[数学]导数综合题1

《[数学]导数综合题1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[数学]导数综合题1（41页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、导数综合题1、若函数，。 （1）求函数的单调区间； （2）若对所有的都有成立，求实数的取值范围。 解：（1）的定义域为，设，则。当时，则，在上；当时，（），即时，则，在上；（），即时，有两根，。，即，的图像如图，则时，则，在上，时，则，在上，时，则，在上。综上所述：当时，在上为增函数；当时，在与为增函数，在上为减函数。（2），令，则，又令，则，在，则，故，从而在，则，。2、已知函数，（为常数），若直线与，的图像相切的切点的横坐标为。 （1）求直线的方程及的值； （2）当时，求在上的最大值。解：（1），切点为，故的方程为，联立，由。（2），。当时，由得，显然，故，。令，其草图如图，当时，单调增，

2、当时，单调减，故。3、已知函数，（），且在处取得极值。 （1）求的值和的极小值； （2）规定：一个函数在区间上有意义，且对任意，都有，则称是区间上的凹函数。试依此规定证明是上的凹函数； （3）已知的三个顶点、都在函数的图像上，且横坐标依次成等差数列，求证：是钝角三角形，但不可能是等腰三角形。解：（1）（），由，则（），由或。当变化时，、的变化情况如下表：极大值极小值时，。（2），即，是上的凹函数。（3）恒成立，在上单调递减。设、，且，则。，故为钝角，是钝角三角形。若是等腰三角形，则只可能是，则，整理得，即与是上的凹函数矛盾，故是不可能是等腰三角形。4、定义函数（，）。 （1）求证：； （2）是

3、否存在区间（），使函数在区间上的值域为？若存在，求出最小的值及相应的区间；若不存在，说明理由。解：（1）设，则，当时，；当时，故在，在，即，故。（2），。令，得或。当变化时，的情况如下表：极大值极小值作出的草图如图所示：方法1：下面考察直线与曲线相交的情况。当时，在，则，解得（舍）或（舍）或。，此时，。若，如图，过极小值点作直线与交于另外一点，如果存在满足条件的区间，则只须，解得，令，解得，由，解得，此时。综上，存在，相应区间为。方法2：在时，的最小值为，；在时，的最小值为，；在时，的最小值为，。综上，存在，相应区间为。5、（1）已知函数在上是单调函数，求实数的取值范围。 （2）若函数在单调递

4、增，求实数的取值范围。解：（1），若在，则即在恒成立，则，当时，故。若在，则即在恒成立，则，当时，故。综上所述，或。（2）在时恒成立，故，的取值范围是。6、设函数，。 （1）若在上是增函数，求实数的取值范围； （2）求在上的最大值。解：（1）在时恒成立，而，故。（2）由（1）知，当时，在，此时；当时，令，解得，当时，在，当时，在，则。综上，当时，；当时，。7、（1）已知函数，（，），求函数的最小值； （2）定理：若，均为正数，则成立（其中，为常数）。请你构造一个函数，证明：当，均为正数时，成立。解：（1）令，则，当时，故在，当时，故在，。（2）设，则，令，得。当时，在单调递减，当时，在，由定理

5、知：，故，故，即。8、已知函数。 （1）求函数的最小值； （2）已知，求证：。解：（1），故，在，故。（2）设，则，则，在，当时，故。9、已知函数。 （1）当时，求的单调性； （2）数列，且，求证：，并比较与的大小关系； （3）在（2）的前提下，是否存在正实数，使得对一切恒成立？若存在，求出的取值范围；否则说明理由。解：（1），当时，在。（2），假设，由（1）知，故，因此。，。（3）由（2）知是单调递增的正项数列，又，故只须即恒成立，而，。10、若存在正实数，使不等式成立，求实数的取值范围。解：显然，故只须存在正实数使不等式成立，只须比的最大值小即可。，当时，当时，故，从而，因此。11、已知函

6、数的图像过点，且在点处的切线方程为。 （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间。解：（1），依题意有，故。（2）或，在与上为增函数，在为减函数。12、设，是函数的两个极值点。 （1）求证：； （2）若，求证：。解：，故，是方程的两个根。（1）。（2）由于，故，由得：，由于，。13、已知定义在上的函数的图像与轴的交点到原点的距离小于等于。 （1）求实数的取值范围； （2）是否存在这样的区间，对任意的的可能取值，函数在该区间上都是单调递增？若存在，求出这样的区间；若不存在，则说明理由。解：（1）函数图像与轴的交点为，则，故。（2），依题意即对任意的恒成立。令，则或，存在区间与对任意的，函数在

7、该区间上都是单调递增。14、已知函数。（1）若函数的图像上任意不同两点连线的斜率都小于，求证：；（2）若时，函数的图像上任意一点的切线的斜率为，试确定的充要条件。解：（1）设、是的图像上任意不同两点，则，即，整理得，即恒成立，又，。（2），。则，的充要条件为。15、已知函数。 （1）函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论。 （2）若当时，恒成立，求正整数的最大值。解：（1），因此函数在区间上是减函数。（2）方法1：恒成立，即对恒成立。，记（），则，在上单调递增，又，存在唯一实根，则，当时，；当时，。在上单调递减，在上单调递增，因此正整数的最大值为。方法2：对恒成立，则当时，有，又为正整数

8、，的最大值不超过。下面证明当时，对恒成立。即证当时，恒成立。令，则，当时，；当时，。在上单调增，在上单调减，。当时，恒成立，因此正整数的最大值为。16、已知函数，过曲线上一点作曲线的切线交、轴于、两点，为坐标原点。（1）求在时的切线的方程；（2）求面积的最小值记此时点的坐标。 解：（1），则（），当时，的方程为。（2）在（）中，令，得，令，得，令，则，由，当时，；当时，。在，在，当即时，取最小值，此时。17、设函数是定义在上的偶函数，与的图像关于直线对称，当时，（为常数）。 （1）求的表达式； （2）当时，求在上取得最大值时，对应的值；猜想在上的单调增区间，并给予证明； （3）当时，是否存在使

9、的图像的最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。解：（1）与的图像关于直线对称，则当时，当时，而当时，故。（2），时，由。当时，；当时，在，在，在时的最大值时。（3）依题意，时，的最大值为。为偶函数，故只须考虑它在时的情况，由（2）知，当时，在，此时，故存在满足条件。18、从边长为的正方形铁皮的四个角各截一个边长为的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度与底面正方形边长的比不超过正常数。 （1）把铁盒的容积表示为的函数，并指出其定义域； （2）为何值时，容积有最大值。解：（1）长方体的底面边长为，又，。（2），则，令，则或（舍去）。（）若，即时，的变化情况如下表

10、：当时，。（）若，即时，在上为增函数，当时，取最大值。故时，在处取最大值，时，在处取最大值。19、设函数。 （1）求的单调区间； （2）若时，当时，恒成立，求实数的取值范围。解：（1），令 （）、当，即，又，故时，（）恒成立，此时在上为单调增函数。、当，即或，又，故时，（）的解集为，在与上为单调增函数，在为单调减函数。（2），在上为单调增函数，则或。20、已知函数（为实常数）。 （1）已知的展开式中的系数为，求常数； （2）已知在内是减函数，求的取值范围； （3）是否存在的值，使在定义域中取任意值时，恒成立？如存在，求出所有的值；如不存在，说明理由。解：（1）的展开式的通项，则。（2）在内是减

11、函数，即在内是减函数，则在上恒成立，即在上恒成立，。（3）当时，在时，不满足，当时，显然也不能恒成立，当时，。21、设函数与数列满足关系：，其中是方程的实数根；的导数。 （1）证明：，； （2）判断与的大小，并证明你的结论。解：（1）证明：，在定义域上为单调增函数，由，则，若，则当时，故，。（2）设，在定义域上为单调减函数，即，。22、已知，在上是单调函数。 （1）求函数的最大值、最小值； （2）设，且，求证：。解：（1），若在上是单调减函数，则，即在上恒成立，这是不可能的。在上是单调增函数，则，即在上恒成立，。而，由，在上单调减，在单调增，无最大值。（2）证明：若，则，由在上是单调增，则，即

12、，与假设矛盾，故不成立；若，则，由在上是单调增，则，即，与假设矛盾，故不成立，综上所述，。23、对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。如果函数有且仅有两个不动点、，且。（1）试求函数的单调区间；（2）已知各项不为零的数列满足，求证：；（3）设，为数列的前项和，求证：。解：（1）设 ， ， 由，又 ，为偶数，于是。 由得或；由得或， 故函数的单调递增区间为和，单调减区间为和。（2）由已知可得，当时，两式相减得，或。当时，若，则这与矛盾，。于是，待证不等式即为。为此，我们考虑证明不等式，令则，再令，由知，当时，单调递增，于是，即 令，由知，当时，单调递增，于是，即 由、可知。所以，即。（3）由

13、（2）可知，则， 在中令，并将各式相加得 即。24、设函数。 （）求函数的极值点； （）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围；（）证明：。 解：（1），的定义域为，当时，在上无极值点，当时，令，则，、的变化情况如下表：+0极大值从上表可以看出：当时，有唯一的极大值点 （）当时在处取得极大值，此极大值也是最大值，要使恒成立，只需，的取值范围为。（）令，由（）知，。， ，结论成立。25、已知函数。（1）若函数的导函数在上是增函数，求实数的最大值；（2）求证：，。解：（1）在上是增函数，故在上恒成立，而，故，实数的最大值为。（2）当时，在上是增函数，在上是增函数，即。故，故。26、已知函数是在上每一

14、点处可导得函数，若在上恒成立。 （1）求证：函数在上单调递增； （2）求证：当，时，有； （3）已知不等式在且时恒成立，求证：（）。证明：（1），函数在上单调递增。（2）函数在上单调递增，又，从而，。（3）方法一：由（2）可知：当，时，有，容易用数学归纳法证明：当（）时，有（）恒成立。取，（，）则（），令，记，由，故，则，即。方法二：设，易证数列是单调递增数列，数列满足，（），。即。27、函数（、）。 （1）若，过两点、的中点作与轴垂直的直线，此直线与函数的图像交于点。求证：函数在点处的切线过点； （2）若（），且当时恒成立，求实数的取值范围。解：（1）显然，而，在点处的切线斜率为，其切线方程

15、为，过点。（2），。（）当时，在，在，在，当时恒成立，。（）当时，在，在，在，同理有无解。综上所述，。28、已知函数的图像经过原点，且在处取得极值，曲线在原点处的切线与直线的夹角为，且直线的倾斜角为钝角。 （1）求的解析式； （2）对于任意，若不等式恒成立，求的最大值。解：（1）的图像经过原点，在处取得极值，。设在原点处的切线的斜率为，则，则，。（2），的变化情况如下表：极大值极小值作出的草图，由或，由或，若，则当，时，故，此时，从而，当且仅当，时取等号，故的最大值为。29、已知函数。（1）求函数在上的最大值、最小值；（2）求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；（3）求证：。解：（1）

16、，当时，在上是增函数，故，。（2）设，则，时，故在上是减函数。又，故在上，即，函数的图象在函数的图象的下方。（3），当时，不等式显然成立；当时，有。（）30、已知函数。（）若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（）若函数的图象在处的切线的斜率为，且，已知，求证：；（）在（）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由。解：（1），。要使函数在内为单调，则在内恒大于或恒小于，当时，在内恒成立；当时，要使恒成立，则，解得，当时，恒成立。所以的取值范围为。（2）根据题意得：，于是。用数学归纳法证明如下：当，不等式成立；假设当时，不等式成立，即也成立，当时，所以当，不等式也成立，综上得对所有时，都有

17、（3）由（2）得，于是，累乘得：，。31、已知函数。 （I）求在上的极值； （II）若对任意成立，求实数的取值范围； （III）若关于的方程在上恰有两个不同的实根，求实数的取值范围。解：（I），令（舍去）单调递增；当单调递减。上的极大值。 （II）由得， 设，依题意知上恒成立， 上单增，要使不等式成立，当且仅当。 （III）由。令，当上递增；当上递减。而，恰有两个不同实根，等价于，。32、已知函数（为自然对数的底数）。（）求的最小值；（）设不等式的解集为，且，求实数的取值范围；（）设，证明：。解：。显然可得在，在，。（2）不等式的解集为，且，对任意，不等式即恒成立，当时，此不等式显然恒成立；当

18、时，令，则。令；令，则在，在，故，从而实数的取值范围为。（3）由（1）得，对任意，都有，即。令，则，。，。33、已知函数。 （）若、，求证：；。（）若，其中，求证：； （）对于任意的、，问：以的值为长的三条线段是否可构成三角形？请说明理由。解：（）、要证：，只需证：，则，只需证：，即，成立，成立。、又,由得：，且，上述两式相加得：。 （）时显然成立，时，由（）得：，。各式相加得：。说明：直接用比较法证明的同样正确。 （），由得或，在上为增函数，恒成立，以的值为长的三条线段一定能构成三角形。34、已知函数的两条切线、，切点分别为、。 （I）当时，求函数的单调递增区间； （II）设，试求函数的表达

19、式； （III）在（II）的条件下，若对任意的正整数，在区间内，总存在个数使得不等式成立，求的最大值。解：（I）当 。解得或。则函数有单调递增区间为与。 （II）设、两点的横坐标分别为、，切线的方程为：。 又切线过点，有，即 （1）同理，由切线也过点，得 （2）由（1）、（2），可得是方程的两根， （）。 把（）式代入，得，因此，。（III）易知在上为增函数，则，对一切正整数恒成立，对一切正整数恒成立，即对一切正整数恒成立，。由于为正整数，。又当时，存在，对所有正整数满足条件，因此，的最大值为。35、已知函数的定义域为。（1）求证：直线（其中）不是函数图像的切线；（2）判断在上单调性，并证明；

20、（3）已知常数满足，求关于的不等式的解集。解：（1），当时，；当时，。而在连续，在上是减函数，又，函数图像上任意点处切线斜率存在并满足，当时，直线斜率不存在，直线不是函数图像的切线；当时，直线斜率，则，直线不是函数图像的切线。（2）由（1）易知在上是减函数，而，当时，而在上连续，在上是减函数。（3）在上是减函数，并且在上是偶函数，由不等式，等价于，即，当时，此时原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，此时原不等式解集为。36、已知在函数的图象上以为切点的切线的倾斜角为。 （）求、的值； （）是否存在最小的正整数，使得不等式恒成立？如果存在，请求出最小的正整数；如果不存在，请说明理由； （）

21、求证：。解：（）依题意，得，即， 。 （）令当在此区间为增函数，当在此区间为减函数，当时，在此区间为增函数，处取得极大值。又，因此，当时，。要使得不等式，存在最小的正整数，使得不等式恒成立。（）（方法一） ，又 ，综上可得。（方法2）由（2）知，函数上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，又，当时，。，。又，且函数上是增函数， ，综上可得。37、设函数(其中)的图象在处的切线与直线平行。 （1）的值；（2）求函数在区间的最小值；（3）若，且，试根据上述（1）（2）的结论证明：。解：（1），解得或 （舍），即。（2）由，解得，列表如下：函数在区间的最小值为。（3），由（2）知，当时，,。当，且时

22、， 又， 。故（当且仅当时取等号）。38、已知函数，。 （1）若，试确定函数的单调区间； （2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围； （3）设函数，求证：。解：（1）由得，由，故的单调递增区间为，由，故的单调递减区间为。 （2）由对任意成立等价于对任意成立，由。当时，（），在上单调增。故，符合题意。当时，当变化时，、的变化情况如下表：+单调递减极小值单调递增 由此可得，在上。依题意，则，又，。综上所述，实数的取值范围是。 （3），。由此得，故，。39、（1）点在曲线（）上运动，过点作该曲线的切线（为切点），为坐标原点。求证：当取得最小值时，。（2）已知在定义域内满足，且递增。设点在曲

23、线上运动，过点作该曲线的切线（为切点），如图所示。求证：当取得最小值时，。证明：（1），则，当且仅当时，取最小值，此时。，故。（2）设，则，令，则，递增，又，故在，又由题意知存在最小值，在内有唯一解。设时，即，当时，且，在，即，即，又，即，在，同理可证在，当时，取最小值。此时，故。40、已知函数。（）求的单调区间；（）当时，设斜率为的直线与曲线交于、（）两点，求证：。解：（），当时，在上是增函数；当时，由，得（取正根），在区间内，是增函数；在区间内，是减函数。综上，当时，的增区间为，没有减区间；当时，的减区间是，增区间是。（）当时，。今证明，先证明。设，则，在上是减函数。，即。，同理可证，。4

24、1、定义在的函数，其中是自然对数的底数，。（1）若函数在点处连续，求的值；（2）若函数为上的单调函数，求实数的取值范围，并判断此时函数在上是否为单调函数；（3）当时，记，试证明：对，当时，有。解：（1），。（2）时，不可能在上恒小于，故在上必为单调递增函数，在恒成立，则在恒成立，设，显然在上是单调递增的，当时，在上是单调递增的，又当时，在也是单调递增的，当时，此时在不一定是单调递增的。（3）当时，当时，欲证：，即证，即需证，猜想（其中），构造函数（），在上时单调递减的，而，即有。设（），同理可证，（）成立。分别取（），所得个不等式相加即得：，。42、已知函数，点，。（1）设，求函数的单调区间；

25、（2）若函数的导函数满足：当时，有恒成立，求函数的表达式；（3）若，函数在和处取得极值，且。问：是否存在常数、，使得？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由。解：（1），令，得：，。、当时，所求单调增区间是，单调减区间是；、当时，所求单调增区间是，单调减区间是；、当时，所求单调增区间是。（2），当时，恒有 ，即，得，此时，满足当时恒成立，。（3）存在、，使得。若，即，。由于，知，由题设，是的两根，代入得：，当且仅当时取“” ，又，又，。43、设是由满足下列两个条件的函数构成的集合：有实根；函数的导数满足01。（I）若，判断方程的根的个数；（II）判断（I）中的函数是否为集合的元素；（III）

26、对于中的任意函数，设是方程的实根，求证：对于定义域中任意的，当，且时，有。解：（I）令，即。则，是单调递减函数。又取。方程在其定义域上有唯一实根。（II）由（I）知方程有实根（或者由，易知x=0就是方程的一个根），满足条件，又，由，得。满足条件。故是集合中的元素。（III）不妨设，由，知在其定义域上是增函数。又，是其定义域上的减函数。，即。44、已知函数。（1）在函数的图象上是否存在一点，使得的图象关于对称？（2）设为的反函数，令，是否存在这样的实数，使得任意的时，对任意的，不等式恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。解：（1）若存在一点，使得的图象关于点对称，则，。当时，在的图

27、像上，在的图像上存在一点，使得的图像关于对称。（2） ， ，。（）。构造函数，则，若，则，在上是减函数；若，则，在上是增函数；函数在上是连续函数，所以当时，取最小值，即。记，又，即在上为增函数，。若使恒成立，只需。存在这样的实数，使得对，对任意的时，不等式恒成立。45、已知函数有下列性质：“若，则存在使得”成立。 （1）利用这个性质证明唯一； （2）设、是函数图象上三个不同的点，试判断的形状，并说明理由。解：（1）证明：假设存在，且使得，记，是上的单调增函数。，这与矛盾，即是唯一的。（2）设，且，上的单调减函数，。，为钝角，为钝角三角形。46、定理：若函数在闭区间上是连续的单调函数，且，则存在

28、唯一一个使。已知。（1）若是减函数，求的取值范围；（2）是否存在使和同时成立，若存在，指出、之间等式的关系；若不存在，请说明理由。 解：（1）对恒成立，而当时，故。（2）由（1）知，当时，在上是减函数，且，由定理知，存在唯一实数，使得，即。设，则，在上是减函数，且，由定理知，存在唯一实数，使得，即。由有，而，由的唯一性得。47、设。（1）讨论的单调区间；（2）对定义域内的任意恒成立，求的取值范围。解：（1），当时，在单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在单调递减，在上单调递增。（2）设，则，在上单调递增，在上单调递减，故（），则恒成立，设，设，则，设，则，当时，当时，（由（）知），即，则在上单调递增，注意到，因此当时，即，当时，即，故在上单调递减，在上单调递增，从而。- 41 -