小学数学知识点例题精讲《溶液浓度问题（二）》教师版

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1、11、明确溶液的质量,溶质的质量,溶剂的质量之间的关系2、浓度三角的应用3、会将复杂分数应用题及其他类型题目转化成浓度三角形式来解4、利用方程解复杂浓度问题浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密,就知识点而言它包括小学所学 2 个重点知识：百分数,比例.一、浓度问题中的基本量溶质：通常为盐水中的“盐”,糖水中的“糖”,酒精溶液中的“酒精”等溶剂：一般为水,部分题目中也会出现煤油等 溶液：溶质和溶液的混合液体.浓度：溶质质量与溶液质量的比值.二、几个基本量之间的运算关系1、溶液=溶质+溶剂2、=100%=100%+与与与与与与与与与与与与三、解浓度问题的一般方法1、寻找溶液配比前后的不变量,依

2、靠不变量建立等量关系列方程2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)形象表达：AB与与与与与与与与与与BA与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与与注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角,浓度三角与十字交叉法实质上是相同的浓度三角的表示方法如下：:乙 乙 乙 乙 乙乙 乙 乙 乙 乙z-yx-zz-yx-z乙 乙 乙乙 乙 y%乙 乙 乙乙 乙 x%乙 乙 乙 乙 z%3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法知识精讲知识精讲教学目标教学目标溶液浓度问题（二）溶液浓度问题（二）2模块一、利用十字交叉即浓度三角进行解题三种溶液混合多次【例例 1】有甲、乙、丙三个容器,容量为毫

3、升甲容器有浓度为40%的盐水400毫升;乙容器中有清水400 毫升;丙容器中有浓度为20%的盐水400毫升先把甲、丙两容器中的盐水各一半倒入乙容器搅匀后,再把乙容器中的盐水200毫升倒入甲容器,200毫升倒入丙容器这时甲、乙、丙容器中盐水的浓度各是多少?【考点】溶液浓度问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】列表如下：甲 浓度溶液开始40%400第一次40%200第二次200 40%200 15%27.5%400400乙丙浓度溶液浓度溶液040020%400200 40%200 20%15%80080020%20015%400200 20%200 15%17.5%400400所以此时甲容器中

4、盐水的浓度是27.5%,乙容器中浓度是15%,丙容器中浓度是17.5%小结：在做有关浓度的应用题时,为了弄清楚溶质质量、溶液质量的变化,尤其是变化多次的,常用列表的方法,使它们之间的关系一目了然【答案】甲容器中盐水的浓度是27.5%,乙容器中浓度是15%,丙容器中浓度是17.5%【例例 2】在甲、乙、丙三缸酒精溶液中,纯酒精的含量分别占48%、62.5%和23,已知三缸酒精溶液总量是100千克,其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量三缸溶液混合后,所含纯酒精的百分数将达56%那么,丙缸中纯酒精的量是多少千克?【考点】溶液浓度问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】(法 1)方程法设

5、丙缸酒精溶液的重量为x千克,则乙缸为50 x千克根据纯酒精的量可列方程：25048%5062.5%10056%3xx,解得18x,所以丙缸中纯酒精的量是218123(千克)(法 2)浓度三角法由于甲缸酒精溶液为 50 千克,乙、丙两缸酒精溶液合起来也是 50 千克,所以如果将乙、丙两缸酒精溶液混合,得到的酒精溶液的浓度为56%248%64%那么乙、丙两缸酒精溶液的量之比为：264%:64%62.5%32:183,而它们合起来共 50 千克,所以丙缸酒精溶液有1850183218千克,丙缸中纯酒精的量是218123(千克)【答案】12【例例 3】有A、B、C三种盐水,按A与B数量之比为2:1混合

6、,得到浓度为13%的盐水;按A与B数量之比为1:2混合,得到浓度为14%的盐水如果A、B、C数量之比为1:1:3,混合成的盐水浓例题精讲例题精讲3度为10.2%,问盐水C的浓度是多少?【考点】溶液浓度问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】A与B按数量之比为2:4混合时,浓度仍为14%,而这样的混合溶液也相当于A与B按数量之比为2:1混合后再混入三份B盐水,则B盐水浓度为 14%613%34115%A盐水的浓度为14%315%212%再根据A、B、C三种溶液混合的情况,那么C盐水的浓度为：10.2%1 1312%1 15%138%.【答案】8%【例例 4】已知三种混合物由三种成分A、B、C组

7、成,第一种仅含成分A和B,重量比为3:5;第二种只含成分B和C,重量比为1:2;第三种只含成分A和C,重量之比为2:3.以什么比例取这些混合物,才能使所得的混合物中A、B和C,这三种成分的重量比为3:5:2?【考点】溶液浓度问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】注意到第一种混合物中A、B重量比与最终混合物的A、B重量比相同,均为3:5.所以,先将第二种、第三种混合物的A、B重量比调整到3:5,再将第二种、第三种混合物中A、B与第一种混合物中A、B视为单一物质D.最终配成:35:24:1D C 的物质;第二种混合物不含A,B的含量为13,第三种混合物不含B,A的含量为25,所以237.55倍

8、第三种混合物含A为3,15153倍第二种混合物含B为5,即第二种、第三种混合物的重量比为2:1;于是此时含有C,232129352145,即:29:452929:16C D,而最终混合物中:1:429:116C D,所以第一种混合物的质量与后两种混合质量和之比为11616:4520:9,所以三种混合物的重量比为20:6:3.【答案】20:6:3【例例 5】A、B、C三个试管中各盛有10克、20克、30克水把某种浓度的盐水10克倒入A中,充分混合后从A中取出10克倒入B中,再充分混合后从B中取出10克倒入C中,最后得到的盐水的浓度是0.5%问开始倒入试管A中的盐水浓度是百分之几?【考点】溶液浓度

9、问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】整个过程中盐水浓度在下降倒入A中后,浓度变为原来的10110102;倒入B中后,浓度变为A中的10110203;倒入C中后,浓度变为B中的10110304所以对于一开始倒入A中的盐水浓度可以用倒推的方法,1110.5%12%432,即一开始倒入A中的盐水浓度为12%【答案】12%【例例 6】有两种溶液,甲溶液的酒精浓度为10%,盐浓度为30%,乙溶液中的酒精浓度为50%,盐浓度为10%现在有甲溶液1千克,那么需要多少千克乙溶液,将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度和盐浓度相等?【考点】溶液浓度问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】一千克甲种溶液中

10、含有酒精 0.1 千克,盐 0.3 千克,盐比酒精多 0.2 千克;而一千克乙种溶液中含有酒精 0.5 千克,盐 0.1 千克,盐比酒精少 0.4 千克所以只需要 0.5 千克的乙种酒精将其与甲溶液混合后所得溶液中两种物质含量相等,即浓度相等【答案】0.5【巩固巩固】有两种溶液,甲溶液的酒精浓度为15%,盐浓度为10%,乙溶液中的酒精浓度为45%,盐浓度为5%现在有甲溶液1千克,那么需要多少千克乙溶液,将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的 3 倍?【考点】溶液浓度问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】可以这样来看,将溶液中的水剔出或者说蒸发掉,那么所得到的溶液就是盐溶在酒精中(

11、事实上4这种情况不符合物理规律,但这只是假设)这时的处理后甲溶液盐浓度为10%(15%10%)0.4,处理后乙溶液的盐浓度为5%(45%5%)0.1,需要配置的溶液的盐浓度为1(13)0.25,由这些得出的条件使用十字交叉法得到两种处理后溶液的质量比应该为：(0.250.1):(0.40.25)1:1.一千克原甲溶液中有10%15%25%的处理后甲溶液,即0.25千克,所以另需要0.25千克的处理后乙溶液,而每千克原乙溶液中含有5%45%50%的处理后乙溶液,即0.5千克,所以只需要0.5千克的乙溶液就能构成0.25千克的处理后乙溶液所以需要0.5千克的乙溶液【答案】0.5模块二、列方程解浓度

12、问题【例例 7】使用甲种农药每千克要兑水 20 千克,使用乙种农药每千克要兑水 40 千克.根据农科院专家的意见,把两种农药混合使用能提高药效.现有两种农药共 5 千克,要配药水 140 千克,其中甲种农药需药_千克.【考点】溶液浓度问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】设甲种农药 x 千克,则乙种农药（5-x）千克.列方程：(120)(5)(140)140 xx 2120541140 xx 2065x 3.25x【答案】3.25【例例 8】甲、乙两瓶盐水,甲瓶盐水的浓度是乙瓶盐水的3倍将100克甲瓶盐水与300克乙瓶盐水混合后得到浓度为15%的新盐水,那么甲瓶盐水的浓度是多少?【考点】溶

13、液浓度问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】设乙瓶盐水的浓度是%x,甲瓶盐水的浓度是3%x,有1003%300%(100300)15%xx,解得10 x,即甲瓶盐水的浓度是30%【答案】30%【例例 9】甲、乙两只装满硫酸溶液的容器,甲容器中装有浓度为8%的硫酸溶液 600 千克,乙容器中装有浓度为40%的硫酸溶液 400 千克各取多少千克分别放入对方容器中,才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样?【考点】溶液浓度问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】由于交换前后两容器中溶液的重量均没有改变,而交换一定量的硫酸溶液其目的是将原来两容器中溶液的浓度由不同变为相同,而且交换前后两容器内溶液

14、的重量之和也没有改变,根据这个条件可以先计算出两容器中的溶液浓度达到相等时的数值,从而再计算出应交换的溶液的量 甲容器中纯硫酸的质量为6008%48(千克);乙容器中纯硫酸的质量为40040%160(千克);两容器中纯硫酸的质量和为48160208千克,硫酸溶液的质量和为6004001000千克两容器中溶液互换后浓度为2081000 100%20.8%,所以应交换的硫酸溶液的量为：60020.8%8%40%8%240(千克)另解：假设各取x千克放入对方容器中,那么两种混合溶液中两种硫酸溶液的质量比相等,即(600):600:400 xx,解得240 x,即各取 240 千克【答案】240【例例

15、 10】甲容器中有浓度为20%的盐水400克,乙容器有浓度为10%的盐水600克分别从甲和乙中取出相同重量的盐水,把从甲中取出的倒入乙中,把从乙中取出的倒入甲中现在甲、乙容器中盐水浓度相同问：从甲(乙)容器取出多少克盐水倒入了另一个容器中?【考点】溶液浓度问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】由于两种盐水互换后浓度相等,而在互换的过程中盐的总质量是不变的,所以互换后盐水的浓度为 40020%600 10%40060014%,而甲容器中原来浓度为20%,所以相互倒了5 40020%14%20%10%240(克)另解：由于两种溶液的浓度不同,而混合后得到的溶液的浓度相同,只能是相混合的两种溶液

16、的量的比是相等的这一点与两人各用两种速度走一段路程而平均速度相同中的两种速度的路程比、以及含铜率不同的两种合金熔炼成含铜率相同的合金(见第 7 讲相关例题)中两种合金的质量比是相似的假设相互倒了x克,那么甲容器中是由400 x克20%的盐水和x克10%的盐水混合,乙容器中是由x克20%的盐水和600 x10%的盐水混合,得到相同浓度的盐水,所以400:600 xxxx,解得240 x【答案】240【例例 11】十字交叉法的证明过程：设甲、乙两瓶溶液的质量分别为A和B,浓度分别为%x和%y（xy）,将两瓶溶液混合后所得的溶液浓度为%z,求证：:xzzyB A【考点】溶液浓度问题 【难度】4 星

17、【题型】解答【解析】略【答案】甲溶液中溶质的质量为A%x,乙溶液中的溶质质量为B%y,则混和溶液中的溶质质量为%AxBy,所以混合溶液的浓度为%AxByAB,所以AxByzAB,即AzBzAxBy,()()A xzB zy,可见:xzzyB A也可以这样来理解;由于甲溶液浓度比乙溶液浓度高,两瓶溶液混合后,浓度变为相同,相当于甲溶液拿出了(%)Axz的溶质给乙溶液,乙溶液则得到了(%)Bzy的溶质,所以(%)(%)AxzBzy,得到:xzzyB A【例例 12】在浓度为%x的盐水中加入一定量的水,则变为浓度10%的新溶液.在这种新溶液中加入与前次加入的水量相等的盐,溶液浓度变为30%.求x.【

18、考点】溶液浓度问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】不妨设原来的盐水为 100 克,加入的水(或)盐重a克,可列方程：10%100 xa,可得100.1xa;30%100 xaaa,可得300.6xaa;解得40a,14x【答案】14x【巩固巩固】一杯盐水,第一次加入一定量的水后,盐水的含盐百分比变为15%;第二次又加入同样多的水,盐水的含盐百分比变为12%;第三次再加入同样多的水,盐水的含盐百分比将变为%.【考点】溶液浓度问题 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】希望杯,一试,六年级【解析】抓住题中不变量-盐的重量假设第一次加入水后盐水的重量为a克,盐的重量为15%0.15aa 克,第

19、二次加水后的总重量为0.150.121.25aa克,这样就可得出加水量是1.250.25aaa克,第三次加水后的重量是1.250.251.5aaa克,这时的盐水的含盐百分比是0.151.510%aa【答案】10%【例例 13】瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克,现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液,瓶中的浓度变成了14%已知A种酒精溶液浓度是B种酒精溶液浓度的2倍,那么A种酒精溶液的浓度是百分之几?【考点】溶液浓度问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】(法 1)方程法新倒入纯酒精：100010040014%1000 15%60(克)设A种酒精溶液的浓度为x,则B种为2

20、x根据新倒入的纯酒精量,可列方程：100400602xx,解得20%x,即A种酒精溶液的浓度是20%(法 2)浓度三角法设A种酒精溶液的浓度为x,则B种为2x根据题意,假设先把 100 克A种酒精和 400 克B种酒精混合,得到 500 克的酒精溶液,再与 10006克15%的酒精溶液混合,所以A、B两种酒精混合得到的酒精溶液的浓度为100014%15%14%12%500根据浓度三角,有12%:12%400:1002xx,解得20%x 故A种酒精溶液的浓度是20%【答案】20%【例例 14】A种酒精浓度为40%,B种酒精浓度为36%,C种酒精浓度为35%,它们混合在一起得到了 11千克浓度为3

21、8.5%的酒精溶液,其中B种酒精比C种酒精多 3 千克,则A种酒精有 千克【考点】溶液浓度问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】101 中学【解析】设A种酒精有x千克,B种酒精有y千克,C种酒精有z千克,则：11340%36%35%11 38.5%xyzzyxyz解得7x,3.5y,0.5z,故A种酒精有 7 千克【答案】7【例例 15】一个卖牛奶的人告诉两个小学生：这儿的一个钢桶里盛着水,另一个钢桶里盛着牛奶,由于牛奶乳脂含量过高,必须用水稀释才能饮用现在我把A桶里的液体倒入B桶,使其中液体的体积翻了一番,然后我又把B桶里的液体倒进A桶,使A桶内的液体体积翻番最后,我又将A桶中的液体倒

22、进B桶中,使B桶中液体的体积翻番此时我发现两个桶里盛有同量的液体,而在B桶中,水比牛奶多出1升现在要问你们,开始时有多少水和牛奶,而在结束时,每个桶里又有多少水和牛奶?【考点】溶液浓度问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】假设一开始A桶中有液体x升,B桶中有y升第一次将A桶的液体倒入B桶后,B桶有液体2y升,A桶剩()xy升;第二次将B桶的液体倒入A桶后,A桶有液体2()xy升,B桶剩(3)yx升;第三次将A桶的液体倒入B桶后,B桶有液体(62)yx升,A桶剩(35)xy升由此时两桶的液体体积相等,得3562xyyx,511xy,:11:5x y 现在还不知道A桶中装的是牛奶还是水,可以将

23、稀释牛奶的过程列成下表：A桶B桶原A桶液体：原B桶液体原A桶液体：原B桶液体初始状态11:00:5第一次A桶倒入B桶6:05:5第二次B桶倒入A桶9:32:2第三次A桶倒入B桶6:25:3由上表看出,最后B桶中的液体,原A桶液体与原B桶液体的比是5:3,而题目中说“水比牛奶多1 升”,所以原A桶中是水,原B桶中是牛奶因为在5:3中,“53”相当于 1 升,所以 2 个单位相当于 1 升由此得到,开始时,A桶中有112 升水,B桶中有52升牛奶;结束时,A桶中有 3 升水和 1 升牛奶,B桶中有52升水和32升牛奶【答案】A桶中有 3 升水和 1 升牛奶,B桶中有52升水和32升牛奶【巩固巩固】

24、有A,B两个桶,分别盛着水和某含量的酒精溶液先把A桶液体倒入B桶,使B桶中的液体翻番;再将B桶液体倒入A桶,使A桶中的液体翻番此时,A,B两桶的液体体积相等,并且A桶的酒精含量比B桶的酒精含量高20%问：最后A桶中的酒精含量是多少?【考点】溶液浓度问题 【难度】3 星 【题型】解答 7【解析】因为最后A桶的酒精含量高于B桶,所以一开始A桶盛的是酒精溶液设一开始A桶中有液体x,B桶中有y第一次从A桶倒入B桶后,B桶有2y,A桶剩()xy;第二次从B桶倒入A桶,A桶有2()xy,B桶剩(3)yx由2()3xyyx,得:5:3x y 再设开始A桶中有纯酒精z,则有水(5)z将酒精稀释过程列成表(如图

25、)：由题意知,32(4)(4)20%55zz,解得4z 所以最后A桶中的酒精含量是344 100%60%5【答案】60%【例例 16】A、B、C三瓶盐水的浓度分别为20%、18%、16%,它们混合后得到100克浓度为18.8%的盐水如果B瓶盐水比C瓶盐水多30克,那么A瓶盐水有多少克?【考点】溶液浓度问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】设C瓶盐水有x克,则B瓶盐水为30 x 克,A瓶盐水为100(30 xx)702x克则70220%3018%16%100 18.8%xxx,解得10 x 所以A瓶盐水为：702 1050(克)【答案】50模块三、浓度三角解分数应用题【例例 17】某班有学生

26、 48 人,女生占全班的 37.5,后来又转来女生若干人,这时人数恰好是占全班人数的40,问转来几名女生?【考点】溶液浓度问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】浓度差之比 124,48241=2 人,重量之比 241 这是一道变换单位“1”的分数应用题需抓住男生人数这个不变量,如果按浓度问题做,就简单多了.转来 2 名女生.【答案】2【例例 18】小明到商店买红、黑两种笔共 66 支红笔每支定价 5 元,黑笔每支定价 9 元由于买的数量较多,商店就给予优惠,红笔按定价85%付钱,黑笔按定价80%付钱,如果他付的钱比按定价少付了18%,那么他买了红笔多少支?【考点】溶液浓度问题 【难度】2

27、星 【题型】解答【解析】浓度倒三角的妙用红笔按85%优惠,黑笔按80%优惠,结果少付18%,相当于按82%优惠,可类似浓度问题进行配比,得到红、黑两种笔的总价之比为 82%80%:85%82%2:3,而红、黑两种笔的单价分别为 5 元和 9 元,所以这两种笔的数量之比为2 3:6:55 9,所以他买了6663656支红笔通过以上例题,我们可以看出,只要我们在解题时善于抓住事物间的联系,进行适当转化,就能发现其中的规律,找到解决问题的巧妙方法.【答案】368【例例 19】有两包糖,每包糖内都装有奶糖,水果糖和巧克力糖已知：第一包糖的粒数是第二包的23;在第一包糖中,奶糖占25%,在第二包糖中,水

28、果糖占50%;巧克力在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的两倍当两包糖合在一起时,巧克力糖占28%,那么,水果糖所占的百分比等于多少?【考点】溶液浓度问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】由于第一包糖的粒数是第二包糖的23,不妨设设第二包有糖30块,则第一包有糖20块设巧克力糖在第二包糖中所占的百分比为x,则巧克力糖在第一包糖中所占的百分比为2x,根据题意,有：2023028%(3020)xx,解得20%x,所以巧克力糖在第一包中占的百分比为40%,那么,在第一包糖中,水果糖占125%40%35%当两包糖合在一起时,水果糖所占的百分比是：(2035%3050%)(2030)4

29、4%【答案】44%【巩固巩固】有两包糖,第一包糖由奶糖和水果糖组成,其中14为奶糖;第二包糖由酥糖和水果糖组成,其中15为酥糖将两包糖混合后,水果糖占78%,那么奶糖与酥糖的比例是_.【考点】溶液浓度问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】人大附中,入学考试【解析】第一包糖水果糖占34,第二包糖水果糖占45由浓度三角知：4378%:78%2:354 ,即第一包糖与第二包糖的数量比为2:3所以,奶糖与酥糖的比为112:35:645 【答案】5:6【例例 20】某商品 76 件,出售给 33 位顾客,每位顾客最多买三件如果买一件按原定价,买两件降价10%,买三件降价20%,最后结算,平均每件恰

30、好按原定价的85%出售那么买三件的顾客有多少人?【考点】溶液浓度问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】如果对于浓度倒三角比较熟悉,容易想到3(120%)1 100%340%4 85%,所以 1 个买一件的与 1 个买三件的合起来看,正好每件是原定价的85%由于买 2 件的,每件价格是原定价的1 10%90%,高于85%,所以将买一件的与买三件的一一配对后,仍剩下一些买三件的人,由于3(290%)2(3 80%)12 85%,所以剩下的买三件的人数与买两件的人数的比是2:3于是 33 个人可分成两种,一种每 2 人买 4 件,一种每 5 人买 12 件,共买 76 件,所以后一种有41247

31、63325252(人)其中买二件的有：325155(人)前一种有33258(人),其中买一件的有824(人)于是买三件的有3315414(人)【答案】14【例例 21】在一个奇怪的动物村庄里住着猫、狗和其他一些动物有20%的狗认为它们是猫;有20%的猫认为它们是狗其余动物都是正常的一天,动物村的村长小猴子发现：所有的猫和狗中,有32%认为自己是猫如果这个奇怪的动物村庄里有狗比猫多 180 只那么狗的数目是 只【考点】溶液浓度问题 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】迎春杯,高年级组,决赛【解析】仔细分析题目,发现本题其实是一个简单的浓度问题：有20%的狗认为自己是猫,有80%的猫认为自己是猫;而将猫和狗混合在一起,所有的猫和狗中,有32%的认为自己是猫那么根据浓度三角,狗和猫的数量之比为：80%32%:32%20%4:1而狗比猫多 180 只,所以狗的数目为180414240只【答案】2409