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1、,Mathematics Laboratory,阮小娥博士,Sept. 2008,数列极限的概念 收敛数列的性质与极限运算法则 数列收敛的判别准则,第一章 微积分的理论基础,第二节 数列的极限（2课时）,1,作业：page34, A组 9(1)(3), 11(1)(2)(5)(7)(8) 12(1), 13(1). 15.,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,（1）割圆术：,播放,刘徽,1、概念的引入,第一部分 数列极限的概念,2,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,3,（2）截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,战国庄子天下篇中，惠施说
2、：,4,2、数列的定义,例如,5,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,6,播放,3、数列的极限,7,问题1:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题2:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?,通过上面演示实验的观察:,8,9,定义：,记为,或,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,10,几何解释:,其中,11,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例1,证,所以,注意：,12,例2,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小
3、的N.,13,例3,证,14,例4,证,15,第二部分：收敛数列的性质 与极限运算法则,1.有界性,例如,有界,无界,16,定理1 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,17,2.唯一性,定理2 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,18,例5,证,由定义,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,19,定理3.有理运算法则：,（可推广到有限个数列的情形）,推论：,20,定理4.保号性,并且，,若,反之，,若,定理5.保序性,设,21,定理6.夹逼性,设,例6,例7,例8,22,所以,所求极限为,分析：
4、 考虑利用夹逼性. 构造夹逼数列,例9,23,重要极限,（1）可以证明它是单调增的；,（2）可以证明它有上界3。,单调性：,定理7 （单调有界准则）,单调增（减）有上（下）界的数列必定收敛。,第三部分：数列收敛的判别准则,若以上不等式是严格成立的，则称该数列是严格单调增（减）的。,例10,24,子数列与数列极限的归并原理,子数列（子列）,设 为一数列，由 中的无穷多项按照脚标由小到大排列所组成的一个数列称为数列 的一个子数列（子列）。,定理8（归并原理）,记做：,主要利用它的逆否命题判断数列的发散性。,25,Cauchy收敛原理,定理9 （Cauchy收敛原理）,例11,26,例12,例13,
5、思路分析,考虑利用单调有界准则：讨论其单调性和有界性,又数列为正，0为它的一个下界；,所以，必有极限。,27,练 习 题,28,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不
6、可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,
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