数学建模论文储油罐的变位识别与罐容表标定

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1、储油罐的变位识别与罐容表标定摘要：本文针对储油罐变位问题，系统地研究了变位后标高与罐容量的关系，从而对罐容表进行了重新标定。对于问题一 ：首先，利用积分公式建立罐容量关于标高和倾斜角的理论模型。考虑到温度等因素的影响，理论值与实际值之间存在偏差，故我们引入修正因子，对模型进行改进。在倾斜角取值时，运用软件编程得到理论罐容值，运用非线性最小二乘法拟合，确定修正因子的值为0.96629。其次，我们利用改进后的模型，计算给出罐体变位后标高间隔为1cm的罐容表标定值。最后，通过对罐容量的修正值及实际值进行比较、分析，得出修正模型是较为合理的。对于问题二：首先，利用积分公式建立罐容量关于标高和变位参数（

2、纵向倾斜角度和横向偏转角度）的理论模型。类似于问题一，我们也需要引入修正因子来改进模型，通过非线性最小二乘法拟合确定修正因子值为1.0066。然后得到标高相应的含参数罐容量理论值，从而得到理论出油量，再运用最小二乘法建立了优化模型，使得理论出油量与实际出油量差值的平方和达到最小。通过软件对分别进行网格搜索，从而确定参数的值为：.得到理论罐容量表达式。进而给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。最后，在参数均取0值时，利用计算出罐容量的理论值和实际值的相对误差为：0.5%，因此我们有充分的理由认为所建的模型是准确可靠的。 关键词： 修正系数因子 最小二乘法 优化模型 网格搜索 一、

3、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解

4、决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10的罐容表标定值。进一步

5、利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。(附件及图省略)二、 问题假设与符号说明1、 问题假设（1） 假设油罐无变形；（2） 忽略进/出油时油面波动对浮标的影响；（3） 假设入油对倾斜角无影响；（4） 忽略油管及探针的体积；（5） 忽略小椭圆油罐的壁厚；（6） 忽略温度、气压、油料粘性等因素对油料体积的影响。2、 符号说明 小椭圆型储油罐未变位时的储油部分横截面积 小椭圆型储油罐变位后处的储油部分横截面积 小椭圆型储油罐变位后的进油时处的油位高 小椭圆油罐截面的短半轴0.6 小椭圆油罐截面的长半轴0.89 测得的标高（探针读数） 罐体（柱体部分）长度 实际罐体圆柱部

6、分截面圆的半径 小椭圆型储油罐罐容量的修正因子 实际储油罐罐容量的修正因子 小椭圆型储油罐罐容量 实际储油罐实际罐容量 纵向倾斜角度 横向偏转角度 实际储油罐理论罐容量三、 问题背景分析 问题中的卧式油罐的储油量的多少，是通过测得的罐内标高后对照预先标定的罐容表而确定的。在无变位时，罐内油位高度在罐体纵向方向上保持一致，此时测得的位标高具有代表性且与罐容表标定值是一一对应关系；然而在油罐变位后，油面仍然保持水平，而纵向方向上任意位置的油位高度发生了变化，不再保持一致，测得的标高仅是探针位置的油位高度。故以此时的标高来对照无变位时设定的罐容表，得到储油量的值是不准确的。因此，我们要通过研究变位后

7、罐内储油体积与标高的关系，重新修订罐容表标定值，从而使罐内储油体积可由标高和罐容表确定。通过分析附件1中数据，我们发现进油、出油时标高对应的罐容值偏差很小，故在以下的讨论中，我们只研究进油情况。四、 问题（1）的模型建立与求解1、 问题分析 通过计算得到变位前后标高实际对应的储油体积表（见附表1），拟合得到曲线图：图1变位前后标高实际对应的储油体积曲线图注：实线表示变位前，虚线表示变位后。从图1中，我们发现变位后同一标高对应的储油体积减小了。 根据题意，我们对变位后的油罐建立坐标系如图1、2所示。则椭圆截面方程为： 图2 小椭圆油罐横截面坐标图油面图3 小椭圆油罐正面坐标图首先，我们讨论变位前

8、标高与罐内油量（我们用体积表示）的关系。不难看出，此时油的体积=截面积罐体长。其中截面积由积分公式可得：= = ；运用数学分析知识对不定积分求解：所以定积分则储油量.然后，我们讨论变位后的情况：一方面，因为轴方向上各点到液面的高度（油高）随的改变而改变，所以截面积的积分上限也改变，因而截面积随的改变而变化。另一方面，由于倾斜角为，在图2中液面曲线即为油高线且斜率，从而可以确定在油罐底部轴方向上的任一位置到油面的距离（油高） 。结合表达式，我们可以得到截面积。则罐容量 ，而积分上、下限由标高和油高函数决定，我们分为以下几种情况讨论：标高时：液面图4 此时，计算罐内油量最大为时:当时,。液面图5

9、此时，计算罐内油量.结合问题提供的数据，我们得到油罐的油量初始值为,且出油时，储油量不低于此值，故我们可不考虑两种情况。时：当时，液面图6 此时，表达式的积分上限： ，而表达式的积分区间为整个罐长即：。时：而，即()，则此种情况时的取值范围很小；考虑到储油安全问题，进油时一般不将油罐装满的事实，我们可不考虑此种情况。 综上讨论，我们得到表达式的积分上限： ；且表达式的积分区间为：。那么，.2、 模型建立与求解综上分析，我们建立模型如下：2.1模型一：小椭圆储油罐的罐容量模型目标函数： 其中：处的截面积： ； 处的油位高： ； : 测得的标高（探针读数）.2.2模型一的求解：当时，即油罐无变位时

10、利用软件求解得到给定的标高对应的理论罐容量;另外我们由提供的累加进油量值和初始值，通过计算得到标高实际对应的罐容量 。经计算机利用软件拟合比较，结果如下图所示：图7 未变位时理论值与实际值的拟合图注：图中上线为理论曲线；星线为实际曲线；星下线为修正后理论曲线。可以得到修正系数因子.结果分析：理论值产生偏差，是因为我们忽略了罐壁的厚度、温度等因素对罐容量的影响。从图7拟合结果中我们可以看出，引入修正因子后的模型更符合实际，从而我们就可以把修正因子引入变位后的罐容量模型中进而把模型改进为：2.3模型二： 目标函数： 其中：处的截面积： ； 处的油位高： ； : 测得的标高（探针读数）； 修正因子。

11、2.4模型二的求解：当时，即变位后 同模型一得求解，我们利用软件求解得到给定的标高对应的理论罐容量和改进后的值；另外我们由提供的累加进油量值和初始值，通过计算得到标高实际对应的罐容量 。经计算机利用软件拟合比较，结果如下图所示：图8 变位后理论值、修正值与实际值的拟合图注：图中上线为理论曲线；星线为实际曲线；星下线为修正后理论曲线。经观察图8，我们知道修正模型更符合实际，故我们用修正模型重新标定罐容表见表1，他们的关系图见下：图9 标定后油量与标高的关系图表1 小椭圆罐容表标定值表标高油量容积标高油量容积标高油量容积01.62400933.118002571.71103.41410971.08

12、8102612.42206.054201009.378202652.95309.644301047.988302693.274014.264401086.888402733.395019.994501126.058502773.286026.924601165.508602812.937035.094701205.198702852.338044.594801245.128802891.469055.464901285.288902930.3110067.775001325.649002968.8611081.555101366.209103007.1012096.885201406.9492

13、03045.01130113.785301447.859303082.58140132.315401488.919403119.78150152.505501530.129503156.61160174.185601571.469603193.04170197.125701612.929703229.05180221.195801654.499803264.63190246.295901696.159903299.75200272.366001737.9010003334.40210299.326101779.7110103368.55220327.136201821.5910203402.1

14、9230355.736301863.5110303435.28240385.096401905.4610403467.80250415.176501947.4410503499.72260445.936601989.4210603531.02270477.346702031.4110703561.67280509.376802073.3810803591.63290542.006902115.3310903620.86300575.187002157.2511003649.33310608.917102199.1111103677.00320643.157202240.9111203703.8

15、1330677.887302282.6411303729.71340713.087402324.2911403754.64350748.747502365.8411503778.52360784.837602407.2811603801.25370821.327702448.6011703822.70380858.227802489.7911803842.61390895.487902530.8311903860.85五、 问题（2）的模型建立与求解1、问题分析这里我们先推出变位后罐容量表达式（纵向倾斜角度和横向偏转角度）。类似于问题一，我们也需要引入修正因子来改进模型，通过非线性最小二乘法拟

16、合确定修正因子值。然后得到标高相应的含参数罐容量理论值，从而得到理论出油量，再运用最小二乘法建立了优化模型，使得理论出油量与实际出油量差值的平方和达到最小。通过软件对分别进行网格搜索，从而确定参数的值然后由提供的出油时对应的标高，得到相应的罐容量，而相邻理论值的差值即为理论出油量，再结合实际出油量运用最小二乘法确定参数。从而得到理论体积表达式，近而给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。 1.1对纵向倾斜进行讨论：根据题意，我们对变位后的油罐建立坐标系，旋转得到如图10所示。油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口地平线2m6m1m1m3 m油位高度图10 储油罐正面示意图油位探针油

17、面所求储油体积。为方便计算体积，我们将油罐分成三部分：左球罐、中间圆柱体、右球罐，由于这三部分的横截面均为圆（半径不同），建立坐标系如（图11），方程为：。故虽然各部分截面积求解不同，但均可用定积分求解。下面我们分别对这三部分讨论，求解：图11 油罐截面示意图对于圆柱体部分：图12圆柱体部分油液面标高此部分可类似问题一求解，油液面直线的函数为：=，满足一一映射关系，故我们可以得到其反函数。在任意位置处，截面圆的半径均为，则截面积积分公式为： ；此部分罐容量.球罐体部分：我们首先确定球的半径,1m截面半径1.5图13 封头球体由勾股定理得：，计算的到。对于左球罐体在坐标系中的方程为： ；在图10

18、二维平面内左圆面部分的方程为： ；可推出：；则在处的圆截面半径；所以圆截面方程：；综上，我们推得截面积公式 ,此部分罐容量.同理，对于右球罐体在坐标系中的方程为：；在图10二维平面内左圆面部分的方程为： ；可推出： ；则在处的圆截面半径；所以圆截面方程： ；综上，我们推得截面积公式 ,此部分罐容量。 1.2对横向倾斜进行讨论： 探针油液面图14横向偏转倾斜后正截面图由几何关系，我们对标高进行修订得到。故罐容量，可分段积分得到。修正后的罐容量表达式：其中 ；.1.3理论储油量的分析 首先，为方便操作，我们按数据采集的顺序对测得的标高进行标序，标高对应的理论带参罐容值，则第次的理论进油量。2、模型

19、建立与求解综上分析，我们建立模型如下：2.1模型三：实际储油罐变位后的参数确定模型目标函数： Min=其中 为实际油量变化量。2.2模型求解： 同问题（1）一样的非线性最小二乘法，我们用求解得目标函数是关于、的表达式，对、进行搜索找到理论油量变化与实际油量变化量差值平方和的最小值。用matlab对、进行搜索时，先从到以步长1搜索，得到=、=；然后对、分别从到、到以步长0.1进行搜索，得到=、=。将、代入积分表达式，计算出间隔10cm的罐容表标定值：表 2 罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值表标高油量容积标高油量容积标高油量容积0.10.3681311.119.382972.146.

20、870140.21.116151.222.056782.249.42780.32.3030451.324.788282.351.885830.43.7981441.427.561552.454.225540.55.5381961.530.361572.556.426440.67.4835371.633.17312.658.465610.79.6040271.735.981042.760.316030.811.874981.838.769892.861.944060.914.274541.941.52492.963.301941.016.783182.044.230313.064.333662.

21、3模型分析：一方面，我们取标高下对应的实际油量值，而提供的附件2中“显示的油量容积”数据是由无变位时的罐容表得来的，故我们可以认为=“显示的油量容积”；另一方面，我们利用建立的体积模型求得=0、=0时对应标高下的理论油量容积。，再通过拟合，得到拟合图像（图15）：图15 模型的正确性拟合图在参数均取0值时，利用计算出罐容量的理论值和实际值的相对误差为：0.5%，因此我们有充分的理由认为所建的模型是准确可靠的。 六、 模型评价与推广1、 模型优点： 对于问题一，虽然可以采用多项式拟合的方法，而且在给出的实际数值范围内相近度非常好，但是该方法缺乏理论依据，在给出的实际数值范围外，无法保证其准确性。

22、而我们所给出的模型，先从理论上着手，然后再对其进行修正。这样做虽然在与实际数据的相近度上没有直接拟合的方法好，但是在超出所给出的实际数值范围外却可以保证一定程度上的准确性。对于问题二，由于实际上对于体积的积分过于复杂，我们没有直接采用软件所提供的积分函数，而是从积分原理出发，应用矩形法对所给出的体积公式进行积分，得出近似结果。对于两个问题中理论值与实际值存在一定的偏差，我们运用非线性最小二乘法来确定修正因子，使问题简化的同时保证了模型的准确性。2、 模型的不足：引入的修正因子仅能在一定程度上修正模型，但不能精确的反映温度等客观因素对油料体积的影响情况；而且没有考虑到修正因子与偏位角之间的关系。

23、3、 模型推广：此问题可以推广到解决各种不同形状（或封头）的地下储油罐的变位识别与罐容表标定问题，也可以应用于其他深埋式设备变位的识别问题。七、 参考文献1王仁宏，数值逼近，北京：高等教育出版社，1999。2华东师范大学数学系，数学分析，北京：高等教育出版社，2001八、 附录附表1椭圆油罐变位前后标高对应的实际罐容值未变位变位标高油量容积标高油量容积413.321212411.29962.86425.761262423.451012.86438.121312438.331062.86450.401362450.541112.86462.621412463.901162.86474.78146

24、2477.741212.86486.891512489.371262.86498.951562502.561312.79510.971612514.691362.79522.951662526.841412.73534.901712538.881462.73546.821762551.961512.73558.721812564.401562.73570.611862576.561612.73582.481912588.741662.73594.351962599.561712.73606.222012611.621762.73618.092062623.441812.73629.962112

25、635.581862.73641.852162646.281912.73653.752212658.591962.73665.672262670.222012.73677.632312680.632062.73678.542315.83693.032112.73690.532365.83704.672162.73690.822367.06716.452212.73702.852417.06727.662262.73714.912467.06739.392312.73727.032517.06750.902362.73739.192567.06761.552412.73751.422617.06

26、773.432462.73763.702666.98785.392512.73764.162668.83796.042562.73776.532718.83808.272612.73788.992768.83820.802662.73801.542818.83832.802712.73814.192868.83844.472762.73826.952918.83856.292812.73839.832968.83867.602862.73852.843018.83880.062912.73866.003068.83892.922962.73879.323118.83904.343012.73892.823168.83917.343062.73892.843168.91929.903112.73906.533218.91941.423162.73920.453268.91954.603212.73934.613318.91968.093262.73949.053368.91980.143312.73963.803418.91992.413362.73978.913468.911006.343412.73994.433518.911019.073462.731010.433568.911034.243512.7318