非惯性系中的

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1、1非惯性系中的“弹簧双振子模型”浙江省海盐元济高级中学（314300）王建峰 魏俊枭一、“弹簧双振子模型”的含义如图一所示，质量分别为mA和mB的两物块A和B，A、B可视为质点，用一根劲度系数为k的轻质弹簧连接起来，放在光滑水平面上，弹簧原长为|0。可以将A、B和弹簧组成的系统装置称为“弹簧双振子模型”。该模型在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现，从反馈情况来看失分是相当严重的。究其原因它不但涉及力与运动、动量与能量等物理知识，而且 物理过程复杂、运动情景难以想象，对学生分析、解决问题的能力提出了较高的要求。因此，帮助学生认清该模型的特点，掌握分析该模型的一般方法，并能够适当地变式处理此 类

2、问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。（图一）、非惯性系中的“弹簧双振子模型”牛顿运动定律不成立的参照系称为非惯性系。非惯性系相对惯性系必然做加速运动或旋转运动。为 了使牛顿运动定律在非惯性中也能使用，可人为地引入一个惯性力。如果非惯性系相对惯性系有平动加速度a，那么只要认为非惯性系中的所有物体都受到一个大小为ma、方向与a的方向相反的惯性力，牛顿运动定律即可成立。如果非惯性系相对惯性系有转动加速度，也可引进惯性离心力和科里奥利力，这两个力不仅与非惯性系的转动角速度有关，还与研究对象的位置和运动速度有关，在此对转动情况不作讨论。下 面就“弹簧双振子模型”在非惯性系（只有平动加速度）中的

3、运动规律作一些简单探讨。情景:如图二所示，在一个劲度系数为k的轻质弹簧（两端绝缘）分别拴着荷质比为qA与荷质比为m）A的两个带正电的小球，且qA=qB，系统置于光滑水/mA/mB平面，处在水平的匀强电场中，电场强度为E,A端用细线拴住，系统处于静止状态，此时弹簧长度为I，弹簧原长|0。金/1 4O11 XOX（图二）A C：BE现将细线烧断，试确定A、B在任意时刻的所处位置。（A、B两球的相互作用力忽略不计）解析:以质心为参考系（质心系），则质心C是静止的，连接A、B的弹簧仍可以看成两断，左边 一段原长为|=mB一|0，劲度系数为mB+mAk；右边一段原长为IBO1=匹一l0，劲度系数为AOm

4、A+mBmBBOmA+mBmBmAk;振动周期都是T=2二mAmBmAk(mAmB)对B球有k I-l0二EqB以地面为参考系，建立如图二所示的坐标系，即以A为坐标原点，向右为正方向。质心做匀加速运动，加速度a_E（qAqB），在t=0时刻，即细线刚烧断时刻，A位于Ox轴的原点mA+mBO处，即卩xA0=0；B的坐标xB0=l。质心 的坐标为xC0=咚l，在细线烧断以后，任意时mmB1 Eq 7B）刻t质心的位置XC(t)=Xc(0)2氏2mBBlmAmB2 mAmB2在非惯性参考系中，A、B还受惯性力作用，建立如图二所示的坐标系，即以质心o1为坐标原点,3坐标轴OX向右为正方向。原点O与质心

5、固定，当小球B在这参考系中的坐标为xB时，作用于B的合力同理得t时刻A在地面参考系的坐标为三、非惯性系中的“弹簧双振子模型”在物理竞赛中的应用（第22届全国中学生物理竞赛复赛第七题）如图所示，在一个劲度系数为k的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为m的小球A和质量为2m的小球B.A用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长度为I现将细线烧断，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴Ox，原点O与此时A球的位置重合如图三所示.试求任意时刻两球的坐标.解析:细线烧断后，整个系统在重力场中作匀加速运动，FB=kB(xB心1”EqBmBa=kBXBmumAJ令 XBmA(l=X

6、BmA-mBEqB)有F=-kBXBk由上式可知在质心系中,B的平衡位置的坐标XB0mAmAmB(lEqB)v)且作用于B的合力具有弹性力的性质，故在FB作用下，B将在平衡位置附近作简谐振动，离开平衡位置的位移XB=ABCOSBt：B,AB为振幅,：B为初相位。在t=0时刻，B是静止的，振幅AB就是此时B离开其平衡位置XB0的距离AB=lb _XB0mAmA-l-mAmBmAmBmaEqB又因t=0,XB=AB,且XB是正的，故：B=0由此得mAEqBXBcos(mA-mB)k(mA_mB)ktmAmB所以t时刻B在质心系中的坐标mAEqB(mAmB)kt(1)mAmB在地面参考系的坐标XBt

7、二XctXBtXBt m lmq4t2(ll.dldcosmA+mB2 mA+mBmA+mBk(mA+mB)k(mAmB)ktmAmB(2)-(mA+mB)kXAtJ旦7t2口圧2 mA+mBmAmB/(3)A、B处在非惯（图三）COS(mAmB)kXBt(l一mA+mB?A A:-k k性系中。由前面分析可知:A、B相对质心作简诣运动，质心做自由落体运动。A、B振动的周期4T=2二mAmB=2二2m；t时刻B在质心系中的位置坐标（代入1式）得:J飞k（mA+mB）3kt时刻A在质心系中的位置坐标（代入3式）得:“弹簧振子模型”在近几年的全国物理竞赛中以各种情景频频亮相。如第20届复赛中的“人造卫星受地球引力作用下的卫星单振子”、第21届复赛中的“电磁感应中的惯性系双振子”、第22届复赛中的“力学非惯性系双振子”。总之，我们要深入思考、敢于联想，善于用变化的、联系的观点去分析各种情 景，抽象出模型本质，方能提高自己的解题能力，进而不断地提高科学的思维品质。XBt二mAm)Am)(lmBgmAmBgcos(mAm)B)k(mAm)B)ktmAmB1(l2mg、V)2mg在地面参考系中的位置坐标（代入2式）得:XA4 mgI-3 k1-cosJ3ktHJ 2m丿12XB(t)2gt2 mgkcos.4 mg3k