专题五立体几何中地向量方法一平行与垂直关系地向量证法

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1、实用标准文案立体几何中的向量方法(一)平行与垂直关系的向量证法知识点一：求平面的法向量例1.已知平面a经过三点 A(1,2,3)，B(2,0，- 1) , C(3, - 2, 0)，试求平面a的一个法向量.解：/ A(1,2,3) , B(2,0 , - 1) , C(3 , - 2,0), AB = (1 , - 2, - 4) , aC= (1 , - 2, - 4), 设平面a的法向量为 n= (x , y, z).依题意，应有 n AB = 0 , n |AC= 0.x 2y 4z= 0x = 2y即，解得2x 4y 3z= 0|z = 0令 y= 1,贝U x = 2.平面a的一个法

2、向量为n= (2,1,0).(非零【反思】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解向量)即可.用向量法”求法向量的解题步骤：(1) 设平面的一个法向量为n = (x,y,z)；(2) 找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标aNabiCihb =(a2,b2,C2)；(3) 根据法向量的定义列出方程组丿= ；n *b = 0(4) 解方程组，取其中的一个解，即得法向量。练习：在正方体ABCD-ABQD中，E, F分别是BB, DC的中点，求证：lE 是平面AQF的法向量.证明：设正方体的棱长为1 ,建立如图所示的空间直角坐标系，则 AE是平面AQ

3、F的法向量.设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0) , E 1, 1, 1 ,D = (0,0,1), F 0, 2, 0 , A(1,0,1)./ AE DF = C,A D =-Jq, 2, - 1 = 2=0,同理 ae aD = 0,1,0,0) AE 丄 D1F 且 AE 丄A1D. 又 ADH DF= D, AEX平面 ADF,. AE是平面 ADF的法向量.知识点二：利用向量方法证平行关系(1)线线平行：设直线 h、L的方向向量分别为 a、b，则hl2二a/b= a二b(2) 线面平行： 由线面平行的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内的某一

4、向量平行即可； 设直线丨的方向向量为a，平面的法向量为匚，贝y 1 ：. = a _匚=a 口 = o ； 由共面向量定理知，只要证已知直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量表示即可(3) 面面平行： 证明两个平面的法向量平行，即两个平面的法向量i/J ； 证明一个平面内两条相交直线的方向向量分别和另一个平面内的两条相交直线的方向向量平行例2 在正方体ABCD-AQGDj中，O是B1D1的中点，求证： B1C/面0D。. BiC AD，又 AD 二面 ODCi, BiC 二面 ODCi证方法一：BiC = AiD ,证法二：眾=花+記=訖+市 +D0+0D二 BiC/面ODCi= OCi +

5、 oD .BC , K , OD 共面又 BiC a 面 ODC,. BC/面 ODC证法三：如图建系空间直角坐标系D -xyz，设正方体的棱长为i，则可得Bi(i,i,i) , c(o,i,o), oj2, 2，i j, C(o,i,i),BiC = ( i,0 ,i),文档OD = 2， 2， i,i ( 11 、 0Ci = C 2，2，0丿 设平面ODC的法向量为n = (xo，yo，zo)，i in OCi =0,xo ?yo zo= 0 得i i2Xo+2yo=o 令 xo = i，得 yo= i， zo = i， n= (i,i ， i).i) = o,BiC n= ix i +

6、 ox i+ ( i) x ( BiC 丄 n，. BiC/平面 ODCODC内找一向量与Bic共线；二是BC与平面的法向量垂直.BE/CF，. BCF CEF =90 ，【反思】 证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面说明BC能利用平面ODC内的两不共线向量线性表示，三是证明练习：如图所示，矩形 ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,AD = . 3， EF = 2 .求证：AE / 平面 DCF .证明：如图所示，以点 C为坐标原点，以 CB CF和CD所在直线分别作为 x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标 系 C xyz.设 AB= a，BE= b，CF= c，则 C（0,0,0）

7、 ，A（ 3，0，a），B（ ,3，0,0），E（ 3，b,0），F（0，c,0）.AE= （0，b，- a）， CB = （ 3，0,0），TBE = （0，b,0），所以 CB AE= 0 !CB BE = 0，从而 CBL AE，CBL BE.所以CBL平面 ABE.因为CB丄平面 DCF 所以平面 ABE/平面 DCF故AE/平面 DCF.知识点三利用向量方法证明垂直关系(1) 线线垂直：设直线l1、l2的方向向量分别为 a、b，则hJu a_b：= ab = 0(2) 线面垂直： 设直线丨的方向向量为a，平面鳥的法向量为，则I _a/a = k； 由线面垂直的判定定理，只要证明已知直

8、线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直。(3) 面面垂直： 证明两个平面的法向量垂直，即两个平面的法向量 匚_0匚:=0 ； 由面面垂直的判定定理可知：只要证明一个平面内的一条直线的方向向量和一个平面内的两条相交直线 的方向向量垂直.例3.在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E,F分别是棱AB, BC的中点，试在棱 BB上找一点M，使得DM丄平面EFB1.解：建立空间直角坐标系D xyz，设正方体的棱长为 2，则E(2,1,0) ，F(1,2,0) ，D(0,0,2) ，B(2,2,2).设 M(2, 2, m),贝Q EF = ( -1, 1, 0),話(0, 一1, 一2),HDiM

9、 = (2, 2, m-2)./ DiM丄平面EFB DiM 丄 EF, DiM 丄 BE二 DiM | EF = 0 且 DilM | BE = 0-2+2=0,于是-2-2(m-2)=0, m= i, 故取BB的中点为M就能满足DIV丄平面EFB.【反思感悟】证明直线与平面垂直有两种方法：(i)用直线与平面垂直的判定定理；(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行.练习：i 在正方体ABCD - ABiCiDi中，E是棱BC的中点，试在棱CG上求一点P，使得平面AiBf _平面CQE .2在正三棱柱 ABC-ABiCi中，BQ AB.求证：AG _ AB.证明 建立空间直角坐标系 C xy

10、z ,设AB= a ,a, I , 0 , B(0 , a , b) , Bi(0 , a,0)AB =中a,CG= b.则Ai,C(0,0 , b),于是AiBBiC = (0, - a , b), ACii,2a ,32a ,G(0,0,0)-b./ BC丄AiB,.BiC而 AiC AiB = 44a22-AiB = + b = 0,2i 2 ,2 a , 2 a b = b = 042AiC 丄 AiB即AG丄AiB.课堂小结：i 用待定系数法求平面法向量的步骤：(i) 建立适当的坐标系. 设平面的法向量为 n = (x , y , z).求出平面内两个不共线向量的坐标a= (ai ,

11、 bi , ci), b= (a 2 , b2 , C2).a n = 0(4) 根据法向量定义建立方程组 l.b n= 0(5) 解方程组，取其中一解，即得平面的法向量2 平行关系的常用证法AB =入CD证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外，证面面平行可转化证两面的法向量平行.3 垂直关系的常用证法要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直.要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直.要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直.课时作业 一、选择题T2 , 1),把AB按向量a= (2,1,1)平移后所得的向量是()1.已知 A (

12、 3 , 5 , 2) , B (-1 ,A.(4, 3,0)B.(4, 3, 1)C.(2, 1,0)D.(2, 2,0)答案 BAB = ( 4, 3, - 1).平移后向量的模和方向是不改变的.2 .平面a的一个法向量为(1,2,0)，平面B的一个法向量为(2 , 1,0)，则平面a与平面B的位置关系是( )A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能确定答案 C解析/ (1,2,0)- (2 , 1,0) = 0,两法向量垂直，从而两平面也垂直.3 .从点A(2 , 1,7)沿向量a= (8,9 , 12)的方向取线段长 AB= 34，则B点的坐标为()A. ( 一9, 一 7,7)B.(

13、18,17 ,17)C. (9,7 , 7)D.(14 ,19,31)答案 B解析，设 B (x , y , z),忌:(x -2 , y+1 , z -7)=入(8, 9,- 12 ),入 0.故 x -2=8 入，y+ 仁9 入，z -7= -12 人、 又(x22+ (y+12+ (z _72 = 34 2!得(17 入)2 = 34 2,v 入 0, 入=2.x = 18,y = 17,z =-17,即B (18, 17,-17 ).4.已知 a= (2,4,5),b= (3 , x , y)分别是直线11、丨2的方向向量，若丨1 /丨2 ,则()A.x = 6 , y = 15B15

14、.x= 3 , y =C. x = 3, y = 1515x= 6, y =2-答案 D解析/1 i H 12,二 a / b,则有2=解方程得x = 6, y= 15.5. 若直线I的方向向量为 a= (1,0,2)，平面a的法向量为 u = ( 2,0，- 4)，则()A. 1 /aB. I 丄aC. I aD. I与a斜交答案 B解析/ u = 2a, a/ u,. I 丄 a .二、填空题6. 已知 A(1,1， 1) , B(2,3,1)，则直线AB的模为1的方向向量是答案解析,模为1的方向向量是土|ab|7 .已知平面a经过点 0(0,0,0)，且e= (1,1,1)是a的法向量，

15、M(x, y, z)是平面a内任意一点，则 x, y, z满足的关系式是.答案 x+ y+ z= 0解析 OM e= (x, y, z) (1, 1, 1) = x+y+z = 0.&若直线a和b是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2 , 3, 2)，则直线a和b的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是 .答案 (1,4 , 5)(答案不唯一)解析 设直线a和b的公垂线的一个方向向量为n= (x , y, z) , a与b的方向向量分别为 n1, n2,由题意得n n1= 0,x+ y + z = 0,即：n n2= 0,2x 3y 2z = 0.解之得：y =

16、 4x, z = 5x,令 x= 1,则有 n= (1,4 , 5).三、解答题9.已知正方体 ABCD- A1BC1D的棱长为2, E、F分别是BB、DD的中点，求证：(1) FC 1 / 平面 ADE(2) 平面 ADE/平面 BQF.证明如图所示建立空间直角坐标系Dxyz,则有 D(0,0,0)、A(2,0,0),C(0,2,0) , C(0,2,2), E(2,2,i),F(0,0,i), Bi (2,2,2),所以 FCi = (0, 2, 1),DA = (2, 0, 0),AE(0, 2, 1).(i)设ni= (Xi , y i , z J是平面ADE的法向量，则ni丄DA |

17、nAE |卄Ini即x =0,zi _ _2yi,DA 二 2xi,得ni AE =2yi +zi,令 zi = 2,则 yi=- i,所以 ni= (0，- i,2).因为 FCi ni = - 2+ 2= 0,所以 FC丄m.又因为FC 平面ADE所以FC/平面ADE.(2)TCiBi(2, 0, 0),设n2 = (x 2 , y 2 , z2)是平面BiCiF的一个法向量.由丄FC, n2丄Ci Bi,得n2 FCi = 2y2 Z2 = 0得n2CBi =2x2 二 0,得Lz2 = -2y2,令Z2 = 2得y2=- i,所以n2 = (0，- i,2)，因为ni=圧，所以平面 ADE/平面 BGF.i0.c1如图所示，在棱长为i的正方体 ABCABCD中，AP= BQ= b (0b