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1、相似三角形添加辅助线的方法举例例1:已知：如图，ABC中，AAB=AC,BD丄AC于D./、求证：BG=2CDAC.Z-DB C例2.已知梯形ABCD中，AD/BC,BC 3AD,E是腰AB上的一点，连结CE(1)如果CE AB,AB CD,BE 3AE,求B的度数；(2)设且20 3S2，试求乍的值AE相似三角形添加辅助线的方法举例例3.如图4-1,已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，AF3AD，连E、F交AC于G.求AG:AC的值.H例4、如图45，B为AC的中点，E为BD的中 点，贝U AF：AE=_.例5、如图4-7,已知平行四边形ABCD中，对角 线AC BD交于0点，E为AB延
2、长线上一点，0E交BC于F,若AB=a,BC=b,BE=c求BF的 长.H_7Mfl例6、已知在ABC中,AD是/BAC的平分线.求、AB BD证：AC CD.相似三角形添加辅助线的方法举例答案例1:已知：如图，ABC中，AB=AC,BD丄AC于D.求证：BC2=2CD-AC.分析：欲证BC2=2CD-AC，只需证2BCD AC.但因为结论中有“2”，无法直接找到它2CD BC们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及 结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进 行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角 形相似.由“2”所放的位置不同，证法也不同.A证法=DC（构造2CD）:如图，在AC截取
3、DEA BD丄AC于D，BD是线段CE的垂直平分线,A BC=BE/C=ZBEC又：AB=AC,ZC=ZABC.BC3AACB.BC AC_BC AC*CE BC，2CD BCBC2=2CD-AC.证法二（构造2AC）:如图，在CA的延长线上截取AE=AC,连结BE,AB=AC,AB=AC=AEZEBC=90,又BD丄AC.ZEBC玄BDC=/EDB=90,ZE=ZDBC,EBSABDCBC2=2CDAC.证法三（构造）:如图，取 的中点E,连结AE,则ECBC.又TAB=AC,BCCDBCCD2ACBCBCAABECAE丄BGZACE=/C/AEC=/BDC=90ACEA BCD.1BCCE
4、 AC冃口2 AC*CDBC即CD BC.BC2=2CD-AC.证法四（构造2BC）:如图，取BC中点BBC ACCD1BC.2 BG=2CD-AC.说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相 似形的方法和技巧.在解题中方法要灵活，思路 要幵阔.例2.已知梯形ABCD中，AD/BC,BC 3AD,E是腰ABD连结DE,贝UCE=2BC.BD丄AC,：BE=EC=EB/EDC=/C又TAB=AC,/ABC=Z C,ABCA EDCBC ACCD ECAE C求B的度数;(2)设BCE和四边形AECD的面积分别为Si和S2,且2Si3S2，试求囂的值(1)设AE k，则BE 3k中占I八、形故B 60
5、则CE DF，得平行四边形同解法1可证得CDF为等边三角形 故B 1 60解法3如图解法1如图,延长BA、CD交于点FAD/BCBC 3AD,AF 2k,E为BF的又CE BFBCCF,又CF BFBCF为等边三角BF 3AFF作AF/EC交CD于G，交BC的延长线于F作GI/AB，分别交CE、BC于点H、I则CE GI，得矩形AEHGBC BE3CF AE?CF AD，故G为CD、AF的中点 以下同解法1可得CGI是等边三角形 故B 1 60解法4如图，F,ABABF是等边三角形，故B 60延长CE、DA交于点 点G、H，得平行四边形AF/CE又BC 3AD作FG/CE，交AB于G，得平行作
6、AF/CD，交BC于四边形AFCD，且FG读者可自行证得解法5如图分别交BC、CE于A _DE可证得A为FD的中点，贝U AH 2k，故1 60得ABG为等边三角形，故B 60解法6如图（补形法），解法2（补形法）如图，延长BA、CD交于点F,SFAD1SABCSFAD8S梯形ABCD读者可自行证明CDF是等边三角形，得B F 60（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）（2SBCE3S，贝U Q边形AECD2S解法1（补形法）如图补成平行四边形ABCF,连结AC，则DF 2ADSFAD设SACDx，则SACE2S xSCDF2x1由SABCSACF得，3s 2sxxc52x
7、x s4SACE2s3xs4BESBCE导4s4AESACESFAD5s，8，SFEC8S 2S8S，又SEBC3sEFSFBC7BESBEC8设BE8m，则EF 7m，BF 15m，AF5mBEAE 2m4AE解法3（补形法）如图连结AC，作DF/AC交BA延长线于点F连结FC则FADSABC,故AB 3AF(1)SACDSACF,S四边形AECDSFECBESBECSBCE3EFSFECS四边形AECD2故2BE 3EF 3(AE AF)3AE 3AF(2)由(1)、(2)两式得BE 4AE即-BI 4解法4(割补法)如图连结A与CD的中点F并延长交BC延长线于点G，如 图，过E、A分别作
8、高 0、h2，则CG AD且S四边形AECDS四边形AECG，SABGS梯形ABCD5sSEBCSABG2BC人 又BCE 4h25AE 5，故BE4说明本题综合考查了等腰三角形的性质，相 似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形.例3.如图4-1,已知平行四边ABCD中，E是ABiAF3AD，连E、F交AC于G.求AG:AC的中点,四边形ABCD是平行四边形，ZH=ZAFEZDAB=ZHBE又AE=EB二 AF1AD 3，AD/CH，H,AD/BC=?AEFABEH，即AF=BH,AF BC即AF HZAGF=ZCGHZAFG=ZBHE,AFGCGH.AG:GC=AF CH,
9、AG:GC=1:4,二AG:AC=1:5.SABGS梯形ABCD5s解法2:如图42,延长EF与CD的延长线交 于M，由平行四边形ABCD可知，AB/DC，即ABAE:MD=1:2.1iAE AB DC22AG:GC=AE MC.2,AE:MC=1:4,即AG:GC=1:4,AG:AC=1:例4、如图45,B为AC的中点,AE=.E为BD的中解析：取CF的中点G,连接BG.vB为AC的 中占I八、5BG:AF=1:2,且BG/AF,又E为BD的中F为DG的中点.EF:BG=1:2.故EF:AF=1:4，二AF:AE=4:3.例5、如图4-7,已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于0点，
10、E为AB延长线上一点，0E交BC于F，若AB=a,BC=b BE=c求BF的 长.解法1:过0点作OM II CB交AB于M,0是AC中点，OMICB,1M是AB的中点，即MB1a,且OMIIBC.ZEFB=/EOM,ZEBF=/EMO.BF BEBEFAMOE,.IOM EM,BF1即2bOM是厶ABC的中位线，11OM-BCb22,BFbea 2c解法2:如图4-8,延长E0与AD交于点G,则可得AOGACOF，BF BEAG=FC=b-BFIBF/AG，忌走.即BF cb BF a cBF c/b a 2c解法3:延长EO与CD的延长线相交于N,则BF BE解得例6、已知在ABC中，AD
11、是/BAC的平分线.求、AB BD证：疋而.分析1比例线段常由平行线而产生，因而研究 比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有 平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产 生.此题中ADBF旦a 2cBEF与厶CNF的对应边成比例，即CF CNBF吐ABC内角A的平分线，这里 不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的 平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平 行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例 式与这个比例式的关系，去探求问题的解决.21=22,21=23.证法1：如图49,过C点作CE/AD,交BA的延长线于E.,BD BA在BCE中，TDA/CE,二BC忑又CE/AD,.Z仁
12、/3,22=74,且AD平分/BAC,/2仁22,于是23=24,BD ABAC=AE代入式得庞屁分析2由于BD、CD是点D分BC而得，故可 过分点D作平行线.证法2:如图410,过D作DE/AC交AB于图翠12于是EA=EDBE BDAB BE BEAB BD又TEA DC,lAC ED EA,AAC CD77分析3欲证式子左边为AB:AC,而AB、AC不 在同一直线上，又不平行，故考虑将AB转移到 与AC平行的位置.证法3:如图411,过B作BE/AC,交AD的延长线于E,则/2=ZE.ES4 11/仁/2,A/1=ZE,AB=BEBD BEAB BD又/DC AC,AC CD.分析4由于AD是/BAC的平分线，故可过D分别作AB、AC的平行线，构造相似三角形求证.证法4如图3.412,过D点作DE/AC交AB于E,DF/AB交AC于F.易证四边形AEDF是菱形贝UBD BE BE由厶BDEADFC得DC DFDEBE ABAB BD又/DE AC,AC DC.DE=DF
相似三角形添加辅助线的方法举例
