幂函数经典例题(答案)

幂函数的概念例1、下列结论中，正确的是()A幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B幂函数的图象可以出现在第四象限C当幂指数取1,3，时，幂函数yx是增函数D当幂指数1时，幂函数yx在定义域上是减函数解析当幂指数1时，幂函数yx1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，)上都有定义，且yx (R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当1时，yx1在区间(，0)和(0，)上是减函数，但它在定义域上不是减函数答案C例2、已知幂函数f(x)(t3t1)x(73t2t2) (tZ)是偶函数且在(0，)上为增函数，求实数t的值分析关于幂函数yx (R，0)的奇偶性问题，设 (|p|、|q|互质)，当q为偶数时，p必为奇数，yx是非奇非偶函数；当q是奇数时，yx的奇偶性与p的值相对应解f(x)是幂函数，t3t11，t1,1或0.当t0时，f(x)x是奇函数；当t1时，f(x)x是偶函数；当t1时，f(x)x是偶函数，且和都大于0，在(0，)上为增函数故t1且f(x)x或t1且f(x)x.点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件tZ给予足够的重视例3、如图是幂函数yxm与yxn在第一象限内的图象，则()A-1<n<0<m<1Bn<1,0<m<1 C1<n<0，m>1 Dn<1，m>1解析在(0,1)内取同一值x0，作直线xx0，与各图象有交点，则“点低指数大”如图，0<m<1，n<1.答案B点评在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴例4、已知x2>x，求x的取值范围错解由于x20，xR，则由x2>x，可得xR.错因分析上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是yx在>1和0<<1两种情况下图象的分布正解作出函数y=x2和y=的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.例5、函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式分析解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m.解根据幂函数定义得m2m11，解得m2或m1，当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数；当m1时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不符合要求故f(x)x3.点评幂函数yx (R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数(也可以为0)这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根变式 已知y(m22m2)x2n3是幂函数，求m，n的值解由题意得，解得，所以m3，n.例6、比较下列各组中两个数的大小：（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），解析：（1）考查幂函数y的单调性，在第一象限内函数单调递增， 1.51.7，（2）考查幂函数y的单调性，同理0.71.50.61.5（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，又，点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小例7、比较下列各组数的大小 (1) 3与3.1；(2)8与.分析比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法解(1)函数yx在(0，)上为减函数，又3<3.1，所以3>3.1.(2)8，函数yx在(0，)上为增函数，又>，则>，从而8<.点评比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数变式比较下列各组数的大小：(1)与；(2)4.1，(1.9)与3.8.解(1)，函数yx在(0，)上为减函数，又>，<.(2)(4.1)>11,0<3.8<11，(1.9)<0，所以(1.9)<3.8<(4.1).例8、已知幂函数yx3m9 (mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上函数值随x的增大而减小，求满足(a1)<(32a)的a的范围解函数在(0，)上递减，3m9<0，解得m<3，又mN*，m1,2.又函数图象关于y轴对称，3m9为偶数，故m1，有(a1)<(32a).又yx在(，0)，(0，)上均递减，a1>32a>0或0>a1>32a或a1<0<32a，解得<a<或a<1.点评(1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义(2)幂函数yx，由于的值不同，单调性和奇偶性也就不同变式已知幂函数yxm22m3 (mZ)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，且画出它的图象解由已知，得m22m30，1m3.又mZ，m1,0,1,2,3，当m0或m2时，yx3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不符合题意当m1或m3时，有yx0，其图象如图所示当m1时，yx4，其图象如图所示练习一、选择题1下列命题：幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；幂函数的图象不可能在第四象限；n0时，yxn的图象是一条直线；幂函数yxn，当n>0时，是增函数；幂函数yxn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小其中正确的是()A和B和C和D和答案D2下列函数中，不是幂函数的是()Ay2x Byx1 Cy Dyx2答案A3设，则使f(x)x为奇函数且在(0，)内单调递减的值的个数是()A1 B2 C3 D4答案A4当x(1，)时，下列函数图象恒在直线yx下方的偶函数是()Ayx Byx2 Cyx2 Dyx1答案B5如果幂函数y(m23m3)·xm2m2的图象不过原点，则m的取值是()A1m2 Bm1或m2 Cm2 Dm1答案B解析由已知m1或m2.6在函数y，y2x2，yx2x，y1 (x0)中幂函数的个数为()A1B0C2D3答案C解析依据幂函数的定义判定，应选C.7幂函数f(x)的图象过点，那么f(8)的值为()A2 B64 C. D.答案C解析设f(x)x (为常数)，将点代入得4，f(x)x，f(8)8.8下列函数中，值域为0，)的函数是()Ay2x Byx2 Cyx2 Dylogax (a>0，且a1)答案B解析根据函数图象，选B.二、填空题1若幂函数yf(x)的图象经过点，则f(25)_.答案解析设f(x)x，则9，.f(25)25.2设幂函数yx的图象经过点(8,4)，则函数yx的值域是_答案0，)解析由48，得，yx0.3. 如图所示是幂函数y=x在第一象限内的图象，已知取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的依次为.答案2，24若幂函数yf(x)的图象经过点(2，)，则f(25)的值是_答案5解析设yx，点(2，)在yx的图象上，2，f(x)x.故f(25)255.5幂函数yx (R)的图象一定不经过第_象限答案四6把下列各数2，3，0，按由小到大的排列顺序为_答案3<<0<<2.7已知幂函数f(x)x，若f(a1)<f(102a)，则a的取值范围是_答案3<a<5解析f(x)x (x>0)，由图象知x(0，)时为减函数，又f(a1)<f(102a)，得3<a<5.三、解答题1求函数y2x4（x32）值域解析：设tx，x32，t2，则yt22t4（t1）23当t1时，ymin3函数y2x4（x32）的值域为3，）点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法2已知f(x)(m22m)·xm2m1，m是何值时，f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数解(1)若f(x)为正比例函数，则，m1.(2)若f(x)为反比例函数，则，m1.(3)若f(x)为二次函数，则，m.(4)若f(x)为幂函数，则m22m1，m1±。3已知点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)<g(x)解设f(x)x，由题意得：2()22，f(x)x2.同理可求：g(x)=x-2，在同一坐标系内作出y=f(x)与y=g(x)的图象，如图所示由图象可知：(1)当x>1或x<-1时，f(x)>g(x)(2)当x=±1时，f(x)=g(x)(3)当-1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)4已知函数y(a23a2)xa25a5 (a为常数)(1)a为何值时此函数为幂函数？(2)a为何值时此函数为正比例函数？(3)a为何值时此函数为反比例函数？解(1)由题意，得a23a21，即a23a10.解得a，即a时，此函数为幂函数；(2)由题意，得解得a4，即a4时，此函数为正比例函数；(3)由题意，得解得a3，即a3时，此函数为反比例函数5已知函数y（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间解析：这是复合函数问题，利用换元法令t152xx2，则y，（1）由152xx20得函数的定义域为5，3，t16（x1）20，16函数的值域为0，2（2）函数的定义域为5，3且关于原点不对称，函数既不是奇函数也不是偶函数（3）函数的定义域为5，3，对称轴为x1，x5，1时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小又函数y在t0，16时，y随t的增大而增大，函数y的单调增区间为5，1，单调减区间为（1，3答案：（1）定义域为5，3，值域为0，2；（2）函数即不是奇函数，也不是偶函数；