北师大版小学数学总复习资料.5.3

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1、小学数学总复习资料目录数和数的运算1一、概念1二、措施5三、性质和规律8四、运算的意义9五、应用题专项13度量衡24一、长度24二、面积24三、体积和容积24四、质量25五、时间25六、货币25代数初步知识26一、用字母表达数26二、简易方程27三、解方程27四、比和比例28几何的初步知识30一、线和角30二、平面图形31三、立体图形33简朴的记录36一、登记表36二、记录图37小学数学公式归纳总结38一、常用数量关系式38二、运算定律38三、平面图形、立体图形、应用题计算公式39四、常用单位换算41数和数的运算一、概念（一）整数1整数的意义：自然数和0都是整数。2自然数我们在数物体的时候，用

2、来表达物体个数的1，2，3叫做自然数。一种物体也没有，用0表达。0也是自然数。3计数单位一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。4数位计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。5数的整除整数a除以整数b（b0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。如果数a能被数b（b0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或a的因数）。倍数和因数是互相依存的。由于35能被7整除，因此35是7的倍数，7是35的因数。(1) 一种数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大

3、的因数是它自身。例如：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。(2) 一种数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它自身。3的倍数有：3、6、9、12其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。(3)个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。(4)个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。(5)一种数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。(6)一种数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。(7)能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一

4、定能被3整除。(8)一种数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。(9)一种数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。(10) 能被2整除的数叫做偶数。(11) 不能被2整除的数叫做奇数。(12) 0也是偶数。自然数按能否被2整除的特性可分为奇数和偶数。(13)一种数，如果只有1和它自身两个因数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5

5、、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。(14)一种数，如果除了1和它自身尚有别的因数，这样的数叫做合数，例如4、6、8、9、12都是合数。(15)1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。每个合数都可以写成几种质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=35，3和5叫做15的质因数。(16)把一种合数用质因数相乘的形式表达出来，叫做分解质因数。例如把28分解质因数：28=227(17)几种数公

6、有的因数，叫做这几种数的公因数。其中最大的一种，叫做这几种数的最大公因数，例如12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公因数，6是它们的最大公因数。(18) 公因数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种状况：1和任何自然数互质。相邻的两个自然数互质。两个不同的质数互质。当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。(19)两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质，如果几种数中任意两个都互质，就说这几种数两两互质。(20)如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。(21)如果两个数是互

7、质数，它们的最大公因数就是1。(22)几种数公有的倍数，叫做这几种数的公倍数，其中最小的一种，叫做这几种数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、183的倍数有3、6、9、12、15、18其中6、12、18是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。(23)如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。(24)如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。(25)几种数的公因数的个数是有限的，而几种数的公倍数的个数是无限的。（二）小数1小数的意义(1)把整数1平均提成10份、100份、1000份得到的十分之几、百分之几、千分之几可以用小数表达。

8、一位小数表达十分之几，两位小数表达百分之几，三位小数表达千分之几(2)数位顺序表:一种小数由整数部分、小数部分和小数点部分构成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。(3)计数单位:在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位”十分之一”和整数部分的最低单位”一”之间的进率也是10。2小数的分类纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：0.25、0.368都是纯小数。带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。例如：3.25、5.26都是带小数。有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。例

9、如：41.7、25.3、0.23都是有限小数。无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。例如：4.333.1415926无限不循环小数：一种数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。例如：循环小数：一种数的小数部分，有一种数字或者几种数字依次不断反复浮现，这个数叫做循环小数。例如：3.5550.033312.109109一种循环小数的小数部分，依次不断反复浮现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如：3.99的循环节是”9”，0.5454的循环节是”54”。纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。例如：3.1110.5656混循环小数：循环节

10、不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。3.12220.03333写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一种循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一种圆点。如果循环节只有一种数字，就只在它的上面点一种点。例如：3.777简写作0.5302302简写作。（三）分数1分数的意义(1)把单位”1”平均提成若干份，表达这样的一份或者几份的数叫做分数。在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表达把单位”1”平均提成多少份；分数线下面的数叫做分子，表达有这样的多少份。(2)把单位”1”平均提成若干份，表达其中的一份的数，叫做分数单位。2分数的分类真分数：分子比分母小的

11、分数叫做真分数。真分数不不小于1。假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数不小于或等于1。带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，一般叫做带分数。3约分和通分(1)把一种分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。(2)分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。(3)把异分母分数分别化成和本来分数相等的同分母分数，叫做通分。（四）百分数1表达一种数是另一种数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或比例。百分数一般用“%”来表达。百分号是表达百分数的符号。二、措施（一）数的读法和写法1整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读

12、，再在背面加一种”亿”或”万”字。每一级末尾的0都不读出来，其他数位持续有几种0都只读一种零。2整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一种数位上一种单位也没有，就在那个数位上写0。3小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作”点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。4小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一种数位上的数字。5分数的读法：读分数时，先读分母再读”分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。6分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。7百分数的读法：读百分数时，先读

13、百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。8百分数的写法：百分数一般不写成分数形式，而在本来的分子背面加上百分号”%”来表达。（二）数的改写一种较大的多位数，为了读写以便，常常把它改写成用”万”或”亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位背面的数，写成近似数。1精确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一种较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的精确数。例如把改写成以万做单位的数是125430万；改写成以亿做单位的数12.543亿。2近似数：根据实际需要，我们还可以把一种较大的数，省略某一位背面的尾数，用一种近似数来表达。例如：省略亿背面的尾数是13亿。3

14、四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略345900万背面的尾数约是35万。省略亿背面的尾数约是47亿。4大小比较比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相似，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相似，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相似的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相似的，百分位上的数大的那个数就大比较分数的大小:分母相似的分数，分子大的分数比较大；分子相似的数

15、，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相似的，先通分，再比较两个数的大小。（三）数的互化1小数化成分数：本来有几位小数，就在1的背面写几种零作分母，把本来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。2分数化成小数：用分母清除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保存三位小数。3一种最简分数，如果分母中除了2和5以外，不具有其她的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中具有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。4小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同步在背面添上百分号。5百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同步把小数点向左移动两位。6

16、分数化成百分数：一般先把分数化成小数（除不尽时，一般保存三位小数），再把小数化成百分数。7百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。8.假分数化成带分数：分母不变，分子除以分母得到的商作为带分数的整数部分，余数作为新的分子9.带分数化成假分数：分母不变，整数乘分母加上本来的分子作为新的分子（四）数的整除1把一种合数分解质因数，一般用短除法。先用能整除这个合数的质数清除，始终除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。2求几种数的最大公因数的措施是：先用这几种数的公因数持续清除，始终除到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几种数的的最大公因数。3

17、求几种数的最小公倍数的措施是：先用这几种数（或其中的部分数）的公因数清除，始终除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几种数的最小公倍数。4成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质。（五）约分和通分 短除法约分的措施：用分子和分母的公因数（1除外）清除分子、分母；一般要除到得出最简分数为止。通分的措施：先求出本来的几种分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。三、性质和规律（一）商不变的性质商不变的规律：在除法里，被除数和除数同

18、步扩大或者同步缩小相似的倍，商不变。（二）小数的性质小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化1小数点向右移动一位，就扩大到本来的10倍；小数点向右移动两位，就扩大到本来的100倍；小数点向右移动三位，就扩大到本来的1000倍2小数点向左移动一位，就缩小到本来的；小数点向左移动两位，就缩小到本来的；小数点向左移动三位，就缩小到本来的3小数点向左移或者向右移位数不够时，要用”0”补足位。（四）分数的基本性质分数的分子和分母都乘以或者除以相似的数（零除外），分数的大小不变。（五）分数与除法的关系1被除数除数=被除数/除数2由于零不能作除数，因此

19、分数的分母不能为零。3被除数相称于分子，除数相称于分母。四、运算的意义（一）整数四则运算1整数加法：把两个数合并成一种数的运算叫做加法。在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。加数+加数=和加数=和另一种加数2整数减法：已知两个加数的和与其中的一种加数，求另一种加数的运算叫做减法。在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。加法和减法互为逆运算。被减数-减数=差被减数=差+减数减数=被减数-差3整数乘法：求几种相似加数的和的简便运算叫做乘法。在乘法里，相似的加数和相似加数的个数都叫做因数。相似加数的和叫做积

20、。在乘法里，0和任何数相乘都得0.1和任何数相乘都的任何数。因数因数=积因数=积另一种因数4整数除法：已知两个因数的积与其中一种因数，求另一种因数的运算叫做除法。在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一种因数叫做除数，所求的因数叫做商。乘法和除法互为逆运算。在除法里，0不能做除数。由于0和任何数相乘都得0，因此任何一种数除以0，均得不到一种拟定的商。被除数除数=商除数=被除数商被除数=商除数（二）小数四则运算1小数加法：小数加法的意义与整数加法的意义相似。是把两个数合并成一种数的运算。2小数减法：小数减法的意义与整数减法的意义相似。已知两个加数的和与其中的一种加数，求另一种加数的运算.3小数乘法

21、：小数乘整数的意义和整数乘法的意义相似，就是求几种相似加数和的简便运算；一种数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几是多少。4小数除法：小数除法的意义与整数除法的意义相似，就是已知两个因数的积与其中一种因数，求另一种因数的运算。5乘方（平方）：求几种相似因数的积的运算叫做乘方。例如33=33=32（三）分数四则运算1分数加法：分数加法的意义与整数加法的意义相似。是把两个数合并成一种数的运算。2分数减法：分数减法的意义与整数减法的意义相似。已知两个加数的和与其中的一种加数，求另一种加数的运算。3分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相似，就是求几种相似加数和的简便运算。4乘积是

22、1的两个数叫做互为倒数。5分数除法：分数除法的意义与整数除法的意义相似。就是已知两个因数的积与其中一种因数，求另一种因数的运算。（四）运算定律1加法互换律：两个数相加，互换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a。2加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一种数相加，它们的和不变，即（a+b）+c=a+（b+c）。3乘法互换律：两个数相乘，互换因数的位置它们的积不变，即ab=ba。4乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一种数相乘，它们的积不变，即（ab）c=a（bc）。5乘法分派律：两个数的和与一

23、种数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即（a+b）c=ac+bc。6减法的性质：从一种数里持续减去几种数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-（b+c）。（五）运算法则1整数加法计算法则：相似数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。2整数减法计算法则：相似数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。3整数乘法计算法则：先用一种因数每一位上的数分别去乘另一种因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。4整数除法计算法则：先从被除数的

24、高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补”0”占位。每次除得的余数要不不小于除数。5.小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用”0”补足。6除数是整数的小数除法计算法则：先按照整数除法的法则清除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数背面添”0”，再继续除。7除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补”0”），然后按照除数是整

25、数的除法法则进行计算。8同分母分数加减法计算措施:同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变9异分母分数加减法计算措施:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。10带分数加减法的计算措施:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。11分数乘法的计算法则:分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。12分数除法的计算法则:甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。（六）运算顺序1小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相似。2分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相似。3没有括号的混合运算：同级运算从左往

26、右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。4有括号的混合运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。5第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。6第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。五、应用题思路大纲： 综合法：从条件出发，逐渐推出所求问题。 一般应用题：解题基本措施： 分析法：从问题出发，找出必要的两个条件。 分析、综合法：将分析综合法结合起来交替使用 转化法 平均数应用题归一应用题 归总应用题 和差问题 和倍问题 差倍问题应用题 典型应用题 行程问题：相遇问题、追及问题 流水应用题 植树问题、还原问题 工程问题 盈亏应用题 年龄应用题 鸡兔同笼应用题 列方程解应用题列比例

27、解应用题 分数应用题基本百分数应用题：利润问题、利息问题、浓度问题（一）一般应用题1简朴应用题（1）简朴应用题：只具有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题（2）解题环节：A.审题理解题意：找出已知条件 和所求问题B.分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径C.列出算式解答D.检查：检查看算式和计算过程与否对的，与否符合题意。如果发现错误，立即改正。2复合应用题（1）有两个或两个以上的基本数量关系构成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，一般叫做复合应用题。（2）具有三个已知条件的两步计算的应用题。求比两个数的和多（少）几种数的应用题。比较两数差与倍数关系的应用题。（3）具有两个已

28、知条件的两步计算的应用题。已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一种数，求两个数的和（或差）。已知两数之和与其中一种数，求两个数相差多少（或倍数关系）。（4）解答连乘连除应用题。（5）解答三步计算的应用题。（6）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，她们的数量关系、构造、和解题方式都与正式应用题基本相似，只是在已知数或未知数中间具有小数。（7）解答加法应用题：A.求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。B.求比一种数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。（8）解答减法应用题：A.求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求

29、剩余的部分。B.求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。C.求比一种数少几的数的应用题：已知甲数是多少，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。（9）解答乘法应用题：A.求相似加数和的应用题：已知相似的加数和相似加数的个数，求总数。B.求一种数的几倍是多少的应用题：已知一种数是多少，另一种数是它的几倍，求另一种数是多少。（10）解答除法应用题：A.把一种数平均提成几份，求每一份是多少的应用题： B.求一种数里涉及几种另一种数的应用题：已知一种数和每份是多少，求可以提成几份。C.求一种数是另一种数的的几倍的应用题： D.已知一种数的几倍是多少，求这个数的

30、应用题。（11）常用的数量关系：总价=单价数量路程=速度时间工作总量=工作时间工效总产量=单产量数量（二）典型应用题：具有独特的构造特性的和特定的解题规律的复合应用题（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。解题核心：在于拟定总数量和与之相相应的总份数。算术平均数：已知几种不相等的同类量和与之相相应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：数量之和数量的个数=算术平均数。加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。数量关系式（部分平均数权数）的总和（权数的和）=加权平均数。差额平均数：是把各个不小于或不不小于原则数的部分之和被总份数均分，求的是原则数与各数相差之和的平均数。数量关系式

31、：（大数小数）2=小数应得数最大数与各数之差的和总份数=最大数应给数最大数与个数之差的和总份数=最小数应得数。例题：一辆汽车以每小时100千米的速度从甲地开往乙地，又以每小时60千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。分析：求汽车的平均速度同样可以运用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为”1”，则汽车行驶的总路程为”2”，从甲地到乙地的速度为100，所用的时间为，汽车从乙地到甲地速度为60千米，所用的时间是，汽车共行的时间为+=,汽车的平均速度为2=75（千米）（2）归一问题：已知互相关联的两个量，其中一种量变化，另一种量也随之而变化，其变化 的规律是相似的，这种问题称之为归一问题。根据

32、求”单一量”的环节的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。一次归一问题，用一步运算就能求出”单一量”的归一问题。又称”单归一。”两次归一问题，用两步运算就能求出”单一量”的归一问题。又称”双归一。”正归一问题：用等分除法求出”单一量”之后，再用乘法计算成果的归一问题。反归一问题：用等分除法求出”单一量”之后，再用除法计算成果的归一问题。解题核心：从已知的一组相应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为原则，根据题目的规定算出成果。数量关系式：单一量份数=总数量（正归一） 总数量单一量=份数（

33、反归一）例题：一种织布工人，在七月份织布4774米，照这样计算，织布6930米，需要多少天？分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。6930（477431）=45（天）（3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。特点：两种有关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，但是变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。数量关系式：单位数量单位个数另一种单位数量=另一种单位数量单位数量单位个数另一种单位数量=另一种单位数量。例题：修一条水渠，原筹划每天修800米，6天修完。实际4天修完，每天修了多少米？

34、分析：由于规定出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。因此也把此类应用题叫做”归总问题”。不同之处是”归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。80064=1200（米）（4）和差问题：已知大小两个数的和，以及她们的差，求这两个数各是多少的应用题解题核心：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），再求另一种数。解题规律：（和差）2=大数大数差=小数、（和差）2=小数和小数=大数例题：某加工厂甲班和乙班共有工人94人，因工作需要临时从乙班调46人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少12人，求本来甲班和乙班各有多少人？分析：从乙班调46人到甲班，对于总数没有变化，目

35、前把乙数转化成2个乙班，即9412，由此得到目前的乙班是（9412）2=41（人），乙班在调出46人之前应当为41+46=87（人），甲班为9487=7（人）（5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少的应用题解题核心：找准原则数（即1倍数）一般说来，题中说是”谁”的几倍，把谁就拟定为原则数。求出倍数和之后，再求出原则的数量是多少。根据另一种数（也也许是几种数）与原则数的倍数关系，再去求另一种数（或几种数）的数量。解题规律：和倍数和=原则数原则数倍数=另一种数例题：汽车运送场有大小货车115辆，大货车比小货车的5倍多7辆，运送场有大货车和小汽车各有多少辆？分析：大货车比

36、小货车的5倍还多7辆，这7辆也在总数115辆内，为了使总数与（5+1）倍相应，总车辆数应（115-7）辆。列式为（115-7）（5+1）=18（辆），185+7=97（辆）（6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。解题规律：两个数的差（倍数1）=原则数原则数倍数=另一种数。例题：甲乙两根绳子，甲绳长63米，乙绳长29米，两根绳剪去同样的长度，成果甲所剩的长度是乙绳长的3倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？各减去多少米？分析：两根绳子剪去相似的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的3倍，实比乙绳多（3-1）倍，以乙绳的长度为原则数。列式（63-29）（3-1）=1

37、7（米）乙绳剩余的长度， 173=51（米）甲绳剩余的长度，29-17=12（米）剪去的长度。（7）行程问题：有关走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答此类问题一方面要弄清晰速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，理解她们之间的关系，再根据此类问题的规律解答。解题核心及规律：相遇问题、追及问题同步同地相背而行：路程=速度和时间。同步相向而行：相遇时间=速度和时间同步同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。同步同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差时间。例题：甲在乙的背面28千米，两人同步同向而行，甲每小时行16千米，乙每小时行

38、9千米，甲几小时追上乙？分析：甲每小时比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小时可以追近乙（16-9）千米，这是速度差。已知甲在乙的背面28千米（追击路程），28千米里涉及着几种（16-9）千米，也就是追击所需要的时间。列式28（16-9）=4（小时）（8）流水问题：一般是研究船在”流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点重要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。船速：船在静水中航行的速度。 水速：水流动的速度。顺水速度：船顺流航行的速度。 逆水速度：船逆流航行的速度。顺速=船速水速 逆速=船速水速解题核心：由于顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水

39、速的差，因此流水问题当作和差问题解答。解题时要以水流为线索。解题规律：船行速度=（顺水速度+逆流速度）2 流水速度=（顺流速度逆流速度）2路程=顺流速度顺流航行所需时间 路程=逆流速度逆流航行所需时间例题：一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行28千米，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。逆水比顺水多行2小时，已知水速每小时4千米。求甲乙两地相距多少千米？分析：此题必须先懂得顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不懂得，只懂得顺水比逆水少用2小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时

40、间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为2842=20（千米）202=40（千米）40（42）=5（小时）285=140（千米）。（9）还原问题：已知某未知数，通过一定的四则运算后所得的成果，求这个未知数的应用题解题核心：要弄清每一步变化与未知数的关系。解题规律：从最后成果出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）措施，逐渐推导出原数。根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的措施计算推导出原数。解答还原问题时注意观测运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘掉写括号。例题：某小学三年级四个班共有学生168人，如果四班调3人到三班，三班调6人到二班，二班调6人到一班，一班调2人到四班，则四

41、个班的人数相等，四个班原有学生多少人？分析：当四个班人数相等时，应为1684，以四班为例，它调给三班3人，又从一班调入2人，因此四班原有的人数减去3再加上2等于平均数。四班原有人数列式为1684-2+3=43（人）一班原有人数列式为1684-6+2=38（人）；二班原有人数列式为1684-6+6=42（人）三班原有人数列式为1684-3+6=45（人）。（10）植树问题：研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题解题核心：解答植树问题一方面要判断地形，分清与否封闭图形，从而拟定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。解题规律：沿线段植树：棵树=段数+1 棵数=总路程棵距+1棵

42、距=总路程（棵数-1） 总路程=棵距（棵数-1）沿周长植树：棵数=总路程棵距 棵距=总路程棵数 总路程=棵距棵数例题：沿公路一旁埋电线杆301根，每相邻的两根的间距是50米。后来所有改装，只埋了201根。求改装后每相邻两根的间距。分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为50（301-1）（201-1）=75（米）（11）盈亏问题：是在等分除法的基本上发展起来的。她的特点是把一定数量的物品，平均分派给一定数量的人，在两次分派中，一次有余，一次局限性（或两次均有余），或两次都局限性），已知所余和局限性的数量，求物品适量和参与分派人数的问题，叫做盈亏问题。解题核心：盈亏问题的解法要

43、点是先求两次分派中分派者没份所得物品数量的差，再求两次分派中各次共分物品的差（也称总差额），用前一种差清除后一种差，就得到分派者的数，进而再求得物品数。解题规律：总差额每人差额=人数总差额的求法可以分为如下四种状况：第一次多余，第二次局限性，总差额=多余+局限性第一次正好，第二次多余或局限性，总差额=多余或局限性第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余第一次局限性，第二次也局限性，总差额=大局限性-小局限性常用基本关系式：一盈一亏：（盈亏）没分数的差=份数两盈：（大盈-小盈）每份数的差=份数两亏：（大亏-小亏）每份数的差=份数一盈一尽：盈每份数的差=份数一尽一亏：亏每份数的差=份数例题

44、：参与美术小组的同窗，每个人分的相似的支数的色笔，如果小组10人，则多25支，如果小组有12人，色笔多余5支。求每人分得几支？共有多少支色铅笔？分析：每个同窗分到的色笔相等。这个活动小组有12人，比10人多2人，而色笔多余了（25-5）=20支，2个人多余20支，一种人分得10支。列式为（25-5）（12-10）=10（支）1012+5=125（支）。（12）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一种条件解题核心：年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，重要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会变化的，因此，年龄问题是一种”差不变”的问题，解题时，要善于运用差不变的特点

45、。例题：爸爸48岁，儿子21岁。问几年前爸爸的年龄是儿子的4倍？分析：父子的年龄差为48-21=27（岁）。由于几年前爸爸年龄是儿子的4倍，可知父子年龄的倍数差是（4-1）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前爸爸的年龄是儿子的4倍。列式为：21（48-21）（4-1）=12（年）（13）鸡兔问题：已知”鸡兔”的总头数和总腿数。求”鸡”和”兔”各多少只应用题。解题核心：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是”鸡”或全是”兔”，然后根据浮现的腿数差，可推算出某一种的头数。解题规律：（总腿数鸡腿数总头数）一只鸡兔腿数的差=兔子只数兔子只数=（总腿数-2总头数）2假设法：

46、如果假设全是兔子，可以有下面的式子：鸡的只数=（4总头数-总腿数）2兔的头数=总头数-鸡的只数例题：鸡兔同笼共50个头，170条腿。问鸡兔各有多少只？兔子只数（170-250）2=35（只）鸡的只数50-35=15（只）（三）分数和百分数的应用1分数加减法应用题：分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的构造、数量关系和解题措施基本相似，所不同的只是在已知数或未知数中具有分数。2分数乘法应用题：是指已知一种数，求它的几分之几是多少的应用题。特性：已知单位”1”的量和分率，求与分率所相应的实际数量。解题核心：精确判断单位”1”的量。找准规定问题所相应的分率，然后根据一种数乘分数的意义对的列式。3分

47、数除法应用题：（1）单位“1”已知：单位“1” 相应分率 = 相应数量（2）求单位“1”或单位“1”未知：相应数量 相应分率 = 单位“1”（3）求一种数是另一种数的几分之几（或百分之几）是多少。特性：已知一种数和另一种数，求一种数是另一种数的几分之几或百分之几。“一种数”是比较劲，”另一种数”是原则量。求分率或百分率，也就是求她们的倍数关系。解题核心：从问题入手，弄清把谁看作原则的数也就是把谁看作了”单位一”，谁和单位一的量作比较，谁就作被除数。（4）甲是乙的几分之几（百分之几）:甲是比较劲，乙是原则量，用甲除以乙。公式：一种数 另一种数 = 一种数是另一种数的几分之几（或百分之几）（5）甲

48、比乙多（或少）几分之几（百分之几）：甲减乙比乙多（或少几分之几）或（百分之几）。关系式（甲数减乙数）/乙数或（甲数减乙数）/甲数。（6）已知一种数的几分之几（或百分之几）,求这个数。特性：已知一种实际数量和它相相应的分率，求单位”1”的量。解题核心：精确判断单位”1”的量把单位”1”的量当作x根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相相应的已知实际数量。公式：多的数量单位“1” = 一种数比另一种数多几分之几（或百分之几）（7）求一种数比另一种数少几分之几（或百分之几）公式：少的数量单位“1” = 一种数比另一种数少几分之几（或百分之几）（注意：这里的“多”、“

49、少”还可以换成“增产”、“节省”等字.）例题：（1）果园里有桃树120棵,梨树的棵数比桃树多20%,果园里有梨树多少棵? （2）果园里有桃树120棵,比梨树的棵数少20%,果园里有梨树多少棵?分析思路：先找出单位“1”,拟定已知还是未知,单位“1” 懂得就用乘法,单位“1”不懂得就用除法.“比谁多（少）几分之几“列式就是“1+（-）几分之几”.） 列式：（1）120（1+20%） （2）120（1-20%）4常用百分率发芽率=发芽种子数/实验种子数100%小麦的出粉率=面粉的重量/小麦的重量100%产品的合格率=合格的产品数/产品总数100%职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数100%5分数

50、工程问题：分数应用题的特例，它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间互相关系的一种应用题。解题核心：把工作总量看作单位”1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体状况，灵活运用公式。数量关系式：工作总量=工作效率工作时间工作效率=工作总量工作时间工作时间=工作总量工作效率工作总量工作效率和=合伙时间6纳税纳税就是把根据国家多种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。缴纳的税款叫应纳税款。应纳税额与多种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额）的比率叫做税率。*利息存入银行的钱叫做本金。取款时银行多支付的钱叫做利息。利息与

51、本金的比值叫做利率。利息=本金利率时间打折、利润应用题的解题公式含义：“八折”的含义是：现价是原价的80%；“八五折”的含义是：现价是原价的85%公式：现价 = 原价 折数（一般写成百分数形式） 利润 = 售价 - 成本7.浓度问题溶质：如：糖 溶剂：如：水 溶液：如：糖水（1）溶度问题有关公式：溶液=溶质溶剂 浓度=溶质（溶质+溶剂）100%（2）常用措施：抓住不变量、方程法、浓度三角、十字交叉法（四）列方程解应用题1、列方程解应用题的意义用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的措施。2.列方程解答应用题的环节弄清题意，拟定未知数并用x表达；找出题中的数量之间的相等关系；列方程，解方程；检查

52、或验算，写出答案。3.列方程解应用题的措施综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。4. 小学范畴内列方程解应用题的范畴A一般应用题；B和倍、差倍问题；C几何形体的周长、面积、体积计算；D分数、百分数应用题；E比和比例应用题。(五)列比例解应用题1.根据比例关系比例解应用题基本环节：（1）找

53、不变量，判断正反比例关系（2）根据正反比例关系列出比例（方程）（3）解比例（4）检查2.根据题目中已知的比例解比例应用题度量衡一、长度（一）什么是长度：长度是一维空间的度量。（二）长度常用单位千米（km）、米（m）、分米（dm）、厘米（cm）、毫米（mm）、微米（um）（三）单位之间的换算1毫米1000微米 1厘米10毫米 1分米10厘米 1米1000毫米 1千米1000米二、面积（一）什么是面积面积，就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。（二）常用的面积单位平方毫米（mm2）、平方厘米（cm2）、平方分米（dm2）、平方米（m2）、平方千米（km2）、公顷（三）面

54、积单位的换算1平方厘米100平方毫米1平方分米=100平方厘米1平方米100平方分米1公倾10000平方米 1平方千米100公顷三、体积和容积（一）什么是体积、容积体积，就是物体所占空间的大小。容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，一般叫做它们的容积。（二）常用单位1体积单位 2容积单位立方米（m3）、立方分米（dm3）、立方厘米（cm3） 升（L）、毫升(ML)（三）单位换算1体积单位： 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米2容积单位：1升=1000毫升 1升=1立方米 1毫升=1立方厘米四、质量（一）什么是质量：表达表达物体有多重。（二）常用单位：吨（t）、公斤（

55、kg）、克（g）（三）常用换算：1吨=1000公斤、1公斤=1000克五、时间（一）什么是时间：是指有起点和终点的一段时间（二）常用单位：世纪、年、月、日、时、分、秒（三）单位换算 1世纪=1 1年=365天（平年） 1 年=366天（闰年）1天=24小时 1小时=60分 1分=60秒 （1）一、三、五、七、八、十、十二是大月。大月有31天（2）四、六、九、十一是小月小月，小月有30天（3）平年2月有28天闰年2月有29天六、货币（一）什么是货币：货币是价值的一般代表，可以购买任何别的商品。（二）常用单位：元、角、分（三）单位换算：1元=10角 、1角=10分代数初步知识一、用字母表达数（一）

56、用字母表达数的意义和作用用字母表达数，可以把数量关系简要的体现出来，同步也可以表达运算的成果。（二）用字母表达常用的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式1常用的数量关系（1）路程用s表达，速度v用表达，时间用t表达，三者之间的关系：s=vt v=s/t t=s/v（2）总价用a表达，单价用b表达，数量用c表达，三者之间的关系：a=bc b=a/c c=a/b2运算定律和性质加法互换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）乘法互换律：ab=ba 乘法结合律：（ab）c=a（bc）乘法分派律：（a+b）c=ac+bc 减法的性质：a-（b+c）=a-b-c除法的性质：

57、abc=a（bc）3用字母表达几何形体的公式（面积、体积）（1）长方形的长用a表达，宽用b表达，周长用c表达，面积用S表达。C=2（a+b） S=ab（2）正方形的边长a用表达，周长用c表达，面积用S表达。 C=4a S=a（3）平行四边形的底a用表达，高用h表达，面积用S表达。 S=ah（4）三角形的底用a表达，高用h表达，面积用S表达。 S=ah2（5）梯形的上底用a表达，下底b用表达，高用h表达，面积用S表达。 S=（a+b）h2 （6）圆的半径用r表达，直径用d表达，周长用c表达，面积用S表达。 C=d=2r S=r（7）圆环的面积：S=S大-S小=R2r=（R2-r2）（8）扇形的半径用r表达，n表达圆心角的度数，面积用S表达。S=nr360（9）长方体的长用a表达，宽用b表达，高用h表达，表面积用S表达，体积用V表达。V=sh S=（ab+ah+bh）2 V=abh（10）正方体的棱长用a表达，底面周长