线性变换的定义

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1、2021/3/101教学目标：教学目标：理解线性变换的概念，掌理解线性变换的概念，掌握线性变换的基本性质握线性变换的基本性质6.1 6.1 线性变换的定义线性变换的定义教学难点：教学难点：线性变换的象与核的求法线性变换的象与核的求法授课题目：授课题目：6.1 6.1 线性变换的定义线性变换的定义授课时数：授课时数：4学时学时教学重点：教学重点：线性变换的基本性质线性变换的基本性质第六章线性变换第六章线性变换2021/3/102图图 6.1例例1 1在二维几何空在二维几何空间中，令间中，令是将是将每个向量旋转角每个向量旋转角的一个旋转变换的一个旋转变换（见图（见图6.1）2V一一.定义及例子定义

2、及例子容易看出：对任意向量容易看出：对任意向量,及实数及实数 k 均有均有(+)()+()(k)k()1.两个实例两个实例2021/3/103容易看出：对任意向量容易看出：对任意向量,及实数及实数 k 均有均有(+)()+()(k)k()例例2在在中，中，H是过原是过原点的一个平面点的一个平面.令令是对平面是对平面H的正投影变换的正投影变换（图（图6.2）3V图图6.26.22021/3/104定义定义1设设V是数域是数域F上的一个线性空间，上的一个线性空间，是是V的一个变换，如果它满足以下两个条件：的一个变换，如果它满足以下两个条件：（1）对任意的）对任意的,V，有，有(+)()+()；（2

3、）对任意的）对任意的kF，有，有(k)=k().则称则称是向量空间是向量空间V的一个线性变换的一个线性变换2.定义定义2021/3/105例例3 对对 的每个向量，规定的每个向量，规定是是 的一个变换，我们证明它是一个线性变换的一个变换，我们证明它是一个线性变换123(,)x xx=11223()(,3,)xxxxx =-+3F3F1）对于）对于 的任意两个向量的任意两个向量 ，与与 ，有，有(+)=(x1+y1,x2+y2,x3+y3)123(,)x xx=123(,)yyy=3F3.一些例子一些例子=(x1+y1,3(x1+y1)-(x2+y2),(x2+y2)+(x3+y3)2021/3

4、/1062)对任意数对任意数 kF，则有，则有(k)=(kx1,kx2,kx3）=(kx1,3kx1-kx2,kx2+kx3)=k(x1,3x1-x2,x2+x3)=k()因此，因此，是是F3的一个线性变换的一个线性变换=(x1,3 x1-x2,x2+x3)+(y1,3 y1-y2,y2+y3)=()+()2021/3/107=(1,0,0),=(2,0,0),+=，()=,()=,()+()=,而而(+)=,(+)_()+().如果在如果在F3中规定中规定()(x12,3 x1-x2，x2+x3）那么那么就不是就不是F3的线性变换的线性变换.(3,0,0)(1,3,0)(4,6,0)(5,1

5、0,0)(9,9,0)2021/3/108例例4在在Mn(F)中中,对任意的对任意的n阶方阵阶方阵X,规定规定 (X)=AXB，其中，其中A和和B为为F上两个固定的上两个固定的 方阵方阵.由于：由于：1）对任意的）对任意的X、YMn(F)，则有，则有(X+Y)=;A(X+Y)BAXB+AYB(X)+(Y)2)对任意的对任意的kF，有，有(kX)=A(kX)Bk(AXB)k(X)所以所以,是是 Mn(F)的一个线性变换的一个线性变换.2021/3/109特别地，特别地，若若A=B,则则(X)=BXB,是是Mn(F)的一个线性变换；的一个线性变换；若若B可逆，且可逆，且A=B-1,则则(X)=B-

6、1XB,也是也是Mn(F)的一个线性变换的一个线性变换.2021/3/1010例例5设设V是数域是数域F上的一个线性空间，取定上的一个线性空间，取定F中的中的 一个数一个数k，对任意的，对任意的V，规定，规定()k.当当k1时，时，是是V的恒等变换的恒等变换；是是V的一个线性变换，叫做的一个线性变换，叫做V的一个数乘（或的一个数乘（或 位似）变换位似）变换.因此，恒等变换及零变换都是线性变换因此，恒等变换及零变换都是线性变换.当当k0时，时，是是V的零变换的零变换.2021/3/1011例例7设设Ca,b是定义在是定义在a,b上的一切连续上的一切连续函数作成的函数作成的R上的线性空间上的线性空

7、间.对任意的对任意的f(x)Ca,b,规定规定J(f(x).例例6在在Fx中，令中，令D(f(x)=f(x)容易验证，容易验证，D是是Fx的一个线性变换，称为的一个线性变换，称为F x的微商变换（或微分变换）的微商变换（或微分变换）.J(f(x)仍是仍是a,b上的连续函数上的连续函数线性变换，叫做线性变换，叫做Ca,b的积分变换的积分变换.J是是Ca,b的一个的一个()xaft d t 2021/3/1012二二.线性变换的基本性质线性变换的基本性质 1)线性变换线性变换把零向量变成零向量；把零向量变成零向量；把任一向量把任一向量的负向量的负向量-变成变成的象的象()的负向量的负向量-().证

8、证 任取一向量任取一向量，有，有(0)(0)0()0 所以所以(-)-()()+(-)(-)(0)0，2021/3/10132)定义定义1中的条件中的条件(1),(2)与以下条件等价：与以下条件等价：(3)对任意的对任意的a,bF,V，有，有 (a+b)a()+b().3）线性变换）线性变换保持线性关系式，即对于保持线性关系式，即对于V，若有若有k1,k2,knF,及及1,2,n V使得使得 k11+k22+knn则则 ()k1(1)+k2(2)+kn(n),2021/3/1014特别地，当特别地，当0时，有时，有K1(1)+k2(2)+kn(n)0.若若k1，k2，kn 不全为不全为0，则得

9、性质：，则得性质：4)线性变换把线性相关的向量组变成线性相关线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组的向量组.5)设设是是V的一个线性变换的一个线性变换,V是是V的子空间的子空间.V在在下的象集合下的象集合,记作记作(V),即即(V)=()V.则则(V)是是V的一个子空间的一个子空间.2021/3/1015证证对任意的，对任意的，(V)总有总有,V使使(),().由于由于是线性变换，所以，对任意的是线性变换，所以，对任意的a,bF,有有 a +b a()+b()(a+b).但但V 是是 V 的子空间，的子空间，a+bV,因而因而 a +b (V),故故(V)是是V 的一个子空间的一个子空

10、间.特别地，特别地，(V)是是V的子空间，称为的子空间，称为的象，可用的象，可用Im()表示表示.2021/3/10166）设）设是是V的一个线性变换，的一个线性变换，W是是V的一个的一个 子空间，则子空间，则W在在之下的原象集合之下的原象集合 V（）W 是是V的一个子空间的一个子空间 特别地，零子空间特别地，零子空间0在在之下的原象集是之下的原象集是 V的一个子空间，称为的一个子空间，称为的核，用的核，用ker()表示表示.即即 ker()V()02021/3/1017VVker()O图图6.4我们用我们用图图6.3和和图图6.4分分别表示别表示子空间子空间Im()和和ker().VVIm(

11、)图图6.3O2021/3/1018性质性质5）和性质）和性质6）可总括为：）可总括为：在线性变换在线性变换之下，向量空间之下，向量空间V的的 子空间的象集和原象集都是子空间的象集和原象集都是V的子的子 子空间子空间.2021/3/1019的求解问题，用线性变换的话来说，就是的求解问题，用线性变换的话来说，就是求向量求向量 的原象的问题的原象的问题.12(,)nb bb线性方程组线性方程组例例8在在 中，令中，令 ()A,是是 中任意的中任意的向量，向量，A是确定的是确定的F上的上的n阶方阵阶方阵.则则 是是 的的一个线性变换一个线性变换.nF nFnF 1122nnxbxbAxb 而解齐次线

12、性方程组就相当于求线性变换而解齐次线性方程组就相当于求线性变换 的核的核.2021/3/1020容易看出容易看出Im()=L(A1,A2,An)=L(1,2,n)其中其中1(1,0,.,0),?=2(0,1,.,0),.,?=(0,0,.,1).n?=而而1,2,n是是A的列向量的列向量.2021/3/1021习题习题6.11.判断以下的变换是否是线性变换，说出理由判断以下的变换是否是线性变换，说出理由1)在在R3中中,(x1,x2,x3)=(0,x1+x2-3 x3,2x1-x2-2x3);2)在在Q3中中,(x1,x2,x3)=(,x2-x3,21x23);x3)在线性空间在线性空间V中，

13、中，(),是是V中固定中固定 的一个向量；的一个向量；4)在线性空间在线性空间V中中,()+,是是V中中 固定的一个向量；固定的一个向量；2021/3/1022 5）在）在Mn(F)中，中，(X)XA+AX,其中其中A是是Mn(F)中固定的一个方阵；中固定的一个方阵；6）在）在Fx,(f(x)=f(x+1)-f(x);7)在由实数域在由实数域R上的所有次数不超过上的所有次数不超过n的多项式及的多项式及 零多项式构成的线性空间零多项式构成的线性空间Rnx中，中，(f(x)=xf(x)；8）把复数域）把复数域C看成它自己的线性空间看成它自己的线性空间,令令 ()=,C,是是的共轭复数的共轭复数 2021/3/1023 2.设设是数域是数域F上的线性空间上的线性空间V的一个变换，的一个变换，证明：证明：是线性变换的充要条件是，对任意是线性变换的充要条件是，对任意 的的a、bF 和任意和任意,V都有都有 (a+b)=a()+b().3.证明：线性空间证明：线性空间V的子空间的子空间W在在V的线性变的线性变 换换下下 的原象仍是的原象仍是V的子空间的子空间.