三角形相关证明

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date三角形相关证明精锐教育班主任必读 课 题 三角形的相关证明学习目标与考点分析掌握三角形相关证明的方法 以及定理的熟练运用三角形证明是中考中必考知识点 做好基础知识的掌握有助于综合运用所学知识学习重点三角形的全等证明 以及与其他知识的结合运用学习方法讲练结合 练习巩固 课后总结学习内容与过程一课本导入联系生活 结合书本导入今天所学知识 复习前面所学知识三角形的相关初步知

2、识 二知识点梳理 一、全等三角形1判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注： 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； 全等三角形面积相等2证题的思路：(一)相似三角形1、三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形，叫做相似三角形用符号“”表示相似，读作“相似于”当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个

3、条件，缺一不可；相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；由相似三角形的定义知如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例2、相似三角形对应边的比叫做相似比全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如ABCABC的对应边的比，即相似比为k，则ABCABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k=1相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：三边对应成比例

4、的两三角形相似判定定理2：两角对应相等的两个三角形相似判定定理3：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似方法总结：（1）判定两个三角形相似，至少需要下列条件之一：两角对应相等；两边对应成比例且夹角相等；三条边对应成比例理解时，可类比全等三角形的判定方法在中，只要满足两个角对应相等，这两个三角形就相似，解题时关键是寻找对应角，一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角的余角(或补角)”都是相等的，这是常用的判定方法（2）已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理（1）或判定定理（3）但是，在选择利用判定定理（3）时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等2、直角三角形相似的判定

5、如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”或“双直角三角形”，其应用较为广泛三、典型例题讲解1、寻找相似三角形例1、如图，在ABCD 中，E是AB延长线上一点，连结DE，交AC于点G，交BC于点F，那么图中相似的三角形(不含全等三角形)共有（）A.6对B.5对C.4对D.3对 解：由AEDC，可得AEGCDG，DFCEFB.由BCAD，可得BFEADE，FCGDAG，DCFEAD. 例3、已知ABC中，AB=8，AC=6，点D，E分别在AB，AC上，如果以A，D，E为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，且相似比为，求AD和AE的长分析：通过相似比

6、，将AD，AE的长转化到方程中求解由于已知的两个三角形相似，并没有具体的对应关系，所以结论具有不确定性，应分类讨论解：如图(1)所示，当ADEABC时，有，AE=2如图(2)所示，当ADEACB时，小结：数形结合思想方法是解答有关相似三角形问题的基本方法在解题时需借助图形深入理解数量之间的关系，并对问题进行全面的、进一步的分析与探索例5、如图，CD是RtABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F求证：(1)ADFEDB；(2)CD2=DEDF分析：(1)ADF与EDB都是直角三角形，要证它们相似，只要再找一个角对应相等即可；(2)注意到CD是斜边AB的中线，AD

7、=BD=CD，由结论(1)不难得出结论(2)证明：(1)DFAB，ADF=BDE=90，又FA=BA， F=B，ADFEDB(2)由(1)得，ADBD=DEDF又CD是RtABC斜边上的中线， AD=BD=CD故CD2=DEDF点评：本题综合考查了直角三角形的性质与相似三角形的判定等这是一道阶梯型问题，第(2)题根据(1)得出有关比例式，然后使用“等线代换”使问题简捷获证其实第(2)题也可这样思考：把它转化为比例式，证明这三条线段所在的CDEFDC请同学们完成这一证明例6、如图，AD是ABC的角平分线，BEAD于E，CFAD于F 求证：分析：待证式中的四条线段不是在两个三角形中，无法直接根据两

8、个三角形相似得出，需要插入一个“中间比”，由题设易证ABEACF，BDECDF，从中不难找到这个中间比证明：AD是ABC的角平分线，1=2BEAD，CFAD，3=4=90，ABEACF，点评：当无法直接由两个三角形相似得出结论中的比例式时，一般可寻找“中间比”帮忙；5、相似三角形的性质的应用例7、如图所示，D是BC上一点，ABCDBA，E，F分别是AC，AD的中点，且AB=28，BC=36，求BEBF解析：BE，BF分别是ABC，ABD中AC，AD边上的中线，而AC，AD又恰是相似三角形ABC和三角形DBA的一组对应边，因而考虑利用相似三角形对应中线的比等于相似比来解答因为ABCDBA，且BC

9、=36，AB=28，所以相似比又因为BE，BF分别是ABC，ABD中AC，AD边上的中线，点拨：利用相似三角形对应线段的比等于相似比的性质解决问题时，注意把相似三角形的对应元素确定准确例8、如图所示，PNBC，ADBC，交PN于E，交BC于D分析：首先，先说明APN与ABC相似，再根据相似三角形的性质和比例的有关知识结合已知条件，就可求出这三个问题的结论解：(1)因为PNBC，所以可得APNABC又因为相似三角形面积比等于相似比的平方，因为SABC=18cm2，所以SAPN=2cm2 1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADADBC证明: 延长AD到E,使DE=AD,则

10、三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BEAEAB+BE即:10-22AD10+24AD6又AD是整数,则AD=5如图，在ABC中，AB=AC，M为BC的中点，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE求证：MD=ME证明：3在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明（

11、1）证明：ACB=90，ACD+BCE=90，而ADMN于D，BEMN于E，ADC=CEB=90，BCE+CBE=90，ACD=CBE在RtADC和RtCEB中，ADC=CEBACD=CBEAC=CB，RtADCRtCEB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=DC+CE=BE+AD；（2）证明：在ADC和CEB中，ADC=CEB=90ACD=CBEAC=CB，ADCCEB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=CE-CD=AD-BE；（3）DE=BE-AD证明的方法与（2）相同4如图所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）ECBF证明：(1)A

12、EAB，AFACEAB=90=FACEAB+BAC=FAC+BACAEBMCF 5如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AMAN。证明：（1）BEAC，CFABABM+BAC=90，ACN+BAC=90ABM=ACNBM=AC，CN=ABABMNACAM=AN（2）ABMNACBAM=NN+BAN=90BAM+BAN=90即MAN=90AMAN6已知：如图ACBD，AE和BE分别平分CAB和DBA，CD过点E求证：（1）AEBE； （2）AB=AC+BD证明：（1）ACBD，CAB+DBA=180（1分）又AE和BE分别平分CAB和DBA，EAB=12

13、CAB，EBA=12DBA，EAB+EBA=12(CAB+DBA)=90，AEBE （4分）（2）在AB上截取AF=AC，连接EF，在CAE和FAE中AC=AFCAE=FAEAE=AE，CAEFAE，则CEA=FEA，（8分）又CEA+BED=FEA+FEB=90，FEB=DEB在DEB和FEB中DEB=FEBEB=EBDBE=FBE， DEBFEB（ASA），（10分）BD=BF，AB=AF+FB=AC+BD （12分）7、如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE求证:BECF证明：AD是BC上的中线，BD=DC又DF=DE（已知），BDE=CDF（对顶角相等），BEDCFD（SAS

14、）E=CFD（全等三角形的对应角相等）CFBE（内错角相等，两直线平行）8、已知：如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F是垂足，ADECBF求证：证明：（1）DEAC，BFAC， 课内练习与训练1已知：如图，四边形ABCD中，AC平分角BAD，CE垂直AB 于E，且角B+角D=180度，求证：AE=AD+BE 2已知，如图，AB=CD，DFAC于F，BEAC于E，DF=BE。求证：AF=CE。FEACDB3已知，如图，ABAC，ABAC，ADAE，ADAE。求证：BECD。AEDCBFEDCAB4如图，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个

15、为结论，推出一个正确的命题。 AB=AC BD=CD BE=CFFEDCABGH5、如图，ABC中，AB=AC，过A作GEBC，角平分线BD、CF交于点H，它们的延长线分别交GE于E、G，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。6、如图，在中，点在上，点在上，。（） 请你再添加一个条件，使得，并给出证明。 你添加的条件是：_ _（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：_（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）7、已知：如图，ABBC，ADDC，AB=AD，若E是AC上一点。求证：EB=ED。 8、已知：如图，AB、CD交于O点，CE/DF，CE=DF

16、，AE=BF。求证：ACE=BDF。 9. 已知：如图，ABC中，ADBC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC。求证：BFAC。 10. 已知：如图，ABC和ABC中，BAC=BAC，B=B，AD、AD分别是BAC、BAC的平分线，且AD=AD。求证：ABCABC。 11.已知：如图，AB=CD，AD=BC，O是AC中点，OEAB于E，OFD于F。求证：OE=OF。 12.已知：如图，ACOB，BDOA，AC与BD交于E点，若OA=OB，求证：AE=BE。 13.已知：如图，AB/DE，AE/BD，AF=DC，EF=BC。求证：AEFDBC。 14.如图，B，

17、E分别是CD、AC的中点，ABCD，DEAC求证：AC=CD 15.已知：如图，PA、PC分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P，PDBM于D，PFBN于F求证：BP为MBN的平分线16.在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=ADBE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=ADBE；CBAED图1NMABCDEMN图2ACBEDNM图3（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明A 1

18、7如图，已知AD是ABC的中线， DEAB于E， DFAC于F， 且BE=CF， 求证：(1)AD是BAC的平分线；(2)AB=AC2 1 F E B D C 七、如果四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线OGAB交BC于E，交AD于F，交CD的延长线于G，求证：OG2=GEGF.八、如下图，在ABC中，D、E分别为BC的三等分点，CM为AB上的中线，CM分别交AE、AD于F、G，则CFFGGM=532九、如下图，ABC中，ADBC，连结CD交AB于E，且AEEB=13，过E作EFBC，交AC于F，SADE=2cm2，求SBCE，SAEF.十、已知：线段AB，分点C将AB分成311两组，分点D将AB分成59两段，且CD=4cm,求AB的长.十一、下图中，E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AEEC=13，BE的延长线交CD的延长线于G，交AD于F，求证：BFFG=12.-