线性代数居余马第3章线性方程组.ppt

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1、第3章 线性方程组,第三章,2,2020/7/9,主要内容,N维向量及其线形相关性 向量组的秩及其极大线形无关组 矩阵的秩，相抵标准型 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构 非齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构,第三章,3,2020/7/9,本章要解决的问题和使用的工具,主要问题 中心问题是讨论线性方程组解的基本问题 方程组Axb的增广矩阵 在何时可以使得其演变为 阶梯型矩阵（C，d）中的dr10 采用消元法所得的阶梯型矩阵非零的行数是否唯一确定 自由变量可以随便选择，问题是这样得到的方程组解的集合是否相等。,使用的工具 消元法 向量及相应的理论,3.1 n 维向量及其线性相关性,如果

2、ai (i=1,2,n )是实(复)数叫做实(复)向量。,1n元向量的概念,定义3.1 由 n 个数 a1,a2,an 组成的有序数组称为 n 元向量,记作 (a1,a2,an)，其中 ai 称为第 i 个分量。,第三章,5,2020/7/9,x1=1+k17k2 x2=k1 x3=24k2 x4=1+3k2 x5=k2 (k1,k2为任意常数),3个方程，5个未知数， 任取 x2 = k1, x5 = k2 代入可解出全部解：,x =(x1, x2, x3, x4, x5 )T =(1+k17k2, k1, 24k2 , 1+3k2, k2 )T,其中(k1,k2为任意常数),第三章,6,2

3、020/7/9,一个 n 元方程,可以用 n + 1 元有序数组,(a1, a2, , an, b),来代表，所谓方程之间的关系实际上就是代表它们,的 n + 1 元有序数组之间的关系.,第三章,7,2020/7/9,例 1 点的坐标,在解析几何中我们已经看到，有些事物的性质,不能用一个数来刻画.,例如，为了刻画一点在平面,上的位置需要两个数，一点在空间中的位置需要三,个数，也就是要知道它们的坐标.,即点的坐标是多元有序数组.,第三章,8,2020/7/9,例 2 力、速度、加速度,又如力学中的力、速度、加速度等，由于它们,既有大小，又有方向，用一个数也不能刻画它们，,在取定坐标系之后，它们可

4、以用三个数来刻画.,何中向量的概念正是它们的抽象.,几,力、速度、加速度要用 3 元有序数组来表示.,第三章,9,2020/7/9,例 3 n 元方程组的解,一个 n 元方程组的解是由 n 个数组成，而这 n,个数作为方程组的解是一个整体，分开来谈是没有,意义的.,即 n 元方程组的解是一个 n 元有序数组.,x =(x1, x2, x3, x4, x5 )T =(1+k17k2, k1, 24k2 , 1+3k2, k2 )T,其中(k1,k2为任意常数),第三章,10,2020/7/9,例 4 球的大小和位置,为了刻画一个球的大小和位置，需要知道它,中心的坐标 (三个数) 以及它的半径，也

5、就是说，球,的大小和位置需要 4 个数来刻画.,即球的大小和位置要用 4 元有序数组来表示.,第三章,11,2020/7/9,例 6 在国民经济中的应用,在国民经济的问题中，我们也会碰到这种情况.,譬如一个工厂生产好几种产品，那么为了说明这个,工厂的产量，就需要同时指出每种产品的产量.,又如一个工厂的原料来自好多地方于是一个原,料的采购计划就需要同时指出从每个原料产地的采,购量.,在这里产品的产量、原料的采购量都需用多元,有序数组来表示.,第三章,12,2020/7/9,向量通常写成一行：,有时候也可以写成一列：,行向量,列向量,行向量是 1n 矩阵,记作 (a1,a2,an)； 列向量是 n

6、1 矩阵,记作 (a1,a2,an)T。,第三章,13,2020/7/9,如果 n 个分量全为零，叫做零向量，用 0 表示。,常用 , , 等表示 n 元向量。,零向量记作 0 = (0 , 0 , , 0)T .,全体 n 元实向量组成的集合记作 Rn 。,第三章,14,2020/7/9,(2) 与 之和 : + = (a1+b1, a2+b2, an+bn)。,k= 1时， = ( a1, a2, an), = +( ),定义3.2 设 = (a1, a2, an) Fn, = (b1, b2, bn) Fn, F。,(3) 数 与 之乘积: = (a1,a2,an) ，简称数乘。,向量的

7、加法与数量乘法统称为向量的线性运算，其运算规律与矩阵的相同,(1) = 当且仅当 ai=bi ， i=1,2,n。,F为数域,2向量的线性运算,第三章,15,2020/7/9,加法满足4条运算律：,(1) + = + ； (2) ( + )+ = +( + )； 有+0n = ； 有( ) ,使 + ( ) =0n。,第三章,16,2020/7/9, Fn, , F有： 1=； ()=()； (+)=+； (+)=+。,数乘满足4条运算律：,其他: (1) 有 0=0n ; k0n = 0n。 (2) 若 k =0n，则 = 0n 或 k=0 (3) 向量方程 +x= 有唯一解: x= ,定义

8、3.3 数域 F上的全体 n 元向量，在其中定义了上述的加法和数乘运算 , 称为数域 F上的n维向量空间，记作 Fn (Rn为实空间)。,第三章,17,2020/7/9,称为向量1, 2 , , m的线性组合，或 可用1, 2 , ,m 线性表示。,矩阵A=1, 2 , , m，x= 1, 2 , , mT。,定义3.4 设i Fn , iF (i = 1, 2, , m), 则向量, = 1 1 + 2 2 + + m m (1),(1)式可表示为：A x =，此时， 1, 2 , , m , 为列向量，,第三章,18,2020/7/9,例 设 1 = ( 1, 2, -1, 2 )T ,

9、2 = ( 2, 4, 1, 1 )T , = ( -1, -2, -2, 1)T , 则显然有 = 1 - 2 , 说明 可以,表为1 , 2 的线性组合.,例 设 1 = ( 2, -1, -4, 1 )T , 2 = ( 1, 2, 3, -4 )T,3 = ( 2, -1, 2, 5 )T , = ( 2, -1, 5, -4 )T ,问： 是否可,以表为 1 , 2 , 3 的线性组合？,第三章,19,2020/7/9,解,是否可以表为 1 , 2 , 3 的线性组合，取,决于能否找到一组数 k1 , k2 , k3 R ，使,k11 + k22 + k33 = ,或,成立，亦即线性

10、方程组,第三章,20,2020/7/9,是否有解.,第三章,21,2020/7/9,线性方程组的三种形式,有 n 个未知量 s 个方程的线性方程组，有以下三种形式：,形式一 一般形式,第三章,22,2020/7/9,形式二 矩阵形式,在一般形式中，若令,则线性方程组可表示成,AX = B.,第三章,23,2020/7/9,形式三 向量形式,在一般形式中，若令,则线性方程组可表示成如下形式的向量方程,1x1 + 2x2 + + nxn = .,第三章,24,2020/7/9,在 R3中，任一向量 = (a1, a2, a3) 可由基本向量 e1=(1, 0, 0), e2=(0, 1, 0),

11、e3=(0, 0, 1) 线性表示为 = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3,在R3中，如果三个向量 1, 2, 3共面，则至少有一个向量可以由另两个向量线性表示，如图，,即存在不全为 0 的 k1 ， k2 ，k3 使 k1 1 + k2 2 + k33 =0,3 = k1 1+ k2 2,2,3,1,k22,k11,第三章,25,2020/7/9,定义3.5 设 1, 2, , m Rn , 如果存在不全为零的 1, 2,m R ,使,成立，则称1, 2, , m线性相关，否则，线性无关。,“否则”是指：不线性相关就是线性无关， “仅当1, 2,m全为零时，才使(*)式成立”。这等

12、价于 “如果(*)式成立，则1, 2,m必须全为零”。,11 + 2 2 + + m m = 0 （*）,3向量的线性相关性,第三章,26,2020/7/9,例如，向量组,是线性相关的，因为,3 = 31 - 2 .,定理3.1 向量组 1, 2, , m(m 2) 线性相关的充要条件是 1, 2, , m中至少有一个向量可由其余向量线性表示。,第三章,27,2020/7/9,1 1 + 2 2 + + m m = 0,证: 必要性：设1, 2, , m线性相关，则存在不全为零的数1, 2,m, 使得,不妨设 1 0 , 于是,1= 112 2 11m m,其中1, j1,1, j+1, ,

13、m不全为零，充分性得证。,充分性：若1, 2, , m中的一个向量可由其余向量线性表示，如,j = 1 1 + j1 j1 + j+1 j+1 + m m,则1 1 + j1 1 j + j+1 j+1 + m m = 0,第三章,28,2020/7/9,例1 Rn中的 e1, e2, , en 是线性无关的。 其中 ei = (0, 0, 1, 0,0) 是第 i 个分量为 1 (i=1,2, , , n）其余分量全为零的向量。,定理3.1 的等价命题： 1, 2, , m(m 2)线性无关的 充要条件是其中任一个向量都不能由其余向量线性表示。,解：因为，由 1e1 + 2e2 + + ne

14、n = 0 即 (1, 2, , n) = (0, 0, , 0) 必有 1 = 2 = = n = 0.,第三章,29,2020/7/9,注意: (1) 单个向量 线性相关的充分必要条件是： 为零向量 因为 0 使 = 0 成立的充要条件是 = 0； (2) 两个非零向量 ， 线性相关的充分必要条件是： ， 成比例 即存在 k 或 l 。 (3) R3中三个向量 ， 线性相 关的充分必要条件是 ， 共面,第三章,30,2020/7/9,例2 含零向量的任何向量组0, 1, 2 , , m都线性相关。因为 1 0 + 0 1 + 0 2 + + 0 n = 0,从而有不全为零的 1 , 2 ,

15、 k , 0, ,0 使,例3 如果向量组 1, 2, , m中有一部分向量线性相关，则 整个向量组也线性相关。,证：不妨设1, 2, , k线性相关, 于是有不全为零的 1 , 2 , ,k , 使 1 1 + 2 2 + + k k = 0 成立，,1 1 + 2 2 + + k k + 0 k+1 + 0 k+2 + + 0 m = 0 成立，所以1, 2, , m线性相关。,第三章,31,2020/7/9,例如， 1 = (1, 2, 1)T, 2 =(2, 4, 2)T , 3 =(1,1,3)T。 因为 1, 2 线性相关（成比例），所以， 1, 2, 3 线性相关。 例3 的等价

16、命题是： 线性无关向量组的任一子集（任一部分向量）都线性无关。 总之：向量组部分线性相关，则整体线性相关； 整体线性无关，则任一部分都线性无关。,第三章,32,2020/7/9,定理3.2 设 1, 2, ,s Fn, 其中 1 = (a11 , a21 , , an1)T, 2 = (a12 , a22 , , an2)T, , s = (a1s , a2s , ans)T, 则 1, 2, ,s线性相关的充要条件是 s 元线性齐次方程组 Ax=0 有非零解,其中,第三章,33,2020/7/9,第三章,34,2020/7/9,1, 2, , s线性无关的充要条件是Ax=0只有零解。,因为

17、s 个未知量, n个方程的齐次线性方程组必有非零解， 即 sn 时 Ansx=0 必有非零解。,推论. 任意 s 个 n 维向量，当 sn 时都线性相关。,n+1个n维向量必线性相关。,此定理的等价命题是：,定理3.3 若向量组1, 2, , r 线性无关 , 而向量组 , 1, 2, , r 线性相关 , 则 可由 1, 2, , r 线性表示，且表示法唯一。,第三章,35,2020/7/9,证： 由于向量组, 1, 2, , r 线性相关， 所以存在不全 为零的数 , 1 , 2 , ,r 使得, + 11 + 2 2 + + r r = 0,其中 必不等于零(如果 = 0, 则由1, 2

18、, ，r 线性无关又得 1 , 2 , , r 全为零，与题设矛盾), 于是, = 1 1 1 1 2 2 1 r r,则 可由 1, 2, , r 线性表示。,第三章,36,2020/7/9,于是，( b1 c1 )1 + ( b2 c2) 2 +( br cr) r = 0,再证表示法唯一。设有两种表示法：, = b11 + b22 + +br r = c11 + c22 + +cr r,而 1, 2, , r线性无关，所以 bi = ci ( i = 1, 2, r ),故 由 1, 2, , r 表示是唯一的。,第三章,37,2020/7/9,这是因为 Rn 中任何 n+1个向量都线性

19、相关。 故 , 1, 2, , n线性相关， 由 定理3.3，向量 可由1, 2, , n 线性表示，且表示法 唯一,推论 如果1, 2, , n是 Rn 中线性无关的 n 个向量, 则 Rn 中任一个向量 可由 1, 2 , , n 线性表示， 且表示法 唯一。,第三章,38,2020/7/9,例4 (1) a 取何值时，1 = (1, 3, 6, 2)T , 2 =(2, 1, 2, 1)T ,3 =(1, 1, a, 2)T 线性无关？ (2) a = 2时，3可否由1, 2 线性表示？若可以，求表示式。,第三章,39,2020/7/9,解 (1)设x1 1x2 2x3 30(*),第三

20、章,40,2020/7/9,解 (2)设 3 x1 1x2 2(*),得 x2=4/5 x1=3/5 所以，,第三章,41,2020/7/9,例5 若,问：,是否线性无关？,解,第三章,42,2020/7/9,思考：由定理3.2， 若向量组 1, 2, , r线性无关 , 对每一个i 各增加 m个分量得到的向量组1, 2, , r 也线性无关。其逆否命题是什么？,第三章,43,2020/7/9,3.2 向量组的秩及其极大线性无关组,定义3.6 向量组1, 2 , s中存在 r 个线性无关的向量： i1, i2 , ir,且任意一个向量均可由它们线性表示, 则称向量组的秩为 r，记 作,秩1,

21、2 , sr 或 r1, 2 , sr,并称 i1, i2 , ir是一个极大线性无关组。,第三章,44,2020/7/9,注意：一个向量组的秩是唯一确定的，但它的极大线性无关组不是唯一的。例如,1(1, 0); 2(0, 1); 3(1, 2); 4(2, 1),秩1, 2 , 3, 42,其中任意两个i, j (i, j =1,2,3,4且 ij ) 都线性无关，都是 1, 2 , 3, 4的一个极大线性无关组。,第三章,45,2020/7/9,定义3.7 若向量组 1, 2 , k 中每个向量均可由向量组1, 2 , s线性表示，则称 1, 2 , k可由向量组1, 2 , s线性表示。

22、如果它们可以互相线性表示，则称它们等价，记作 1, 2 , s1, 2 , k ,第三章,46,2020/7/9,在R3中的几何背景是：如果1, 2线性无关, 1, 2, 3可由 1, 2 线性表示，则 1, 2, 3都位于 1, 2所确定的平面上, 故 1, 2, 3线性相关。,定理3.4 设向量 1, 2 , s可由另一向量组 1, 2 , r 线性表示。如果 sr, 则 1, 2 , s 线性相关。,第三章,47,2020/7/9,证 : 设,j = 1, s,再设 x1 1 + x2 2 + xs s = 0,(交换和号顺序),令,中 i (i = 1, 2, n)的系数全为零, 即,

23、（i = 1, r） （*）,第三章,48,2020/7/9,故1, 2, s线性相关。,此式是关于 x1 , x2 ,xs 的齐次线性方程组，由于 r s （方程个数 未知数个数 ), 必有非零解，从而有不全为零的 x1 , x2 ,xs 使 (*) 式成立，即有不全为零的 x1 , x2 , xs 使,x1 1 + x2 2 + xs s = 0,第三章,49,2020/7/9,推论(1) (定理2.5的等价命题): 若1, 2 , s 线性无关, 则 s r。,推论(2) 若秩1, 2 , sr, 则 1, 2 , s中任意 r +1 个向量都是线性相关的。,因为任意 r +1个向量都可

24、经线性无关的 r 个向量线性表示。,第三章,50,2020/7/9,若秩1, 2 , sr, 则 1, 2 , s中任意 r 个线性无关的向量都是 1, 2 , s的一个极大线性无关组。,推论(3) 若向量组 1, 2 , k 可由向量组 1, 2 , s线性表示，则 秩1, 2 , k 秩1, 2 , s,第三章,51,2020/7/9,证 设 1, 2 , r和 1, 2 , p 分别是 1, 2 , k 和 1, 2 , s 的一个极大线性无关组，则,1, 2 , r可经 1, 2 , k线性表示。,已知 1, 2 , k可由 1, 2 , s 线性表示，又1, 2 , s可经其极大线性

25、无关组 1, 2 , p 线性表 示。因此， 1, 2 , r可经 1, 2 , p 线性表示，由推论(1)得r p。,第三章,52,2020/7/9,推论(4)的逆命题不成立。例如， 1(1, 0，0); 2(0, 1, 0); 3(0, 0, 1) 秩1, 2 =秩 1, 32 但1, 2 和1, 3不是等价向量组。,推论(4) 若向量组1, 2 , k 1, 2 , s，则 秩1, 2 , k秩1, 2 , s,第三章,53,2020/7/9,3.3 矩阵的秩 相抵标准形,A的n个列(m个行)向量组成的向量组的秩称为A的列秩(行秩)。,定义3.8 矩阵A=(aij)mn的每一列(行)称为

26、A的一个列(行)向量。,A的列秩 n；A的行秩 m,1.矩阵的行秩=列秩=矩阵的秩,第三章,54,2020/7/9,在阶梯形矩阵中，非零行的行数=A的行秩= A的列秩。,方程 x11 + x2 2 + x3 3 = 0 , 易得只有零解 ，三个行向量 1, 2 , 3 线性无关，A的行秩=3。,方程y11 + y3 3 + y4 4= 0 也只有零解 ，三个列向量1, 3 , 4线性无关，且任意4个列向量线性相关。所以 A的列秩=3。,第三章,55,2020/7/9,定理3.5 初等行（列）变换不改变矩阵的 行（列）秩。,证：只需证明作一次倍乘，倍加和对换行变换， A的行秩不变。设mn矩阵A的

27、m个行向量为1, 2 , m。,将A的第 i, j 行对换得到B, 则B与A的行向量组相同（只是排列顺序不同），故A, B的行秩相等。,将A的第 i 行乘非零常数 c 得到B, 则B的行向量组为1, i-1, ci , i+1, m，它与A的行向量组等价。 因此 A与B的行秩相等。,第三章,56,2020/7/9,(3) 将A的第i行乘常数c加到第j行得到B，则B的行向量组1, ,j , m为 j=ci+j ; k=k (kj)。相应地也有j=jci ; k=k (kj)。因此A与B的行向量组可以互相线性表示（等价）。所以A与B的行秩相等。,所以，初等行变换不改变矩阵的行秩。同理，初等列变换不

28、改变矩阵的列秩。,第三章,57,2020/7/9,定理3.6 对矩阵A作初等行变换化为B, 则A与B的任何对应的列向量组有相同的线性相关性。 即,则向量组 i1, i2 , ri 与 i1, i2 , ir （1i1 i2 ir s)有相同的线性相关性。,第三章,58,2020/7/9,证：对A做行变换化为B，即 B =PkP2P1A, 其中 PkP2P1为若干初等矩阵的乘积，记 P= PkP2P1(P可逆)， 则,PA= B 或 Pj =j , j=1,2,s,记A1= i1, i2 , ir , B1= i1, i2 , ir , 则,齐次线性方程组A1x=0 与 B1x =0 (即PA1

29、x=0）为同解方程组。,所以，A1 与 B1的列向量组有相同的线性相关性。,第三章,59,2020/7/9,这个定理给出了求向量组的秩及其极大线性无关组的一个简单而有效的方法。,推论：对矩阵A做初等行变换，不改变A的列秩。,例1 求向量组 1,2, ,5的秩及其一个极大线性无关组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示。其中 1=(1,1, 0 , 0), 2=(1, 2, 1,1) , 3=(0,1,1,1)， 4=(1, 3, 2, 1), 5=(2, 6, 4,1) (i为行向量),第三章,60,2020/7/9,解：对A=1T, 2T ,3T, 4T, 5T (将 i 竖排)作初等行变

30、换，将其化为阶梯形矩阵U，即,第三章,61,2020/7/9,记阶梯形矩阵U=1, 2, 3, 4, 5 。U中每个非零行第一个非零元所在的第1, 2, 4列 线性无关， 所以， 1, 2, 4 是U的一个极大线性无关组， 从而， 1T, 2T, 4T 是A的列向量组的一个极大线性无关组。即 1, 2, 4 是 1， 2，3， 4 ， 5 的一个极大线性无关组。,(1) 设x11+x2 2= 3，此非齐次方程组的增广矩阵为1， 2， 3，用高斯消元法（初等行变换）化为U中的前三列，其同解方程组为,x1x20, x21， 解得：x1 x2 =1。所以， 31+2 。,3, 5 可以用1, 2,

31、4 线性表示，做法如下：,第三章,62,2020/7/9,(2) 设 x1 1+x2 2+x4 4= 5，同理，方程组的增广矩阵经初等行变换化为U中的第1，2，4，5列,得同解方程组,第三章,63,2020/7/9,设 x11T+x2 2T+x3 3T +x4 4T+x5 5T= 0,此齐次方程组的系数矩阵A用初等行变换化为U，对U再做行变换得U 1 。,其同解方程组为,3, 5 用 1, 2, 4线性表示的另一个做法如下：,第三章,64,2020/7/9,第三章,65,2020/7/9,由定理3.5 和定理3.6的推论 得,定理3.7 初等变换不改变矩阵的行秩和列秩。,定理3.8 矩阵A的行

32、秩= A的列秩。,证：对A做初等行变换，将其化为阶梯形矩阵U，则 A的行秩= U的行秩= U的列秩= A的列秩,在阶梯形矩阵中，非零行的行数=A的行秩= A的列秩。,第三章,66,2020/7/9,定义3.8 A的行秩= A的列秩, 统称为A的秩，记作秩(A)，或 r(A). 对n 阶矩阵A ， r(A)= n时称为满秩矩阵。,定理3.9 n 阶矩阵A ， r(A)= n 的充要条件是A为非奇异矩阵（即 A 0）。,第三章,67,2020/7/9,证：若 r(A)=n，则对A做初等行变换，将其化为阶梯形矩阵U ，则 U 有n个非零行，可以继续化为单位矩阵 I , 所以，存在可逆矩阵 P 使得

33、PA=I 。,PA = P A =1, 故 A 0。,若 A 0 ，则 A x=0 只有零解 x= A10 =0,A的n个列向量线性无关，故 r(A)= n。,第三章,68,2020/7/9,定义3.9 矩阵A=(aij)mn 的任意k行 (i1i2ik行)和任意 k列 (j1j2jk列) 的交点上的 k2 个元素排成的行列式,称为矩阵 A 的一个 k 阶子式 (k 阶子式)。 等于零的 k 阶子式, 称为 k 阶零 子式, 否则叫做非零子式。 当 jt= it ( t =1,2, , k ) 时，称为 A 的 k 阶主子式。,2. 矩阵的行列式与矩阵的秩,第三章,69,2020/7/9,矩阵

34、A若存在 r 阶非零子式且所有 r +1 阶子式都等于零，则矩阵A的非零子式的最高阶数为 r（因为由行列式的展开可知更高阶的子式也都等于零），并称r为A的行列式的秩。,第三章,70,2020/7/9,定理3.10 秩(A)=r的充要条件是A的非零子式的最高阶数为r 。,证必要性。设秩(A)= r,不妨设A的前 r行线性无关。记,A的任意 r +1个行向量线性相关， 所以 A的任意 r +1阶子式都等于零(*)。 由(*)和(*)得A的行列式的秩为 r.,A1 =Ar B,其中Ar是 r 阶方阵, r(A1)= r。,不妨再设A1的前 r 列向量线性无关, 即 r(Ar)=r, 故 | Ar|0

35、. 即存在一个 r 阶子式不等于零（*）,第三章,71,2020/7/9,充分性。不妨设A的左上角 r 阶子式| Ar|0，则 Ar可逆, Ar 的 r个行向量线性无关, 添分量成为 A1 的行向量组也线性无关。而A中任何 r +1 行线性相关（否则，由必要性的证明可知A中存在r +1阶非零子式）。故,矩阵A的行秩=秩(A)= r。,第三章,72,2020/7/9,3. 矩阵的秩的性质,(1) 对任意的Amn，都有: 秩(A) minm,n 和 秩(AT)=秩(A)。,证： 设 Amn =1, 2, n, Bmn =1,2, ,n , 秩(A) =p, 秩(B)=q， 1, , n和 1, ,

36、n的极大线性无关组 分别为1, , p和 1, ,q ，则 A+B=1+ 1, 2+ 2, , n +n A+B的列向量组可以由向量组1, 2, n, 1, ,n线性 表示。所以，r(A+B) r(1, 2, n, 1, ,n) p+q。,秩(A+B) 秩(A)+秩(B)。,第三章,73,2020/7/9,(3) 秩(AB) min秩(A),秩(B)。,证：设 A， B 分别是 mn 和 ns 矩阵，A依列分块有,第三章,74,2020/7/9,AB的列向量组可以由A的列向量组1, , n线性表示。所以， r(AB) = AB的列秩 A的列秩= r(A) 类似地，对B依行分块，可以证明r(AB

37、) r(B)。或利用 r(AB) = r(AB)T ) = r(BT A T) r(BT) = r(B),第三章,75,2020/7/9,(4) 设A为 mn 矩阵， P 和 Q 分别是 m 和 n 阶可逆矩阵, 则 秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ),证: 秩(PA)秩(A), 由 P1 (PA)= A ，得: 秩(A)秩(PA) 所以 秩(PA)=秩(A) ; 同理可证明其他情形。 或利用:可逆矩阵可表示为若干初等阵的乘积，初等阵左(右)乘A是对A作初等行(列)变换，初等变换不改变矩阵的秩。,例2 设A为 mn 矩阵，且 mn，证明：|ATA |=0。 证：由于秩(ATA)秩(

38、A) minm,n=mn，而 AT A是 n 阶矩阵，故 AT A 是不可逆矩阵，于是 | AT A |=0。,第三章,76,2020/7/9,4. 矩阵的相抵标准形,相抵关系( ) 是一个等价关系。具有性质： (1)反身性， 即A A ; (2)对称性：若A B，B A； (3)传递性：若A B, B C, 则A C。,定义3.10 设 A是 mn 矩阵， A 经过初等变换化为 B(或存在可逆矩阵 P 和 Q, 使得 PAQ=B），就称A相抵于B(或A等价于B)，记作 A B .,第三章,77,2020/7/9,定理 3.11 若 秩(Amn)= r，则一定存在可逆矩阵P (m阶）和Q（n阶

39、）使得,其中Ir 为r阶单位矩阵。,证： A可以经一系列行初等变换化为阶梯形矩阵Ur，即存在初等阵P1 ,.P2, Ps, 使得. Ps P2P1 A= Ur , 再对 Ur 做倍加列变换和列对换,即存在初等阵Q1 ,.Q2, ,Qt，使得,UrQ1 Q2 Qt = U 令Ps P2P1 =P， Q1 Q2 Qt =Q (P,Q均可逆) ，则,称矩阵U为A 的相抵(或等价)标准形。所有秩为r 的mn矩阵都相抵于U 。,第三章,78,2020/7/9,例3 设A是mn矩阵(mn), 秩(A) = n. 证明：存在nm矩阵B, 使BA=In.,则,其中01是(mn)n零矩阵; 02是n (mn)零

40、矩阵。,故存在nm矩阵B=CP, 使BA=In 。,证：A是mn矩阵，秩(A) = n, 则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q, 使得,第三章,79,2020/7/9,例4. 设n 阶矩阵(n3),若矩阵A的秩为n 或 n 1，则a必为_。,第三章,80,2020/7/9,解: 若a=1, 则A的各行成比例，r(A)=1。所以，排除a=1。,(1) 若 k = 1+(n 1)a 0 即,第一列乘,再将各行减去第一行，得到,可知 a1且,时， r(A)=n。,利用初等变换不改变矩阵的秩，将A的各列加到第一列。,第三章,81,2020/7/9,(2) 若,所以，r(A)= n 1。,即 k = 1

41、+(n1)a =0。 A的各列加到第1列。,再将第2， n行各行都减去第1行,再将第2， ,n行各行都乘,加到第1行，将第1行化为全零行,第三章,82,2020/7/9,例5 . 设,已知r(A)=2, 求t。,解：,利用初等变换不改变矩阵的秩，将A化为B。,B中第2，3行成比例,第三章,83,2020/7/9,3.4 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构,1.齐次线性方程组有非零解的充要条件,以Amn为系数矩阵的齐次线性方程组 Ax=0 当A按列分块为A=(1, 2 , n), 列向量 x=x1, x2, xn T 时，方程组表示为向量方程：,x1 1 + x2 2+ xn n=0。,第三

42、章,84,2020/7/9,定理3.12 齐次线性方程组Ax=0 有非零解的充要条件是,r(A)=r( 1, 2 , n) n ，或 1, 2 , n线性相关。,当r(A)=r时，对A做初等行变换，可化为行阶梯形矩阵,Ax=0 与Ux=0为同解方程组，有非零解的充要条件:rn 。,第三章,85,2020/7/9,推论1： A为mn矩阵, A x=0 只有零解的充要条件:r=n.,推论2： A为n阶矩阵时, A x=0 有非零解的充要条件:A =0.,例1 设A是n阶矩阵，证明：存在ns矩阵B0,使得AB=0 的充要条件是:A =0。,第三章,86,2020/7/9,证： 设 B =(b1, b

43、2, bn)， AB=0, 即 A (b1, b2, bn)= (A b1, A b2, A bn)=(0,0, , 0)。,A bi=0（ i=1,2, , n) 意味着B的每一列都是A x=0 的解。由 B0，即A x=0 有非零解。所以，A =0。,反之，若A =0， A x=0有非零解。取非零解为 B 的 s 个 列向量。则 B 0, 且AB=0。,第三章,87,2020/7/9,2. 齐次线性方程组解的结构,定理3.13 齐次线性方程组A x=0 的任意两个 解x1，x2 的线性组合k1 x1+k2 x2(k1 ,k2 为任意常数) 也是它的解。,证：因为A(k1 x1+k2 x2)

44、= k1 A x1+k2 Ax2= k1 0+k2 0=0。,第三章,88,2020/7/9,定义3.13 设 x1, x2, xp 是Ax=0 的解向量，且Ax=0 的任意一个解向量都可由 x1, x2, xp 线性表示，则称x1, x2, xp为Ax=0的一个基础解系。,基础解系的任意线性组合也都是Ax=0的解，称,x= k1x1+ k2x2+ kpxp,(其中k1, k2,kp 为任意常数）为Ax=0的一般解（通解）,第三章,89,2020/7/9,3. 求Ax=0 的基础解系的常用方法,定理3.14 设A是mn矩阵，r(A)=rn, 则齐次线性方程组Ax=0 存在基础解系，且基础解系包

45、含nr 个解向量。,Ax=0 与U x=0为同解方程组。,证：对A作初等行变换，化为行简化阶梯形矩阵，不妨设为U，,第三章,90,2020/7/9,Ux=0，即,选xr+1, xr+2, , xn为自由未知量，对它们取下列n r 组值 (1,0, ,0) , (0,1, ,0) , ， (0,0, ,1) 再分别代入(*)，即可得到Ax=0 的n r个解： z1=( c1,r+1, c2,r+1, , cr,r+1, 1, 0, , 0)T z2=( c1,r+2, c2,r+2, , cr,r+2, 0, 1, , 0)T z n-r = ( c1,n , c2,n, ， cr,n, 0,

46、0, , 1)T,(*),第三章,91,2020/7/9,z1=( c1,r+1, c2,r+1, , cr,r+1, 1, 0, , 0)T z2=( c1,r+2, c2,r+2, , cr,r+2, 0, 1, , 0)T z n-r = ( c1,n , c2,n, ， cr,n, 0, 0, , 1)T 这 n r个解显然是线性无关的（增加分量不改无关性），且 x*= k1 z 1+ k2 z 2+kn-r zn-r 也是Ax=0的解。,再证Ax=0 的任意一个解向量都可由 z1, z2, zn-r 线性表示。,第三章,92,2020/7/9,Ax=0 的任意一个解向量 x ，可取自

47、由未知量xr+1, xr+2, , xn和任意常数 k1, k2, kn-r, 代入(*)得 x =（ d1, d2, dr, k1, k2, kn-r )T， 令x*=k1 z 1+ k2 z 2+kn-r zn-r ，则x- x*也是Ax=0的解,x x*=（d1, d2, dr, k1, k2, kn-r )T (k1 z 1+ k2 z 2+kn-r zn-r ),=（d1, d2, dr, k1, k2, kn-r )T, k1 ( c1,r+1, c2,r+1, , cr,r+1, 1, 0, , 0)T, k2 ( c1,r+2, c2,r+2, , cr,r+2, 0, 1,

48、, 0)T kn-r ( c1,n , c2,n, ， cr,n, 0, 0, , 1)T,= (d1*, d2 *, dr *,0, 0, 0)T,第三章,93,2020/7/9,所以 x1, x2, xn-r 是齐次线性方程组Ax=0 的基础解系。,是自由未知量 xr+1, xr+2, , xn 全部取0时的解，此时由(*)得 x1 = = xr =0， 即 d1*= d2 *= dr *=0，所以， x x*=0，即,x =x*= k1 x1+ k2 x2+kn-r xn-r可由 x1, x2, xn-r 线性表示。,x x*= (d1*, d2 *, dr *,0, 0, 0)T,第三

49、章,94,2020/7/9,Ax=0 的基础解系不是唯一的，但基础解系所含向量的个数一定是n r。任意一个基础解系的线性组合都是Ax=0 的通解。,例2求方程组 Ax=O 的基础解系和一般解。其中,第三章,95,2020/7/9,Ax=0的一般解为： x = k1 x1+k2 x2，即 x = k1(3,1,0,0,0)T + k2(7,0, 2,0,1)T,解 对A做初等行变换，将A化为行简化阶梯形矩阵U。,选x1, x3, x4为主元，x2, x5为自由未知量，,取x2=0, x5 =1，得x2=(7,0,2,0,1)T,x1，x2 为Ax=0 一个基础解系。,取x2=1, x5 =0 得

50、 x1=(3,1,0,0,0)T。,r(A)=3, n-r=2,（k1，k2为任意常数）,第三章,96,2020/7/9,例 求解齐次线性方程组,例3 若AmnBns=0, 则 r(A)+r(B)n。,r(B)秩 1, 2 , s nr(A), 即 r(A)+r(B)n,证：记 B=(1, 2 , s) （i 为B的第 i 列向量）。,由AB=0 ，得 Ai=0 (i=1, s), 即1, 2 , s都是Ax=0的解，,又Ax=0 的基础解系含nr(A) 个解，即 Ax=0 的任意一组解中至多包含 nr(A) 个线性无关的解，所以，,第三章,97,2020/7/9,例4 设A是mn实矩阵，证明

51、：r(AT A)=r(A)。,设(ATA) x=0 (xRn)，则 xT(ATA) x= 0 ，即 (Ax)TAx= 0 。令Ax= (b1, b2 , bm)T Rm（实向量），则 (Ax)TAx= b12+ b22 +bm2= 0 ，故必有b1=b2 = bm =0 ，,证： 由秩的性质知 r(ATA) r(A)，只需证明 r(ATA) r(A)。,只要证明： ATAx=0的解集合包含于 Ax=0 的解集合。,即Ax=0 。因此， ATAx=0的解必满足方程Ax=0，所以，n r(ATA) n r(A), 即 r(ATA ) r(A)。,第三章,98,2020/7/9,3.5 非齐次线性方

52、程组有解的条件及解的结构,设 A=(1, 2, n), 则Ax=b 等价于向量方程 x11 + x2 2,+xn n=b Ax= b有解，即 b可经A的列向量线性表示。所以，,秩 (1, 2, n，b)= 秩 (1, 2, n),即 r(A, b) = r(A),第三章,99,2020/7/9,定理3.15 对于非齐次线性方程组Ax=b ,下列命题等价: (1)Ax= b有解; (2)b可由A的列向量组线性表示; (3)r(A,b)= r(A)即增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。,第三章,100,2020/7/9,Ax=b 与 Cx=d 为同解方程组， Ax=b 有解 dr+1=0,又 r(C,

53、d) = r(A, b) ； r(C) = r(A)，所以， Ax=b 有解 r(A, b) = r(A),r(C, d) = r(C),第三章,101,2020/7/9,推论：Ax=b 有唯一解 r(A, b) = r(A)= n (A的列数)。,因b由A的列向量组线性表示，且表示法唯一的的充要条件是A的列向量组 1, 2, n线性无关，即秩1, 2, n=n。,定理3.16 若 x1, x2 是A x=b 的解，则 x1x2 是对应的齐次线性方程组A x=0 的解。,定理3.16 若 x1, x2 是A x=b 的解，则 x1x2 是对应的齐次线性方程组A x=0 的解。,证： A(x1x

54、2) = A x1 A x2 = b b = 0。,第三章,102,2020/7/9,定理3.16 若A x = b 有解，则其一般解为x = x0 +x, 其中x0 是A x = b 的一个特解（某一个解）； x = k1x1 + k2x2 + kpxp 是A x = 0 （称为A x = b 的导出组）的一般解。,可以表示为 x* x0 = k1x1 + k2x2 + kpxp 。 因此, x* = x0 +(x* x0 )可以表示为x = x0 +x 的形式，即是A x = b 的一般解。,证：由A(x0 +x)= A x0+ A x= b, 所以，x0+x 是A x = b 的解，,设

55、 x* 是A x = b 的任意一个解，则 x* x0 是A x= 0 的解.,第三章,103,2020/7/9,例1 设非齐次线性方程组Ax = b 的增广矩阵为,试求Ax = b 的一般解。,解:,第三章,104,2020/7/9,取 x2= x4= x5=0 代入Ux = d，求得 Ax = b 的一个特解 x0=(1/3, 0, 1/3, 0, 0)T 取自由未知量 x2, x4, x5 的三组数 (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)并依次代入Ux = 0，得 Ax = 0 的基础解系： x1=(1, 1, 0, 0, 0)T, x2=( 1/3, 0,

56、2/3, 1, 0)T, 也可取为 x2* =( 1, 0, 2, 3, 0)T, x3=(2/3, 0, 1/3, 0, 1)T, 也可取为 x3*=(2, 0, 1, 0, 3)T,x = x0 + k1 x1+ k2x2*+ k3x3* = (1/3, 0, 1/3, 0, 0)T + k1(1, 1, 0, 0, 0)T +k2(1, 0, 2, 3, 0)T+ k3(2, 0, 1, 0, 3)T (k1, k2, k3为任意常数) 为Ax = b 的一般解。,第三章,105,2020/7/9,例2 设线性方程组,就参数 a, b ，讨论方程组的解的情况，有解时并求出解。,第三章,1

57、06,2020/7/9,解: 用初等行变换将增广矩阵化为阶梯阵。,(2) 当a=1, 且14b+2ab=12b=0，即 b=1/2 时，有无穷多解,(1) 当（a1) b 0时，有唯一解,第三章,107,2020/7/9,(3) 当a=1, b1/2 时， 14b+2ab 0, 方程组无解。 (4) 当b=0 时，14b+2ab = 1 0 时,方程组无解。 （原方程组中后两个方程是矛盾方程）,于是方程组的一般解为 x = (2, 2, 0)T + k(1, 0 ,1)T (k为任意常数）,a=1, b=1/2 时，化为,第三章,108,2020/7/9,例 证明：若x0 是Ax = b 的一

58、个特解，x1, xp 是Ax = 0的基础解系，则 x0, x0+x1, x0 +x2, x0+xp 线性无关且 Ax = b 的任一个解 x 可表示为 x= k0 x0 + k1(x0+x1) + k2(x0 +x2) + + kp(x0+xp ) 其中k0+ k1 + k2+ +kp=1 。,证： 设 c0 x0 + c1(x0+x1) + c2(x0 +x2) + + cp(x0+xp )=0, 即 (c0 + c1 + c2 + + cp) x0 + c1x1 + c2x2 + + cpxp =0, 则必有 c0 + c1 + c2 + + cp=a=0, （否则，记 di= ci /

59、a， 得 x0= d1x1+ d2x2+ +dpxp 是Ax = 0的解，矛盾），,第三章,109,2020/7/9,再由 c1x1 + c2x2 + + cpxp =0 和 x1, x2, xp 线性无关，得 c1 = c2 = =cp =0, 从而 c0=0 ， 故 x0, x0+x1, x0+xp 线性无关。,根据定理3.17，Ax = b的任一个解 , 可表示为 x= x0 + k1x1 + k2x2 + + kpxp = (1k1 kp) x0 + k1(x0+x1) + + kp(x0+xp ) 令1k1 kp= k0，则k0+ k1 + k2 + +kp=1，命题得证。,第三章,

60、110,2020/7/9,例4. 设A是34矩阵，r(A)=2, Ax=b 有三个解： x1=(1, 1, 1, 1)T, x2=(1, 1, 1, 1)T; x3=( 1, 1, 1, 1)T 求 Ax=b 的一般解。,解： x1x2=(0, 2, 2, 0)T，x1 x3=(2, 0, 0, 2)T 是Ax=0 的两个线性无关解(不成比例)，又4r=2, 所以，x1 x2, x1 x3 是A x=0 的基础解系。 因此, Ax=b的一般解： x=x1+k1(x1x2)+ k2(x1x3) =(1, 1, 1, 1)Tk1(0, 2, 2, 0)Tk2(2, 0, 0, 2)T,第三章,11

61、1,2020/7/9,例5设四元线性方程组（I）为,又已知四元线性齐次方程组（II）的基础解系为 x3=0, 1, 1,0 T ， x4=1, 2, 2,1 T,(1) 求线性方程组（I）的一般解； (2) 问：线性方程组（I），（II）是否有非零的公共解？若有，则求所有非零的公共解。若没有，说明理由。,第三章,112,2020/7/9,解：(1) 在,中取自由未知量为x3, x4，,令（x3, x4）=（1, 0）和（0, 1），得（I）的基础解系为,（I）的一般解为： x =k1 x1 + k2 x2 （ k1, k2 为任意常数）。,x1= 0, 0, 1, 0 T，x2=1, 1, 0, 1 T,第三章,113,2020/7/9,(2) 将（II）的一般解： x=(x1, x2, x3, x4) =k3 x3 + k4 x4=k30, 1, 1,0 T + k41, 2, 2,1 T 代入（I），得：,所以，当k3= k4时（ k4 为任意常数） ， x= k30, 1, 1,0 T + k41, 2, 2,1 T =k41, 1, 1,1 T 既是方程组（II）的解，也是方程组（I）的解， 当 k40 时, 是(I),(II)的非零的公共解。,