幂函数经典例题(答案)

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1、幂函数的概念例1、下列结论中，正确的是()A幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B幂函数的图象可以出现在第四象限C当幂指数取1,3，时，幂函数yx是增函数D当幂指数1时，幂函数yx在定义域上是减函数解析当幂指数1时，幂函数yx1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，)上都有定义，且yx (R)，y0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当1时，yx1在区间(，0)和(0，)上是减函数，但它在定义域上不是减函数答案C例2、已知幂函数f(x)(t3t1)x(73t2t2) (tZ)是偶函数且在(0，)上为增函数，求实数t的值分析关于幂函数yx (R

2、，0)的奇偶性问题，设 (|p|、|q|互质)，当q为偶数时，p必为奇数，yx是非奇非偶函数；当q是奇数时，yx的奇偶性与p的值相对应解f(x)是幂函数，t3t11，t1,1或0.当t0时，f(x)x是奇函数；当t1时，f(x)x是偶函数；当t1时，f(x)x是偶函数，且和都大于0，在(0，)上为增函数故t1且f(x)x或t1且f(x)x.点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件tZ给予足够的重视例3、如图是幂函数yxm与yxn在第一象限内的图象，则()A-1n0m1Bn1,0m1 C1n1 Dn1解析在(0,1)内取同一值x0，作直线xx0，与各图象有交点，则“点

3、低指数大”如图，0m1，nx，求x的取值范围错解由于x20，xR，则由x2x，可得xR.错因分析上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是yx在1和01两种情况下图象的分布正解作出函数y=x2和y=的图象(如右图所示)，易得x1.例5、函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式分析解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m.解根据幂函数定义得m2m11，解得m2或m1，当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数；当m1时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不符合要求故f(x)x3.点评幂函数yx (R)，其中为常

4、数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数(也可以为0)这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根变式 已知y(m22m2)x2n3是幂函数，求m，n的值解由题意得，解得，所以m3，n.例6、比较下列各组中两个数的大小：（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），解析：（1）考查幂函数y的单调性，在第一象限内函数单调递增， 1.51.7，（2）考查幂函数y的单调性，同理0.71.50.61.5（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，又，点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若

5、能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小例7、比较下列各组数的大小 (1) 3与3.1；(2)8与.分析比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法解(1)函数yx在(0，)上为减函数，又33.1.(2)8，函数yx在(0，)上为增函数，又，则，从而8，11,03.811，(1.9)0，所以(1.9)3.8(4.1).例8、已知幂函数yx3m9 (mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上函数值随x的增大而减小，求满足(a1)(32a)的a的范围解函数在(0，)上递减

6、，3m90，解得m3，又mN*，m1,2.又函数图象关于y轴对称，3m9为偶数，故m1，有(a1)32a0或0a132a或a1032a，解得a或a0时，是增函数；幂函数yxn，当n0，且a1)答案B解析根据函数图象，选B.二、填空题1若幂函数yf(x)的图象经过点，则f(25)_.答案解析设f(x)x，则9，.f(25)25.2设幂函数yx的图象经过点(8,4)，则函数yx的值域是_答案0，)解析由48，得，yx0.3. 如图所示是幂函数y=x在第一象限内的图象，已知取2，四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的依次为.答案2，24若幂函数yf(x)的图象经过点(2，)，则f(25)的值是

7、_答案5解析设yx，点(2，)在yx的图象上，2，f(x)x.故f(25)255.5幂函数yx (R)的图象一定不经过第_象限答案四6把下列各数2，3，0，按由小到大的排列顺序为_答案302.7已知幂函数f(x)x，若f(a1)f(102a)，则a的取值范围是_答案3a0)，由图象知x(0，)时为减函数，又f(a1)f(102a)，得3ag(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)1或xg(x)(2)当x=1时，f(x)=g(x)(3)当-1x0或0x1时，f(x)g(x)4已知函数y(a23a2)xa25a5 (a为常数)(1)a为何值时此函数为幂函数？(2)a为何值时此函数为正比例函数

8、？(3)a为何值时此函数为反比例函数？解(1)由题意，得a23a21，即a23a10.解得a，即a时，此函数为幂函数；(2)由题意，得解得a4，即a4时，此函数为正比例函数；(3)由题意，得解得a3，即a3时，此函数为反比例函数5已知函数y（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间解析：这是复合函数问题，利用换元法令t152xx2，则y，（1）由152xx20得函数的定义域为5，3，t16（x1）20，16函数的值域为0，2（2）函数的定义域为5，3且关于原点不对称，函数既不是奇函数也不是偶函数（3）函数的定义域为5，3，对称轴为x1，x5，1时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小又函数y在t0，16时，y随t的增大而增大，函数y的单调增区间为5，1，单调减区间为（1，3答案：（1）定义域为5，3，值域为0，2；（2）函数即不是奇函数，也不是偶函数；