义 首先看教材给出的定义：可以判断真假的陈述句叫做命题，判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。 本人产生的因惑是
2、：（1）何为“可以”；（2）“真”“假”的区分标准是什么；（3）命题是否一定具备唯一的真假性？ 举例1：语句“小明是高一的学生”是命题吗？若这个人是认识小明的，自然可以判断这个语句是真是假，但这个人若不认识小明，那么这个人又怎么能进行判断呢？故这个语句能否说它是命题呢? 举例2：（摘自中学数学教学参考2008年12杂志中的第47页高考数学模拟新题集锦）已知命题P：关于x 的不等式恒成立；命题Q：关于x的函数在0，1上是减函数。若P或Q为真命题，P且Q为假命题，则实数的取值范围？本人产生的困惑：“不等式的解集为R”这个语句能否称之为命题？我与教研组同事讨论之后得到的几种说法：说法1：由于不知的具
3、体值，故无法对其判断真假，所以该语句不能称之为命题；说法2：当2时，该语句为真命题；当2时，该语句为假命题；说法3：因为当=2时，该不等式的解集不为R，则该说法错误，故该语句为假命题。若将上例做一改动，即删除相关的命题概念则就不会存在如此之多的不解，如：已知P：关于x 的不等式恒成立； Q：关于x的函数在0，1上是减函数。若P与Q有且只有一个正确，则实数的取值范围？出题者可谓是煞费苦心，此题不仅能通过对“p或q”，“p且q”真假性的考查，还可以考查学生求解含参不等式恒成立，函数单调性等知识点，能够考查学生的基础知识、基本技能与问题转化能力。对于说法2，很多教师在教学当中也不知不觉地讲述过此类话
4、语，但岂不是出现“一个命题，它既可是真，也可以是假的”这是不是与命题的定义相违背呢？ 由此本人对“p或q”，“p且q”真假性的定义产生了疑惑：首先来看教材给出的定义：（1）当p，q两个命题有一个命题为真时，“p或q”是真命题，当p，q两个命题都是假命题时，“p或q”是假命题，（2）p，q两个命题都是真命题时，“p且q”是真命题，p，q两个命题有一个命题为假时，“p且q”是假命题。显然根据定义，“p或q”，“p且q”真假性的判断是基于p,q两个均为命题的前提之下的，那么当p，q不是命题时，是否还所谓有“p或q”，“p且q”真假性呢？故给我的提示是我们老师在编题时注意概念的严谨性，不能为了考查某个
5、知识点，而去刻意的编织框架。对于说法（3）是来自学生的解答，认为p,q均为假命题，则题目中的条件“p或q”为真命题，“p且q”为假命题自相矛盾，此题不能求解。这恐怕更是出题者不曾想到的。举例3：下列语句是不是命题，若是，判断真假：语句（1）;语句（2）对于所有的（摘自教材1.4节）教材当中是这样解释的：语句（1）含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它的真假，因而不是命题，语句（2）在（1）的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定，从而语句（2）成为可以判断的语句，因此，语句（2）是命题。基于这样的解释，我们自然会对上述两个举例似乎有了一个借鉴的案例，上述疑惑也似乎得以解决，但本
6、人又想到：对于所有的算是对变量x的限定吗？因为在教材第一节中阐述“命题”定义时，在旁白的注释中指出“对于含变量的命题，若变量的取值范围为R时，则可以省略不写”，那自然我们可以认为语句（1）（2）是一样的，如此，教材又岂不是前后自相矛盾吗？2、关于四种命题的真假关系首先看这个命题1：“若，则x0”的真假性一拿到这个命题，我们很自然认为它是一个假命题，因为此不等式的解集为空集，显然x0不成立，故此为假命题。我们再来看它的逆否命题2：若，则，显然这是真命题。如此，本人的疑惑不禁产生：“原命题与其逆否命题同真假”是否还成立？我在中学数学教学参考中看到这样的解释：此不等式的解集为空集，而空集是任何集合的
7、子集，故可推出x0成立，则原命题1是真命题。对于此解释本人认为有一定合理的一面，从集合的角度，借助充分性的逻辑推导，但我们也应该看到，一旦这种说法成立，那么以后学生解这个不等式的答案岂不是可写成？3、 关于命题的否定与否命题教材在讲否命题时是这样定义的：其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件和结论的否定，我们把这样的的两个命题叫做互否命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做的否命题，也就是说“若p则q”形式的否命题为“若p则q”。基于此定义，本人又有这样的困惑：（1）何为否定？（2）每个命题是否都有条件和结论？对于否定，教材在后面的两节内容简单的逻辑联结词和全称量词与特称量词中给
8、出了相关”否定”的规定:一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作p,读作”非p”或”p的否定”;并且规定:若p是真命题, p为假命题,若p是假命题,则p为真命题. 对于这些规定,似乎我们以明确如何去否定,教材当中给出一些例子加以说明:如：“y=sinx是周期函数”的否定为“y=sinx不是周期函数”等类似这样的简单命题的否定，但我还注意到教材在旁白中提出“注意命题的否定与否命题的区别”。那么“y=sinx是周期函数”的否命题又是怎样去写呢，有些学生就说其否命题为“y=sinx不是周期函数”，这样又如何让学生去理解注意命题的否定与否命题的区别呢？有些教师为了让学生能将其区别开来，又特
9、地举了“若p则q”形式命题的否定，加以区分。这样确实有一定的效果，但我注意到教材在处理例子的时候，似乎在回避对“若p则q”形式命题的否定。本人在一本课外参考书看到一道题，题目是这样的：写出下列命题的否定（1） 若x,y都是奇数，则x+y是偶数参考答案：若x,y都是奇数，则x+y不是偶数（2） 若一个数是质数，则这个数是奇数参考答案：若一个数是质数，则这个数不一定是质数使我困惑的是：“是”的否定究竟为“不是”还是“不一定是”如果将（1）的否定写成“若x,y都是奇数，则x+y不一定是偶数”；（2）的否定写成“若一个数是质数，则这个数不一定是质数”为什么不行呢？我们自然可以用“非p”与“p”的真假相
10、反加以驳斥，这样的解释也合情合理。但我们是不是再来思考这个问题：（1）（2）两个命题的否命题怎么写呢？如（2）的否命题是写成“若一个数不是质数，则这个数不是奇数”，还是写成“若一个数不是质数，则这个数不一定是奇数”；还是写成“若一个数不一定是质数，则这个数不一定是奇数” ；还是写成“若一个数不一定是质数，则这个数不是奇数”。由于互否关系个命题的真假性不存在必然性，所以我们应写成哪个形式呢？还是一个命题的否命题并不唯一？正因为这些不确定，这也使我理解教材在例子选择处理时的原因了。二、反思 有关命题的各种争论也由来已久，作为一线教师，特别是像本人这样的年轻教师在日常的教学中更应注意些什么问题呢？我
11、想应搞清以下几方面：1 知识内容的整体定位为了更好地把握常用逻辑用语的要求，首先需要明确整体地位。标准对常用逻辑用语这部分内容的整体定位如下：“正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自已的思想。在本模块中，学生将在义务教育基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流。”“常用逻辑用语”的课程目标是帮助学生正确使用常用逻辑用语，更好地理解数学内容中的逻辑关系，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流避免在使
12、用过程中产生错误。高中数学课程中，学“常用逻辑用语”不是为逻辑学和数理逻辑打下基础，这与老教材中“简易逻辑”的目标是不同的。在高中阶段，我们没有必要形式地理解常用逻辑用语在“逻辑学”和“数理逻辑”中的确切含义。重点是理解常用逻辑用语在认识和表达数学中的作用。对于“常用逻辑用语”的学习，我们不应侧重于概念上，而是重在使用，在使用中不断地加深对常用逻辑用语的认识。2 教学要求的定位根据标准具体内容的要求上，新课程与老教材相比有明显的区别。新课程在要求上较老教材低了一些，在本部分教学中，我们应突出实例，淡化形式，例如，对于一个具体的命题，理解它的否定命题的真假并不难。但是，对于一般形式的命题“若p则
13、q”,认识这个命题的否定的含义就比较困难，因此我们不需要形式地讨论这类问题。在平常地教学中，我们应尽量避免举一些容易产生岐义或混淆的例子，我们应以学生已经学过的数学内容作为载体，帮助学生会正确地使用逻辑用语，加深对已学过的数学知识之间的逻辑联系和数学本质的认识，注重联系，强调数学本质。3重新理解命题的定义判断和命题都是逻辑学中的词语。所谓判断,就是认识主体(思维者)对客体(思维对象)有所断定的思维形式,或者说,判断是思维者对思维对象有所肯定或有所否定的思维形式。判断有两个基本特征:一是对思维对象“有所断定”,二是有“真假之分”。而命题逻辑学上指表示判断的语言形式,由系词把主词和宾词联系而成。通
14、俗地说命题就是表示判断的语句。由于表示判断的语句是有真假意义的,而具有真假意义的语句通常是对某一事情的断言,所以新课程把“可以判断真假的陈述句叫命题”也并无不妥。当然“可以判断真假”指语句具有“有所断定”的特征,而并不表示我们是否有能力或是否已经确定了其真假。故在前文当中“小明是高一的学生”这个语句是否是命题得到了很好的诠释。4 理解新增内容-量词新课程在这章的编写意图上确实较老教材有较大的改善的提高，如全称量词和特称量词的提出，对于学生在数学逻辑的训练有较大的好处：如反证法的正确使用。基于标准中对量词的要求，我想我们在教学中应当作为整章的侧重点之一，可以观注以下两面方面：（1）在教学中通过实
15、例，结合具体命题帮助学生来理解全称量词、存在量词的意义，了解量词在日常生活和数学中的各种表达形式及作用。（2）教学中重点应在解决含有一个量词的命题的否定形式现举例加以说明：P:奇数是质数;怎么写它的否定？非q:奇数不是质数.这时,p是假,“非p”也是假,又与复合命题的真值表矛盾了.问题又出在哪里呢?事实上,命题p省略了“全称量词”,这里的“奇数”是指“所有的奇数”,而全称量词的否定应是存在量词,所以p即为:所有奇数都是质数.“非p”应为:有些奇数不是质数.也可写成:奇数不都是质数.还可写成:存在一些奇数不是质数.这样,p假,“非p”真.由上例，我们可以看出，在写相关命题的否定时，不应关注形式，
16、而应看其本质，帮助学生养成正确的数学表述。三、建议数学是一门严谨的、逻辑性很强的学科,处处涉及命题之间的逻辑关系, 数学和逻辑的联系非常紧密,涉及的面很广,本教材在讲述时有些地方时不是很明确，而我们从不同的角度考虑也确实存在一些矛盾，用简易逻辑知识来回答中学数学教学实践中遇到的问题,确实是力不从心,有时甚至是不可能的。因此对某些“矛盾”,在中学阶段采取“回避”的处理方式可能更为恰当,“完美”的解答有待进一步的学习来解决。但对于我们的高中生而言，在高考这个指挥棒下，容易使学生产生困惑甚至迷茫，负面效应不容忽视，这显然不是我们愿意看到的。使我想到，我们的新教材在内容的选编上是否有一定的不合理性，所
17、以本人认为能否在一些定义上加以改进，如：（1）“命题”定义可否更好地与初中教材的定义衔接，（2）可否删除“命题”的概念体系。 对于高中生他以具备判断能力，只要能让学生会判断某语句说法正确与否，即已达到我们的教学目的了，又何必非要加上是真命题还是假命题呢？所谓上文提到的有关命题的否定与否命题的相关困惑，如果删除“命题”的概念体系，这样的困惑自然也就消除了，而事实上，命题的否定其本质就是相互对立事件，学生能够找出其对立事件，或从集合的角度取出其补集，即也达到了我们的教学效果，或许这样更加轻松地让学生来接触逻辑学。以上是本人的一些教学感悟，不当之处还请批评指正。参考文献：1中学数学教学 中学数学“简易逻辑”教学思考2003年第5期 郭世平 2中学数学通讯简易逻辑中的几个常见错误及教学建议2002年第15期 王晓明3中国社科院语言研究所词典编辑室。现代汉语词典(M),2002年增补本 北京:商务印书馆4数学教学研究与案例王尚志 高等教育出版社2006.125中学数学教学参考2008年12期 高考数学模拟新题集锦陈小鹏5
高中数学教学论文：常用逻辑用语教学过程中的困惑及其反思
