计量经济学 第五章异方差性

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1、 第五章 异方差性本章教学要求：根据类型，异方差性是违背古典假定情况下线性回归模型建立的另一问题。通过本章的学习应达到，掌握异方差的基本概念包括经济学解释，异方差的出现对模型的不良影响，诊断异方差的方法和修正异方差的若干方法。经过学习能够处理模型中出现的异方差问题。第一节 异方差性的概念一、二个例子例1，研究我国制造业利润函数，选取销售收入作为解释变量，数据为1998年的食品年制造业、饮料制造业等28个截面数据（即n=28）。数据如下表,其中y表示制造业利润函数，x表示销售收入（单位为亿元）。Y对X的散点图为从散点图可以看出，在线性的基础上，有的点分散幅度较小，有的点分散幅度较大。因此，这种分

2、散幅度的大小不一致，可以认为是由于销售收入的影响，使得制造业利润偏离均值的程度发生变化，而偏离均值的程度大小的不同，就是所谓的随机误差的方差存在变异，即异方差。如果非线性，则属于哪类非线性，从图形所反映的特征看，并不明显。下面给出制造业利润对销售收入的回归估计。 模型的书写格式为 通过变量的散点图、参数估计、残差图，可以看到模型中（随机误差）很有可能存在异方差性。例2，改革开放以来，各地区的医疗机构都有了较快发展，不仅政府建立了一批医疗机构，还建立了不少民营医疗机构。各地医疗机构的发展状况，除了其他因素外主要决定于对医疗服务的需求量，而医疗服务需求与人口数量有关。为了给制定医疗机构的规划提供依

3、据，分析比较医疗机构与人口数量的关系，建立卫生医疗机构数与人口数的回归模型。根据四川省2000年21个地市州医疗机构数与人口数资料对模型估计的结果如下： （291.5778） (0.644284) t =(-1.931062) (8.340265) 式中表示卫生医疗机构数（个），表示人口数量（万人）。从回归模型估计的结果看，人口数量对应参数的标准误差较小，统计量远大于临界值，说明人口数量对医疗机构确有显著影响，可决系数和修正的可决系数还可以，F检验结果也明显显著。表明该模型的估计效果还不错，可以认为人口数量每增加1万人，平均说来医疗机构将增加5.3735个。然而，这里得出的结论可能是不可靠的，

4、平均说来每增加1万人口可能并不需要增加这样多的医疗机构，所得结论并不符合真实情况。那末，有什么充分的理由说明这一回归结果不可靠呢？更为接近真实的结论又是什么呢？ 二、异方差的定义设模型为如果对于模型中随机误差项，有则称具有异方差性。进一步，把异方差看成是由于某个解释变量的变化（注意这里含有较强的假定）而引起的，则 例1，一个食品支出与收入的关系（教科书第92页）。表明异方差的产生与人们的收入状况有关。例2，研究浙江省农业总产值与农业劳动力人数、耕地面积之间的关系。选取该省17个县市1992年的数据资料（截面数据），为了研究的方便，已将个县市按农业总产值从小到大进行了排列。通过EViews的操作

5、可以看到该问题的异方差现象。例3，根据美国一项制造业调查的资料，可以看到企业规模越大，平均生产力会越高，但生产力的波动也变大了（用标准差反映），数据见下表。雇佣人数平均生产力生产力的标准差1-45-910-1920-4950-99100-249250-499500-9991000-249993558544796283758389941897951028111750248726423055270631194493491058935550三、产生异方差的背景1、由于模型中缺失了某些重要解释变量，或者是随着时间的推移有可能成为重要影响因素的变量，但也应注意设定误差问题。2、截面数据更易引起异方差（时

6、间序列数据也可能会引起异方差，比如人们的打字技术随时间推移而出现的差异）。3、由于样本数据的观测误差。4、异方差的出现与某个解释变量的变动有关。在实际经济问题中，人们很难得到总体u的信息，因此，我们只能够通过对残差e的认识和处理，来实现对总体随机误差是否存在异方差的推断和分析。第二节 异方差性对模型的影响一、在异方差存在的前提下，参数估计值的特性1、参数估计值仍是无偏的。设模型为 对于参数的估计量用如下离差形式表示 式中。则 在证明中用了假定。2、参数估计值的方差不再是最小。在异方差下同理在上述推导中用了假定。比较上述（a）式与（b）式的结果，可以看到只有当对每个i都有时，才能相等。因此，在同

7、方差假定下，有参数估计值的方差最小，而在异方差下，参数估计值的方差就不再最小了。二、参数显著性检验失效在参数估计中，如果忽略上述差异，仍然用式（b）作为参数估计的方差去衡量，必然会使得参数估计值的方差低估或高估其真实方差。同时，当出现异方差时，与的变化有关（注意，事实上是中的估计在随着 变化而变化），它不再为一固定值。从而t统计量不确定，并且它也不再服从t分布，不可能对参数的进行显著性检验。这时参数（如）的置信区间也是不存在的。三、预测精度降低由于受上述差异的影响，这时不再是的无偏估计，从而预测的置信区间将受到严重的误导，并且预测区间也会随着方差的变动而变化。第三节 异方差性的检验对异方差性的

8、检验主要有以下一些方法，1、图形法。2、Goldfeld-Quandt方法。3、Glejser方法*。4、Breusch-Pagan方法*。5、White方法。6、ARCH方法下面分别介绍这些检验方法。1、 图形法。由残差，得到。以为纵轴，某个解释变量为横轴，画出散点图，由此可粗略判断异方差的存在。利用前面制造业利润与销售收入之间短系的例子，由残差平方与解释变量的散点图说明异方差存在。虽然随机误差项无法观测，但样本回归的残差一定程度上反映了随机误差的某些分布特征，可通过残差的图形对异方差性作观察。例如，一元线性回归模型，在OLS估计基础上得到残差的平方，然后绘制出对的散点图，如果不随而变化，如

9、图5.3a所示，则表明不存在异方差；如果随而变化，如图5.3b、c、d所示，则表明存在异方差。ba0000dc图形法的特点是简单易操作，不足是对异方差性的判断比较粗糙，由于引起异方差性的原因错综复杂，仅靠图形法有时很难准确对是否存在异方差下结论，还需要采用其他统计检验方法。2、Goldfeld-Quandt方法。（1）前提条件。样本容量要充分的大；随机误差项正态分布，除异方差以外，其它基本假定成立。（2）检验的基本步骤。将解释变量的取值按从小到大排序（也可从大到小，但F统计量的分子于分母需要交换，为什么？）。将排列在中间的约1/4的观察值删除掉，记为c，再将剩余的分为两个部分，每部分观察值的个

10、数为(n-c)/2，根据Goldfeld和Quandt的证实，一元线性模型里当样本容量大于60时，c可取16，而当n=30时，取c为4；提出假设。即构造F统计量。分别对上述两个部分的观察值求回归模型，由此得到的两个部分的残差平方和为，它们的自由度均为(n-c)/2-k，其中k为参数的个数。（这里如果假定u服从正态分布，并且同方差性假定时真实的，则可证明下式成立）于是在原假设成立的前提下，有 判断。给定显著性水平，查F分布表，得临界值，如果 F*则拒绝原假设，接受备择假设，即模型中的随机误差存在异方差。 例如，分析某地区家庭消费与收入之间的关系，n=30。下面是在EViews上运用G-Q检验的操

11、作过程。3、Glejser方法。Glejser检验的基本思想是，由OLS法得到残差，取的绝对值，然后将对某个解释变量回归，根据回归模型的显著性和拟合优度来判断是否存在异方差。该检验的特点是不仅能对异方差的存在进行判断，而且还能对异方差随某个解释变量变化的函数形式进行诊断。该检验要求变量的观测值为大样本。Glejser检验的具体步骤：（1）根据样本数据建立回归模型，并求残差序列。 （2）用残差绝对值对的进行回归，由于与的真实函数形式并不知道，只能用样本数据对各种函数形式进行试验，从中选择最佳形式。Glejser曾提出如下一些假设的函数形式： 式中v为随机误差项。（3）通常可用作为的替代变量，对所

12、选函数形式回归。用回归所得到的、t、F等信息判断，若表明参数显著不为零，即认为存在异方差性。如果是小样本情况，Glejser检验只能作为了解异方差性某些信息的一种手段。4、Breusch-Pagan检验方法。（1）基本思路。构造残差平方序列与某个解释变量的辅助回归模型，得到回归平方和，以此判断总体随机误差存在异方差的显著性。（2）具体作法如下设模型为 并且其中为某个解释变量或全部（j=1，2，p）。提出假设：估计样本回归函数，得残差e和总体方差的估计 n为样本容量。构造辅助函数。 为随机误差项。估计辅助函数，并计算回归平方和。可以证明在同方差下，并且是大样本的时候，有 给定显著性水平，查卡方分

13、布表，得临界值；如果，则拒绝原假设，说明模型存在异方差。 该方法的特点是，无须将样本数据排序，但辅助回归中Z变量与解释变量的关系，在无先验信息的情况下，并不易确定。5、White检验方法。（1） 检验条件，要求在大样本下。（2） White检验的基本步骤，以一个二元线性回归模型为例。设模型为 并且，设异方差与的一般关系为 其中为随机误差项。具体操作如下求样本回归模型；计算残差，并求；用残差平方作为异方差的估计，并建立对的辅助回归记，即 ；由此计算，其中n为样本容量，为辅助回归函数的可决系数；提出假设中至少有一个不为零，服从自由度为5的分布，给定显著性水平，查分布表得临界值，如果，则拒绝原假设，

14、表明模型中随机误差存在异方差；EViews操作结果及判断分析。见实例。6、ARCH检验方法。（1） 检验的步骤。建立ARCH过程 式中为随机误差；提出假设， 中至少有一个不为零对原模型进行回归，求残差e，并计算残差序列求辅助回归 计算辅助回归得可决系数，并且在H0成立下，有；给定显著性水平，查卡方分布表得临界值，如果，则拒绝原假设，表明模型中得随机误差存在异方差。（2） ARCH检验的EViews操作及对结果的解释。White检验与ARCH检验的共同特点是能比较方便地对异方差进行诊断，但ARCH检验不能确定是哪一个解释变量以什么形式引起的异方差现象。第四节 异方差性的补救措施 如果经过检验后模

15、型中发现存在异方差，就需要采取必要的措施对异方差问题进行修正。基本想法是运用适当的估计方法，消除或减弱异方差性对模型的影响，以提高估计参数的精度。 一、加权最小二乘法（WLS）1、加权最小二乘法的基本含义：在异方差性的情况下，由于不同的Xi使得ui偏离均值的离散程度不一样，基于样本的信息，则存在当的值较小时，残差ei所提供的信息较少，这时需要给予重视；而当的值较大时，残差ei所提供的信息较大，这时需要给予折扣。从而，对较小的给予较大的权数，对较大的给予较小的权数，使得更好地反映对残差平方和的影响程度。2、 按照上述意义，设权数为，（），有得参数估计式： 式中，。3、加权的结果，即对原模型中每一

16、个变量进行转换，转换的目的使得随机误差满足同方差假定。 我们对式（f）运用最小二乘法即可求出参数估计。但从上述推导过程可以看出，新的随机误差的方差为同方差。练习：试说明式（）与式（）等价。二、对原模型变换的方法基本思路：设模型为，并且存在异方差。 （1）在Glejser检验下，有；（2）令权数为，将该权数同乘上述模型式的两端，这时新的随机误差项为，并且是同方差。（3）可有如下若干种形式：注意，对模型变换的方法与加权最小二乘法是等价的。三、模型的对数变换1、对数变换的含义，强调经济意义。2、对数变换可以缩小测定变量值尺度的差异。3、对数变换后的随机误差是相对误差。 4、对数变换模型（全对数模型）

17、又称弹性不变模型，这在实际分析中有较强的应用意义。四、举例教科书第103页，研究北京市人均储蓄与人均收入之间的关系。五、补充说明（一）在异方差性条件下参数估计统计性质的证明1、参数估计的无偏性仍然成立设模型为 （1）用离差形式表示 (其中) （2）参数的估计量为在证明中仅用到了假定。2、参数估计的有效性不成立假设（1）式存在异方差，且，则参数的估计的方差为 (5)在上述推导中用了假定。下面对（2）式运用加权最小二乘法（WLS）。设权数为，对（2）式变换为 （6） 可求得参数的估计，根据本章第四节变量变换法的讨论，这时新的随机误差项为同方差，即，而 的方差为 （7）为了便于区别，用()wls表示加权最小二乘法估计的，用()ols表示OLS法估计的。比较（5）式与（7）式，即在异方差下用OLS法得到参数估计的方差与用WLS法得到参数估计的方差相比较为 （8）令，由初等数学知识有，因此（10）式右端有 （9）从而，有 这就证明了在异方差下，仍然用普通最小二乘法所得到的参数估计值的方差不再最小。（二）对数变换后残差为相对误差的证明事实上，设样本回归函数为 （10）其中为残差，取对数后的样本回归函数为 （11）其中残差为，因此 （12）对（12）式的右端，依据泰勒展式 （13）将（13）式中的用替换，则可近似地表示为 （14）即表明（11）式中的误差项为相对误差。