函数的求导法则20课件

《函数的求导法则20课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的求导法则20课件（29页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、2.1.2 函数的求导法则 一、函数和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、小结一、和、差、积、商的求导法则定理定理并且处也可导们的和、差在点则它处可导在点如果函数,)(),(xxxvxu()()()();u xv xu xv x所以所以f(x)f(x)在点在点x x处可导，且处可导，且()()()fxu xv x类似的，可以得类似的，可以得 u xv xuxvx，u xv xuxvx 因此得函数的因此得函数的和、差的求导法则和、差的求导法则：两个可导函数之两个可导函数之和和（之差）的导数等于这两个函数的导数之和（差）（之差）的导数等于这两个函数的导数之和（

2、差）。这个法则可以推广导任意有限项的情形这个法则可以推广导任意有限项的情形。积的求导法则积的求导法则 u xv xux v xu x vx cu xcux uvwu vwuv wuvw 证明：由导数定义与极限法则，有证明：由导数定义与极限法则，有0()()()limxf xxf xfxx 0()()()()limxu xx v xxu x v xx 0()()()()()()()()limxu xx v xxu x v xxu x v xxu x v xx 000()()()()limlim()()limxxxu xxu xv xxv xv xxu xxx ()()()()u x v xu x

3、 v x 其中，其中，0lim()()xv xxv x是因为是因为 ()v x存在，从而存在，从而()v x在在x x处连续。处连续。所以，所以，在点在点x x处可导，且处可导，且 ()fxux v xu x vx ，简记，简记 u xv xux v xu x vx ()f x因此得函数因此得函数积的求导法则积的求导法则：两个可导函数：两个可导函数的乘积的导数等于第一个因子的导数与第的乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个因子的乘积，加上第一个因子与第二二个因子的乘积，加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积。积的求导法则也可个因子的导数的乘积。积的求导法则也可以推广到任意个有限个函数之积的情形

4、。以推广到任意个有限个函数之积的情形。商的求导法则商的求导法则2()()()()()()()xxxxxxx 证证 设设()(),()0),()u xf xv xv x0()()()limhf xhf xfxh 0()()()()lim()()hu xh v xu x v xhv xh v x h 0()()()()limhu xhu xv xhv xh 0()()()()()()lim()()hu xhu x v xu x v xhv xv xh v x h 0()()()()()()lim()()hu xhu xv xhv xv xu xhhv xh v x 2()()()()()u x v

5、 xu x v xv x .)(处可导处可导在在xxf推论推论11(1)()();nniiiif xf x(2)()();Cf xCfx 1211211(3)()()()()()()()()();nininnnikikk if xfx fxfxfx fxfxf x fx 例例1 1.735223的导数求xxxy解解例例2 2.ln2sin的的导导数数求求xxy 解解2sincoslnyxxx 2coscoslnyxxx 2sin(sin)lnxxx 12sincosxxx12cos2 lnsin2.xxxx 32(2537)yxxx 3 2(2)(5)(3)7xxx3 2 2()5()(3)x

6、xx222 35 236103xxxx 3()4cossin,().22f xxxf 求求3()(4cossin)2fxxx 3()(4cos)(sin)2xx 234sinxx 223()3()4sin42224f 所所以以例例3 3例例4 4,sin2yxxy求设(2sin)2(sin)yxxxx2()sin2(sin)xxxx sin2cosxxxx例例5 5.tan的的导导数数求求xy 解解sin(tan)()cosxyxx2(sin)cossin(cos)cosxxxxx 222cossincosxxx 221seccosxx 2(tan)sec.xx 即即2(cot)csc.xx

7、同理可得同理可得例例6 6.sec的的导导数数求求xy 解解1(sec)()cosyxx2(cos)cosxx sectan.xx 2sincosxx(csc)csccot.xxx 同理可得同理可得例例7 71tan,1tanxyyx求1tan()1tanxyx2(1tan)(1tan)(1tan)(1tan)|(1tan)xxxxx222sec(1tan)(1tan)(sec)(1tan)xxxx222sec(1tan)xx解：二、反函数的求导法则定理定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且且有有内内也也可可导导在在对对应应区区间间那那末末它它的的反反函函数数且且内内

8、单单调调、可可导导在在某某区区间间如如果果函函数数即反函数的导数等于直接函数导数的倒数即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证证,xIx 任任取取xx 以以增增量量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy ,0 y于是有于是有1,yxxy,)(连连续续xf),0(0 xy0)(y 又又知知0()limxyfxx 01limyxy 1()y 1().()fxy 即即),0(xIxxx 例例8 8.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx(sin)cos0,yy 且且内内有有在在)1,1(xI1(sin)y 1cos y 211sin

9、 y 21.1x 21(arccos).1xx 同理可得同理可得21(arctan);1xx (arcsin)x 21(arc ot);1cxx arctanyx 例例9 9 求反正切函数求反正切函数 的导数。的导数。解解 时时 的反函数，而的反函数，而 在在 内单调增加、可导，且内单调增加、可导，且arctanyx tanxy tanxy(,)2 2yI ，所以每点都可导，并有，所以每点都可导，并有2(tan)sec0yy arctanyx，又又 211(arctan)(tan)secyxyy 于是有于是有222sec1tan1yyx 21(arctan)1xx 类似的，可求得类似的，可求得

10、 21(cot)1arcxx 三、复合函数的求导法则定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且且其其导导数数为为可可导导在在点点则则复复合合函函数数可可导导在在点点而而可可导导在在点点如如果果函函数数即即:因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量等于因变量对中间变量求导对中间变量求导,乘以中间变量对自变量乘以中间变量对自变量求导求导.(.(链式法则链式法则)证证,)(0可可导导在在点点由由uufy 00lim()uyfuu 00()(lim0)uyfuu 故故0()yfuuu 0limxyx00lim()xuufuxx 000

11、0()limlimlimxxxuufuxx 00()().fux 则则推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的导导数数为为则则复复合合函函数数 例例1111.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解ln,sin.yu ux dydy dudxdu dx1cos xucossinxx cot x 例例12125.xye求函数的导数解解54455uxdydy duexx edxdu dx例例1313解解 可以看作由可以看作由 ，复合而成的，复合而成的，因此因此5xye uye 5ux lncos(),设求dxxdyyelncos()ln,

12、cos,可以看作由复合而成的，因为xyeyu uxe1(sin).tan()xxxdydydu deeedxdu ddxu dxdududydxdy，或 yyuux。复合函数的求导法则：复合函数的求导法则：对复合函数求导法则比较熟练以后，就不必再写出中间变量。例例1 14 4.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解1sin1(sin)xyex 1sin11cos()xexx 1sin211cos.xexx 例例1 15 5.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy解解211ln(1)ln(2),23yxx21112213(2)yxxx 2113(2)xxx 例例 10ysin

13、 nx sin n x(n 为常数)，求dxdy。解：解：y(sin nx)sin nx+sin nx (sin nx)ncos nx sin nx+sin nx n sin n1x(sin x)ncos nx sin nx+n sin n1x cos x n sin n1x sin(n+1)x。函数的和、差、积、商的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则：(1)(u v)u v，(2)(Cu)Cu(C是常数)，(3)(uv)uvu v，(4)2)(vvuvuvu(v0)。复合函数的求导法则：复合函数的求导法则：dxdududydxdy，或 yyuux，其中 y=f(u)，u=(x)。f 1(y)(1xf (f(x)0)。反函数求导法：反函数求导法：求导法则小结