平面向量知识点总结(精华)

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1、必修 4平面向量知识点小结一、向量的基本概念1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么提示：向量可以平移 .举例 1已知 A(1,2)uuurr1,3) 平移后得到的向，B (4,2) ，则把向量 AB按向量 a (量是 _.结果：(3,0)2. 零向量：长度为0 的向量叫零向量，记作：r，规定：零向量的0方向是任意的；uuur3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与 AB 共线uuur的单位向量是AB）；uuur|AB|4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；r

2、r5. 平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量，记作：r r ，ab规定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；r平行向量无传递性！ （因为有 0 ) ；三点 A、B、 C 共线uuur uuurAB、AC 共线 .6. 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量r. a 的相反向量记作ra .举例 2r rr r如下列命题：（1）若 | a | | b | ，则 a b .（2）两个向量相等的充要条件是它们的

3、起点相同，终点相同.uuuruuuur（3）若 ABDC ，则 ABCD 是平行四边形 .（4）若 ABCD 是平行四边形，则uuur uuuurAB DC.r rrrr r（5）若 a b ， b c ，则 a c .r rr rr r结果：（4）（5）（6）若 a / /b ，b / / c则 a / /c . 其中正确的是.二、向量的表示方法uuur1. 几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2. 符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如rrra ， b ， c 等；3. 坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同rrr的 两个 单位向

4、量 i, j 为基 底，则 平面内 的任 一向量 a 可表 示为rrrrrraxiyj ( x, y) ，称 ( x, y) 为向量 a 的坐标， a ( x, y) 叫做向量 a 的坐标表示 .结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同 .三、平面向量的基本定理定理rr同一平面内的一组基底向量，r设 e1, e2a 是该平面内任一向量，rrr则存在唯一实数对 ( 1 , 2 ) ，使 a1e12e2 .（1）定理核心：rrr；（2）从左向右看，是对向量r的分解，且a1 12 2aee表达式唯一；反之，是对向量ra 的合成 .（3）向量的正交分解：当rr时，就说rrr为对向

5、量r的正交分121 12 2ae ,ea ee解rrrr.结果：举例 3 （1）若 a(1,1)， b(1, 1) ， c ( 1,2)，则 c1 r3ra2b .2（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是BA.r，rB.rrC.rr1(0,0)2(1, 2)1( 1,2)， 2(5,7)1(3,5)， 2(6,10)eeeeeerr13D. e1 (2, 3) ，e2,42uuur uuuruuur ruuur ruuur（3）已知 AD , BE 分别是 ABC 的边 BC ，AC 上的中线 , 且 AD a ，BE b , 则 BCr r.结果：2 r4r可用向量 a , b 表

6、示为3a3b .uuuruuuruuuruuuruuur，则 rs 的（ 4）已知 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD2DB， CDrABsAC值是.结果： 0.四、实数与向量的积实数 与向量r的积是一个向量，记作raa ，它的长度和方向规定如下：rr（1）模： | a | | | a | ；（2）方向：当rr的方向相同，当r0 时， a 的方向与 a0 时， a 的r0 时，rr方向与 a 的方向相反，当a0 ，注意：r.a0五、平面向量的数量积1. 两个向量的夹角：对于非零向量rruuurruuurra ，b ，作 OAa ， OBb ，则把AOB (0rr) 称为向量 a ，

7、b 的夹角 .当rrrr时，rr0 时， a ， b 同向；当时， a ， b 反向；当a ， b 垂2直 .r r2. 平面向量的数量积：如果两个非零向量a ， b ，它们的夹角为 ，我们把数量r rrrr r| a | b | cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积或点积） ，记作： a b ，r r rr.即 a b | a | | b | cos规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例 4uuuruuuruuuruuur uuur_.结（1） ABC 中，| AB | 3，|AC| 4，|BC | 5，则 AB BC果：9.（ 2）已知结果：

8、1.r1r1rrrr r rrr的夹角为4，则_.2，2，a kb，与dka 1,b0,cd a bcrrrrrr结果： 23 .（3）已知 | a | 2， | b |5 ， ab3 ，则 | ab | _.r rrr r rrr r（4）已知 a, b 是两个非零向量，且 | a | | b | | a b | ，则 a 与 a b 的夹角为 _.结果： 30o .rrr3. 向量 b 在向量 a 上的投影： |b | cos ，它是一个实数，但不一定大于0.举例 5rrr rrr已知 | a | 3 ， | b | 5，且 a b 12，则向量 a 在向量 b 上的投影为_.结果： 12

9、 .5rrrrr的模rrr4. ab 的几何意义：数量积ab 等于 a| a | 与 b 在 a 上的投影的积 .5. 向量数量积的性质：设两个非零向量rr，则：a ， b ，其夹角为rrr r（1） aba b 0 ；rrrrrrr 2r r r 2rr 2；（2）当 a 、b 同向时， ab | a | b | ，特别地，aa a | a | a |ar rrrrra b | a | | b | 是 a 、 b 同向的充要分条件；rrr rrrr rrrrr当 a、 b反向时， a b| a | b | ， a b| a | |b | 是 a、 b 反向的充要分条件；当 为锐角时，充分条件

10、；r rrrr r0 是 为锐角的必要不a b0 ，且 a 、 b 不同向， a br rrrrr当 为钝角时， a b0 ，且 a 、 b 不反向； a b充分条件 .rr（3）非零向量 a ， b 夹角 的计算公式： cos0 是为钝角的必要不rrrrrrabrr； a b | a | b | .| a |b |举例 6rr,2)rr的夹角为锐角，则 的（1）已知 a ( ,2) ， b (3，如果 a 与 b取值范围是 _.结果：4或0 且1；33uuuruuuruuuruuur夹角 的（ 2）已知 OFQ 的面积为 S ，且 OFFQ 1，若1S3，则 OF， FQ22取值范围是 _.

11、结果：,；43rrrrrr）.（3）已知 a(cos x,sin x) ， b (cos y,sin y) ，且满足| kab |3 | akb | （其中 k 0rrr r的最小值，并求此时rr用 k 表示 ab ；求 a ba与 b 的夹角的大小 .r r20) ；最小值为1，60o .k 1( k结果： a b24k六、向量的运算1. 几何运算（1）向量加法运算法则：平行四边形法则；三角形法则 .uuurruuur ruuurr运算形式：若 ABa ， BC b ， 则向量 AC 叫做 ar与 b 的和，即rruuuruuuruuurabABBCAC ；作图：略 .注：平行四边形法则只适

12、用于不共线的向量.（2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若uuurruuurrr ruuuruuuruuurABa ， ACb ，则 a bABACCA ，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略 .注：减向量与被减向量的起点相同.举例 7uuur uuur uuuruuur uuuruuuur；（1）化简： AB BC CD； ABADDCuuur uuuruuuruuur.uuuruuurr(AB CD) (ACBD )结果： AD ； CB ； 0 ；uuur ruuur ruuurrrrr.（2）若正方形 ABCD 的边长为 1，AB a ，BC b ，ACc ，则| a

13、bc |结果： 22 ；uuur uuur uuuruuuruuur，则 ABC 的（3）若 O 是 ABC 所在平面内一点，且满足 OB OCOBOC 2OA形状为 .结果：直角三角形；（ 4）若 D 为 ABC 的边 BC 的中点， ABC 所在平面内有一点P ，满足uuur uuuruuurruuur，则 的值为.结果： 2；|AP|PA BPCP0 ，设uuur|PD|uuuruuuruuurr，则 ABC 的内角 C 为.（5）若点 O 是 ABC 的外心，且 OAOBCO0结果： 120o .r(x1, y1) ，r( x2 , y2 )，则2. 坐标运算：设 ab（1）向量的加减

14、法运算：rr( x1x2 , y1rrx2 , y1 y2 ) .a by2 ) ， ab (x1举例 8（1）已知点 A(2,3) ，B(5,4)uuuruuuruuurR) ，则当_，C (7,10) ，若 APABAC (时，点 P 在第一、三象限的角平分线上.结果：1；2（2）已知 A(2,3) ， B(1,4)，且21uuur) ，则 x.结AB (sin x,cos y) ， x, y(2,2y果： 6或 2 ；（3）已知作用在点uuruuruur(3,1) ，则合力A(1,1) 的三个力 F1(3,4)， F2(2, 5)， F3uur uuruuruur结果： (9,1) .F

15、 F1F2F3 的终点坐标是.（2）实数与向量的积：r(x1 , y1)(x1 ,y1) .auuury1 ) ，即一个向量的坐标等（3）若 A(x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) ，则 AB( x2x1 , y2于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 .举例 9设 A(2,3) ， B( 1,5)，且uuuruuuruuuruuur，则 C, D 的坐标分别是AC1 AB， AD3AB3_.结果： (1,11),(7,9).3（4）平面向量数量积：rrx1x2y1 y2 .ab举例 10rr(sin x,sin x)r(1,0) .已知向量 a(sin x,cos x)

16、， b， c（1）若3 ，求向量r、r的夹角；xac3, ，函数 f (x)rr1，求 的值. 结果：（1）150o；（2）若 x ab 的最大值为284（2）1或 2 1.2r 2r2x2y2rx22.（5）向量的模： a| a | a |y举例 11r rorr已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么 | a 3b | .结果： 13.（6）两点间的距离：若 A( x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则 | AB | ( x2 x1 )2( y2 y1 )2 .举例 12如图，在平面斜坐标系yxOy 中， xOy 60o ，平面上任一点 P 关于斜坐标系的斜坐标是这

17、样定义的：若60oOxuuurrrrr分别为与 x 轴、 y 轴同OP xe1ye2，其中 e1,e2方向的单位向量，则P 点斜坐标为( x, y) .（ 1）若点 P 的斜坐标为 (2, 2) ，求 P 到 O 的距离 | PO | ；（ 2）求以 O 为圆心， 1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程 .结果：（1） 2；（2） x2y2xy10 .七、向量的运算律rrrr， (r(rrrr r1. 交换律： abbaa) a ， a bb a ；rrrrrrrrrrrrrrr rrr2. 结合律： abc(ab )c ， abca (bc) ， (a)b( a b)a ( b ) ；3

18、. 分配律： (rrrrrrr，rrrr rrr)aaa ，( ab )ab(ab) ca cbc .举例 13给出下列命题：r rrr rr rrr rrrra (bc )a bac ；a(b c)(ab ) c ；r r 2r 2rrr 2；( a b)| a |2| a |b | | b |rrrrrrrrr rrrr 2rrrr；2；a bb 若 ab0 ，则 a0或 b0；若 ab c b 则 ac| a |ar2r；aarr 2r 2r 2；rr 2r2rrr 2. (ab)ab(ab)a2abb其中正确的是.结果： .说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向

19、量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数， 两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除( 相约 ) ；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即r r rr r ra (b c ) (a b) c ，为什么八、向量平行 ( 共线 ) 的充要条件r rr rr r 2r r2x1 y2y1x20 .a / /ba b(a b)(| a | b |)举例 14rrrr(1) 若向量 a( x,1) ， b (4, x)，当 x _时， a 与 b 共线且方向相同 .结果： 2.（ 2）已知果： 4.rrr rrrr rr r.结a (1,

20、1)，b (4, x) ，u a 2b，v 2 a b ，且 u / / v ，则 xuuuruuuruuur结（ 3）设 PA ( k,12) ， PB (4,5)， PC (10,k ) ，则 k_ 时， A,B ,C 共线 .果： 2或 11.九、向量垂直的充要条件r rrrr rrrx1 x2y1 y20 .a ba b 0| a b | | a b |uuuruuuruuuruuur特别地ABACABAC.uuuruuuruuuruuur|AB| |AC |AB|AC|举例 15(1)已知uuuruuur，若uuuruuur，则.结果：3OA (1,2)，OAOBm2 ；OB (3,

21、 m)m（2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ， B 90 ，则点B 的坐标是.结果： (1,3) 或（ 3， 1）；rr rr rr. 结果： (b, a) 或（3）已知 n (a ,b ) 向量 n m ，且 | n | | m | ，则 m 的坐标是(b, a) .十、线段的定比分点1. 定义：设点 P 是直线 PP12 上异于 P1 、 P2的任意一点，若存在一个实数uuuruuur叫做点uuuur所成的比，点叫，使 PPPP ，则实数P分有向线段 PPP1212做有向线段uuuur的以定比为的定比分点 .P1P22. 的符号与分点 P 的位置之间的关系（

22、1）uuuur，即点 P在线段 PP12 上0 ；P 内分线段 PP12（2）uuuur时，点在线段 PP12 的延长线上1，点P外分线段 PPP12P在线段 PP 的反向延长线上10 .12uuuur所成的比为，则点 P 分有向线段uuuur所成的注：若点 P 分有向线段 PP12P2P1比为1.举例uuuruuur16 若点 P 分 AB 所成的比为 3，则 A 分 BP 所成的比为.4结果：73 .3. 线段的定比分点坐标公式：设 P (x , y ) ，P ( x , y ) ，点 P(x, y) 分有向线段uuuur所成的比为，则定比分P1P2111222xx1x2 ,点坐标公式为1

23、(1).y1y2y.1时，就得到线段 1 2xx1x2 ,特别地，当1的中点坐标公式2PPy1y2 .y2说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时， 应明确 (x, y) ，(x1 , y1 ) 、(x2 , y2 ) 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标 .（ 2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比.举例 17（1）若 M( 3,uuuuruuuur，则点 P 的坐标为.2) ，N(6, 1) ，且 MP1 MN3结果： ( 6,37) ；（ 2）已知 A(a ,0) ， B(3,2uuuuruuuur，则a) ，直线 y 1 ax 与线段 A

24、B 交于 M ，且 AM2 MB2r.结果：或 4 .a十一、平移公式r(h,k) 平移至 P(x , y ) ，则xx h ,；曲线 f ( x, y)0 按如果点 P(x, y) 按向量 ayy k.r(h,k) 平移得曲线 f ( xh, y k) 0 .向量 a说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例 18rr平（1）按向量 a 把 (2, 3)平移到 (1, 2) ，则按向量 a 把点 ( 7,2)移到点 _.结果： ( 8,3)；（ 2）函数 y sin 2 x 的图象按向量r平移后，所得函数的解析式是ar结果： (,1)

25、.y cos2x 1 ，则 a _.4十二、向量中一些常用的结论1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；rrrrrr2. 模的性质： | a | b | | a b | | a | b | .（1）右边等号成立条件：r rr rrr r rra、b同向或 a、b 中有 0| a b | | a | | b | ；（2）左边等号成立条件：r rr rrr r rra、b反向或 a、b 中有 0| a b | | a | | b | ；r rrrrrrr（3）当 a、b 不共线| a | | b | | a b | a | | b |.3. 三角形重心公式在 ABC 中，若 A

26、(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ， C( x3 , y3 ) ，则 其重 心的 坐标为G( x1 x2 x3 , y1y2y3 ) .33举例 19若 ABC 的三边的中点分别为A(2,1) 、B( 3,4) 、C( 1, 1) ，则 ABC 的重心的坐标为.结果：2,4 .3 35. 三角形“三心”的向量表示uuur1uuur uuuruuuruuur uuur uuurr（1）PG(PA PBPC)G 为 ABC 的重心，特别地 PA PB PC0 G3为 ABC 的重心 .uuuruuuruuur uuuruuur uuur（2） PA PBPB PCPC PA P 为

27、ABC 的垂心 .（ 3 ）uuuuruuur uuuur uuur uuuur uuur0P为ABC的内心；向量|AB|PC |BC |PA |CA|PBuuuruuurABAC0)所在直线过 ABC 的内心 .uuuuruuuur (|AB|AC|6. 点 P 分有向线段uuuur向量形式P1 P2 所成的比uuuur设点 P 分有向线段PP 所成的比为，若 M 为平面内的任一点，则12uuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuur，特别地 P 为有向线段uuurMP2 .MPMP1MP2P1P2 的中点MP MP1127. 向量uuuruuur uuur存在实数 ,， 使 得PA,PB,PC 中 三 终 点 A,B,C 共 线uuuruuuruuur1PAPBPC 且举例 20平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A(3,1) ，B( 1,3) ，uuuruuuruuur1, 则点 C的轨迹是.结若点 C满足 OC1 OA2OB,其中 1, 2 R且 1 2果：直线AB .