圆知识点总结及归纳

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1、第一讲圆的方程一、知识清单（一）圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹 )标准(x a) 2 (y b)2r 2(r0)圆心： (a， b) ，半径： r方程DE一般x2y2 DxEyF 0圆心： 2， 2，方程22 4F0)122(D E2半径：DE 4F1、圆的标准方程与一般方程的互化（ 1）将圆的标准方程(xa)2 (yb)2 r 2 展开并整理得x2 y22ax2by a2 b2 r2 0，取 D 2a， E 2b， Fa2b2r 2，得 x2 y2Dx Ey F 0.（ 2）将圆的一般方程 x2y2Dx EyF 0 通过配方后得到的方程为：D 2E 2D2 E2

2、 4F(x 2 ) (y 2) 422DE122当 D E 4F0 时，该方程表示以( 2 ， 2 )为圆心， 2D E 4F为半径的圆；当 D2 E24F0 时，方程只有实数解DEDEx 2 ，y 2，即只表示一个点( 2， 2)；当D2E24F r 2.（ 2）若 M(x0，y0)在圆上，则 (x0 a)2(y0 b) 2r 2.（ 3）若 M(x0，y0)在圆内，则 (x0 a)2(y0 b) 2r 2.(三)直线与圆的位置关系方法一：方法二：（四）圆与圆的位置关系1 外离2 外切3 相交4 内切5 内含（五）圆的参数方程（六）温馨提示1、方程 Ax2 BxyCy2Dx EyF 0 表示

3、圆的条件是：（1）B0； （2）A C0； （3）D2E24AF0.2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算（ 1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上（ 2）圆心在任一弦的中垂线上（ 3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x11 )， B(x22)，点 M(x， y)是线段 AB 的中，y，y点，则 x x1x2 ，y y1y2 .22二、典例归纳考点一：有关圆的标准方程的求法22的圆心是，半径是.【例 1】 圆 x ay bm2 m 0【例 2】 点 (1,1)在圆 (x a)2 (y a)2 4 内，则实数a 的取值范围是 ()A

4、 ( 1,1)B (0,1)C ( ， 1) (1， )D (1， )【例 3】 圆心在 y 轴上，半径为1，且过点 (1,2)的圆的方程为 ()A x2 (y 2)2 1B x2 (y2)2 1C (x1)2(y 3)21D x2 (y3)2 1【例 4】 圆 (x2)2 y2 5 关于原点 P(0,0)对称的圆的方程为()A (x 2)2y2 5B x2 (y2)2 5C (x2)2(y 2)25D x2 (y2)2 5【变式 1】已知圆的方程为x1x2y2y40 ，则圆心坐标为【变式 2】已知圆 C 与圆 x 121 关于直线 yx 对称，则圆 C 的方程为y2【变式 3】 若圆 C 的

5、半径为 1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是 ()27222A (x 3) y3 1B (x2) (y1) 122322C (x1)(y 3)1D. x2 (y1) 1【变式 4】已知ABC 的顶点坐标分别是A1,5 ， B 5,5 ， C 6, 2 ，求ABC 外接圆的方程 .方法总结 ：1利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r 的方程组2利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用考点二、有关圆的一般方程的求法【例 1】 若方程 x2 y24mx2y5m 0 表示圆，则m 的取值范围是 ()111A

6、 .4m 1B m4或 m1Cm4D m1【例 2】 将圆 x2y2 2x 4y 1 0 平分的直线是 ()A xy1 0B x y 3 0C x y 1 0D x y30【例 3】 圆 x2 2xy23 0 的圆心到直线x3y30 的距离为 _【变式 1】 已知点 P 是圆 C : x2y24xay50 上任意一点， P 点关于直线 2xy10 的对称点也在圆C 上，则实数 a =【变式 2】 已知一个圆经过点A 3,1 、 B1,3 ，且圆心在 3xy20 上，求圆的方程 .【变式3】 平面直角坐标系中有A 0,1 , B 2,1 , C 3,4 , D1,2 四点，这四点能否在同一个圆上

7、？为什么？【变式 4】 如果三角形三个顶点分别是O(0,0)， A(0,15)， B( 8,0)，则它的内切圆方程为_方法总结：1利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于D，E， F 的方程组2熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化考点三、与圆有关的轨迹问题【例 1】 动点 P 到点 A(8,0) 的距离是到点B(2,0)的距离的 2 倍，则动点P 的轨迹方程为 ()A x2 y2 32B x2 y2 16C (x1)2 y2 16D x2 (y1)2 16【例 2】 方程 y25x2 表示的曲线是（）A. 一条射线B. 一个圆C. 两条射线D. 半个圆【例 3】 在ABC 中，若点 B,C 的坐

8、标分别是（ -2,0）和（ 2,0），中线 AD 的长度是 3，则点 A 的轨迹方程是（）A. x2y23B. x2y24C. x2y29 y 0D.x2y29 x 01【例 4】 已知一曲线是与两个定点O(0,0)， A(3,0)距离的比为 2的点的轨迹求这个曲线的方程，并画出曲线【变式 1】 方程 x112）y 1 所表示的曲线是（A. 一个圆B. 两个圆C. 一个半圆D. 两个半圆【变式 2】 动点 P 到点 A(8,0) 的距离是到点B(2,0)的距离的 2 倍，则动点 P 的轨迹方程为 ()A x2 y2 32B x2 y2 16C (x1)2 y2 16D x2 (y1)2 16【

9、变式 3】 如右图，过点M( 6,0)作圆 C：x2 y2 6x 4y 9 0 的割线，交圆C 于 A、 B 两点，求线段 AB 的中点 P 的轨迹【变式 4】 如图，已知点A(1,0)与点 B(1,0) ，C 是圆x2 y2 1 上的动点，连接BC 并延长至 D，使得 |CD|BC|，求 AC与 OD 的交点 P 的轨迹方程方法总结： 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：（ 1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，

10、代入已知点满足的关系式等考点四：与圆有关的最值问题【例 1】 已知圆 x2 y22x 4ya0 关于直线 y2x b 成轴对称，则a b 的取值范围是_【例 2】 已知 x， y 满足 x2 y21，则y2的最小值为 _x1【例 3】 已知点 M 是直线 3x 4y 2 0 上的动点，点N 为圆 (x 1)2(y 1)21 上的动点，则 |MN |的最小值是 ()9413A. 5B 1C.5D. 5【例 4】已知实数x，y 满足 (x2)2 (y 1)2 1 则 2xy 的最大值为 _，最小值为 _【变式 1】 P(x，y)在圆 C： (x1)2(y 1)21 上移动，则x2 y2 的最小值为

11、 _【变式 2】 由直线 yx2 上的点 P 向圆 C：(x 4)2 (y2)2 1 引切线 PT(T 为切点 )，当 |PT|最小时，点 P 的坐标是 ()A ( 1,1)B (0,2)C ( 2,0)D (1,3)【变式 3】 已知两点 A( 2,0)， B(0,2)，点 C 是圆 x2y2 2x0 上任意一点，则 ABC 面积的最小值是 _【变式 4】已知圆 M 过两点 C(1， 1)， D( 1,1)，且圆心 M 在 x y 20 上（ 1）求圆 M 的方程；（ 2）设 P 是直线 3x4y8 0 上的动点， PA、 PB 是圆 M 的两条切线， A，B 为切点，求四边形 PAMB 面积的最小值方法总结： 解决与圆有关的最值问题的常用方法y b（ 1）形如 u的最值问题，可转化为定点 (a， b)与圆上的动点 (x， y)的斜率的最值问题x a（ 2） 形如 t ax by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；（ 3）形如 (x a) 2(y b)2 的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题（ 4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值：dr （其中 d 为圆心到直线的距离）